О кратной полноте корневых функций одного класса пучков дифференциальных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927.25

О КРАТНОЙ ПОЛНОТЕ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО КЛАССА ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

В.С. Рыхлов

Саратовский государственный университет,

кафедра дифференциальных уравнений и прикладной

математики

E-mail: RykhlovVS@info.sgu.ru

В пространстве L2 [0,1] рассматривается полиномиальный пучок обыкновенных дифференциальных операторов n-го порядка, порожденный однородным дифференциальным выражением с постоянными коэффициентами и двухточечными краевыми условиями специальной структуры с l условиями только в нуле (1 < l < n - 1). Предполагается, что корни характеристического уравнения лежат на одном луче, исходящем из начала координат. Найдено достаточное условие m-кратной полноты системы корневых функций при m < n — l в пространстве L2 [0,1]. Показана точность полученного результата.

Ключевые слова: пучок обыкновенных дифференциальных операторов, двухточечные краевые условия, однородное дифференциальное выражение с постоянными коэффициентами, кратная полнота системы корневых функций, кратная полнота системы собственных и присоединенных функций.

On Multiple Completeness of the Root Functions for a Class of the Pencils of Differential Operators

V.S. Rykhlov

Saratov State University,

Chair of Differential Equations and Applied Mathematics E-mail: RykhlovVS@info.sgu.ru

A polinomial pencil of ordinary differential operators of n-th order generated by a homogeneous differential expression with constant coefficients and by two-point boundary conditions of a special structure with l conditions in zero only (1 < l < n-1) is considered in the space L2 [0,1]. The case is studied, when the roots of the characteristic equation lie on a ray coming from the origin. A sufficient condition of m-fold completeness of the system of root functions for m < n -1 in the space L2 [0,1] is found. An accuracy of obtained result is shown.

Key words: pencil of ordinary differential operators, two-point boundary conditions, homogeneous differential expression with constant coefficients, multiple completeness of system of root functions, multiple completeness of system of eigen- and associated functions.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА И ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТА

В пространстве Ь2[0,1] рассмотрим пучок обыкновенных дифференциальных операторов Ь(А), порожденный на конечном интервале [0,1] дифференциальным выражением

1(у, А) := ро(х, А)у(п) + Р1 (х, А)у(п-1) + ■ ■ ■ + рп(х, А)у = ^ рзк(х)А*у(к) (1)

0<в+к<и

и линейно независимыми двухточечными краевыми условиями

п —1

и (у, А) := £ а3к (А)у(к) (0) + Ъзк (А)у(к) (1) = 0, 3 = Т"П, (2)

к=0

где А е С — спектральный параметр, рп—к(х, А) = 0кр5к(ж)А5, р5к(х) е ¿1 [0,1], а а^к(А), Ъ^к(А) — произвольные полиномы по А.

Наряду с краевыми условиями (2) будут рассматриваться следующие краевые условия:

п—1

£ а^ку(к) (0) + Ъ^ку(к) (1) =0, 3 = Щ (3)

к=0

не содержащие параметра А.

При изучении спектральных свойств несамосопряженного пучка ¿(А) одной из основных задач является задача исследования свойств его корневых (собственных и присоединенных) функций. Весьма важными являются вопросы о возможности разложения функций в биортогональные ряды Фурье по корневым функциям, в частности, вопросы полноты корневых функций в ¿2[0,1]. Напомним некоторые определения из [1-2].

Определение 1. Число Ао называется собственным значением (с.з.) пучка Ь(Л), если существует функция у0(х) ф 0 в области определения £(А) такая, что £(А0)у0 = 0. Функция у0(х) называется собственной функцией (с.ф.) пучка £(А), соответствующей с.з. А. □

Определение 2. Пусть А0 есть с.з. пучка £(А), а у00(х) — соответствующая с.ф.. Система функций у01 (х),у02(х),... , у01 (х) называется системой функций, присоединенных к с.ф. у00(х), если эти функции являются решениями следующих задач:

Т,Л , 1 б»£(А0) 1 д*Ь(А0)

Ь(А0)У09 + уу дА У0д-1 + ... + ——ЕГГТ— У00 = 0, q = 0, 1, . . . , 1.

q! дА?

Здесь д длЛ°) д|л=л°^ обозначает пучок, порожденный дифференциальным выражением

дк 1(у,Л°) дк и, (у,Л°) л . ^- , ^- ,-,

—дЛк и краевыми условиями —длк— =0, ^ = 1,п, к = 1,п. □

Пусть Л := {Ак} есть множество всех с.з. пучка £(А). Предполагаем, что множество Л счетно. Определение 3. Пусть А0 е Л и у00, у01,...,у01 есть система собственных и присоединенных функций (с.п.ф.), соответствующая с.з. А0. Обозначим

Vsq =

дs dts

•До t

t

tq

V0q + Ц V0q — 1 +-----+ qj V00

s = 0, n — 1, q = 0, l.

t=0

Для 0 < т < п система вектор-функций уд = (у0д, у1д,..., ут-1д)Т, д = 0,1, называется производной (по Келдышу) т-цепочкой, соответствующей системе с.п.ф. у00,у01,... , у01. □

Пусть У := {ук} есть множество всех с.п.ф. или, по-другому, корневых функций пучка £(А), соответствующих множеству Л.

Определение 4. Система У корневых функций пучка £(А) называется т-кратно полной в пространстве Ь2[0,1] (0 < т < п), если из условия ортогональности вектор-функции Н е ¿т[0,1] := [0,1] ф ■ ■ ■ ф Ь2 [0,1] всем производным т-цепочкам, соответствующим системе У,

4-V-'

т раз

следует равенство Н = 0. □

Определение 5. Дефектом данной системы векторов в гильбертовом пространстве называется размерность ортогонального дополнения к линейной оболочке этой системы. □

Решается задача нахождения условий на коэффициенты пучка £(А), при которых имеет место или отсутствует п-кратная полнота. В последнем случае естественно возникает вопрос об условиях т-кратной полноты при 0 < т < п.

Эта задача актуальна только для нерегулярных [2, с. 66-67; 3] пучков операторов £(А) (или вырожденных, как их иногда называют) с «плохим» поведением функции Грина при |А| ^ го (например, экспоненциальный рост в секторах раствора не меньше п). При «хорошем» поведении функции Грина (например, степенная ограниченность при |А| ^ го на некоторых лучах) эта задача уже решена в [3-4].

Основополагающей по этой проблеме является работа [5], в которой была сформулирована (без доказательства) теорема об п-кратной полноте корневых функций пучка £(А), порожденного дифференциальным выражением (1) со специальной главной частью

у(п) + Ап у + {возмущение},

и распадающимися краевыми условиями (3) (когда часть краевых условий берется только в нулевом конце отрезка [0,1], а остальные — в единице). Эта теорема была доказана в [6] в случае аналитических коэффициентов дифференциального выражения и в [7] в случае суммируемых коэффициентов. Обобщение этой теоремы на случай конечномерного возмущения вольтеррова оператора было сделано в [8]. Случай произвольной главной части дифференциального выражения (1) был рассмотрен в [910]. В работах [3-4], относящихся к общему виду (1)-(2) пучка £(А), получены достаточные условия п-кратной полноты в Ь2[0,1] системы корневых функций в терминах степенной ограниченности по параметру А функции Грина пучка £(А) на некоторых лучах. Наиболее полное исследование вопроса об п- и т-кратной полноте и неполноте корневых функций пучка £(А) вида (1), (3), дифференциальное выражение которого имеет постоянные коэффициенты, а краевые условия — полураспадающиеся (не менее половины краевых условий берутся только в одном конце), проведено в [11-12].

Для некоторых классов пучков ¿(А), даже с постоянными коэффициентами, вопрос о кратной полноте корневых функций еще не исследовался. В данной статье рассматривается именно такой пучок ¿0(А), действующий в пространстве ¿2[0,1] и порожденный однородным дифференциальным выражением п-го порядка

1о(у, А) := р3кАзу(к), р3к е С, роп = 0, (4)

з+к=п

и линейно независимыми двухточечными нормированными краевыми условиями специальной структуры

и°(у,А) := £ А*агзку(к)(0) = 0, г = 1,1,

з+к=к 0

иг°(у,А) := Е А5«г*ку(к)(0)+ Е А5вгзку(к)(1)=0, г = I + 1,п,

(5)

а ргзк у4' чх)=0, г = I + 1,п,

з+к<к^0 з+к<к^1

где А, аг3к, вгзк е С, Кго, кп е {0,1,..., п - 1}, 1 < I < п - 1.

Пусть всюду далее выполняется основное предположение относительно дифференциального выражения 10(у, А), а именно, что корни ... ,о>п его характеристического уравнения

^ рзк= 0

з+к=п

различны, отличны от нуля и лежат на одном луче, исходящем из начала координат. Не нарушая общности, можно считать

0 < < < ■ ■ ■ < (6)

Для рассматриваемого пучка (4)-(5) с условием (6) не выполняются основные предположения [11, с. 60], а именно, что существует прямая й, проходящая через начало координат, не содержащая ^-корней и делящая комплексную плоскость на две полуплоскости, внутри каждой из которых число этих корней не меньше п — I, а также, что краевые условия являются полураспадающимися.

Однократная полнота корневых функций для частного случая пучка (4)-(5) при I = п — 1 в предположении (6) исследована в [13].

Для формулировки основного результата введем обозначения:

аг., = ^ агзк , г = 1,п, 3 = 1,п,

Но

з+к=к^0

Ъг. = ^ вгзк^^, г = I + 1, п, 3 = I + 1, п,

з+к=к^1

г т 1- Г т п, если п > 0,

кг =шт{кг0, к^}, г = I + 1,п, [п] + = <

0, если п < 0.

Теорема 1. Если выполняется условие (6) и

ёе^аго )г,о=1 = 0, ёе^аг. )По=1 = 0, ёефг. )По=г+1 = 0, то система корневых функций пучка (4)-(5) т-кратно полна в ¿2[0,1] при т < п — I с возможным

п

конечным дефектом, не превышающим числа Е [т — 1 — кг]+.

г=г+1

Теорема точна в следующем смысле. В работе [11, с. 72-77] (см. также [12, с. 58-62]) сформулирована теорема об (п — I + 1)-кратной неполноте системы корневых функций для частного случая пучков вида (4)-(5), краевые условия которых являются полураспадающимися и не зависят от параметра А. Но доказательство этой теоремы, по нашему мнению, не достаточно убедительно. В [14-15] при I = п — 1 и т = п — I + 1(= 2) получены достаточные условия на корни {^ }П, при которых системы корневых функций пучков вида (4)-(5) с условием (6) т-кратно не полны в ¿2[0,1] и имеют бесконечный дефект.

Оставшаяся часть статьи посвящена доказательству теоремы 1. Схема доказательства соответствует схеме доказательства теорем 2.1, 2.2 и 2.3 из [11] или [12]. Центральную роль в доказательстве играет лемма, которая формулируется и доказывается в следующем разделе.

2. ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ И ОСНОВНАЯ ЛЕММА

Функции у^-(х, А) = ехр(А^-х), ] = 1,п, образуют фундаментальную систему решений уравнения (ф.с.р.) 10(у,А) = 0 при А = 0.

Ненулевые собственные значения (с.з.) Ак =0, к = 1, 2,..., пучка (4)-(5) являются нулями целой функции Д(А) := ёеЦЦ0(у^ (х, А), А))Несмотря на то, что Д(0) = 0, число А0 = 0 может быть с.з., а может и не быть.

Обозначим через Ф^(х, А) функцию, полученную из Д(А) заменой г-й строки в случае 1 + 1 < г < п строкой у1(х, А),..., уп(х, А). Непосредственно можно убедиться в том, что столбцы

дкФг(х,А) дк (Ат-1 Фг(х,А))\ Т

дА1 дА1 / ,

'л=л^

где г = 1 + 1,п, к = 0, 5, т е {1,... ,п}, V = 1, 2,..., являются производными, по Келдышу, т-це-почками для корневых функций, соответствующих с.з. А^, которое является нулем Д(А) кратности

5 + 1.

Введем в рассмотрение функции:

г1 m дj — 1Ф Л) _

ег(Л)= / У^-фт^^hj (x) dx, i = l + 1,n, (7)

Л Д(Л)

'о j=i

где h(x) = (hi (x),...,hm(x))T e Lm[0, l].

Перепишем (7) в виде

(Л) = Д§, i = l + 1,n, (8)

где Aj(Л) получается из Д(Л) заменой i-й строки строкой

un+11 (Л), un+12(Л), • • • , (Л),

где

г 1 m

Л j — 11

un+1k(Л) = V]hj (x^j V(x, Л) dx.

Л j=1

Следующие два утверждения потребуются нам в дальнейшем. Их доказательство можно найти, например, в [12, с.48-49].

Утверждение 1. Функции Ф1+1 (x, Л),..., Фп(x, Л) являются линейно-независимыми решениями уравнения l0(у, Л) = 0, удовлетворяющими первым l условиям (5) в точке 0.

Утверждение 2. Функции ©¿(Л) не зависят от выбора ф.с.р. уравнения 10(у, Л) = 0. Введем в рассмотрение следующие множества:

П+ = {Л e C | arg Л e [0,| - е] U [у + е, 2п)}, П— = {Л e C | arg Л e [| + е, у - е] },

где е > 0 и достаточно мало. Лемма 1. Если

det(aij )jj=1 = 0, det(bjj )^=г+1 = 0, (9)

то при Л e П+ и |Л| » 1 справедливы оценки

|©г(Л)| < C|Л|т— 2 — , i = l + 1,n,

а если

det(ajj )nj=1 =0, (10)

то при Л e П— и |Л| » 1 справедливы оценки

|©г(Л)| < C|Л|т— 2 — Ki0 , i = l + 1,П.

Доказательство. Пусть А е П+. Исходя из вида функций у.(х, А), 3 = 1,п, в этом случае будем иметь

иг0 (у. ,А)= Аз агзк -к Ак = АК- ^ «гзк -к = АК<0 аг., г =

з+к=к^(

з+к=к^(

иг0 (у. ,А)= Азагзк-к Ак + 5] Азвгзк-к АкеЛш" =

з+к<к^0 з+к<к^1

, Кг0 — 1\ I \Кг1 Лш

АКг0 агзк -к + 0(АКг0—1) + АК" еЛш" ^ вгзк-к + О(АК"—^)

з+к=к^0 з+к=к^1

^—е—^ = АК"еЛш" [Ъг.], г = I + 1,п,

= АК" еЛш" ( ^ вгзк -к + 0( а) + О(А'™ ' '"е

з+к=к^1

где использовано обозначение [с] = с + О(Л) при |А| ^ го.

Подставим эти выражения в Д(А) и разложим этот определитель на основании теоремы Лапласа по первым I строкам. С учетом соответствующих свойств определителей, неравенств (6) и предположений (9) получим

Д(А) =

АК10 ап

АК10 а1Т

АК10 ап ••• АК10 агп

Акг+11 еЛш1 [Ъг+П ] ... АК1+11 еЛШп [Ъг+ш]

еЛш1 [Ъп1 ] ... а^п1 еЛшп [Ъпп]

а11 ... а1г [Ъг+1г+1] ... [Ъг+1п]

аи ... аи [Ъп1 + 1] . . . [Ъпп]

= ±А^к=1 кк0+Е п=г+1 Кк1 х

+ о (еЛ(Еп=1+1 +шг—Шг+1)^

= ±А^ к = 1 Кк0+Е£ = г + 1 Кк1 еЛЕ "=г + 1

а11 . .. ац

ац . .. ац

Ъг+1г+1 ... Ъг+1г

Ъп/ + 1 ... Ъ

пп

Ъп1 + 1 \1

+ А

/

= ±А^к=1 Кк0+£к=г+1 Кк1 е^"=1+1ш ёе^аг.ёефг.[1]. (11)

Дальнейшие рассуждения проведем только для случая 1 < I < п — 2, чтобы не увеличивать слишком объем статьи. Рассуждения в случае I = п — 1 являются более простыми и мы их опускаем. При всех ненулевых А е С справедливы соотношения:

„ 1 т

(А)= / 5>к(С)Ак—1 у. (С, А) ¿С

к=1

= Ат—1 / МС)еЛ^5 ¿С + Ат—2 / ^т—1 (С)еЛш"5 ¿С + ••• + / ^ (С)еЛш"5 ¿С =

„1 т „1 = Ат—11 V Ак—т^к(С)еЛш"5 ¿С = Ат—11 МС, А)еЛш"5 ¿С, 3 = Л к=1

где Л,т(С, А) := Ет=1 Ак—т^к(С). Используя эти соотношения, найдем

Д1+1(А) =

АК10 ап

АК10 а1Т

АК10 ац ••• АК10 а^п

Ат—1 /о ^т(С,А)еЛ-15 ¿С ••• Ат—1 /о ^т (С, А)еЛш"5 ¿С

АК1+21 еЛш1 [Ъг+21] ••• АК1+21 еЛШп [Ъг+2п ]

АКта1 еЛш1 [Ъп1 ]

АКп1 еЛШп [Ъпп]

(12)

х

и

1

1

1

о

о

о

= Ат-1+Ек=1 Кк°+Е к=г+1 (-1)г+1+. дг+1^. (А) / Нт(С, А)ел^«¿С,

5 = 1

(13)

0

разложив определитель по элементам (1 + 1)-й строки, где Дг+1. (А) есть минор к элементу (1 + 1, ]) в определителе, получающемся из Дг+1 (А) после вынесения А в соответствующей степени из строк, т. е.

Д1 + 1. (А) =

ел^-1 [6^-1 ] ел",+1 [6^+1] ... ел"п [6ПП ]

Раскладывая этот определитель на основании теоремы Лапласа по первым 1 строкам и используя соответствующие свойства определителей, получим при ] = 1,1

Дг+1. (А) = ±елЕ п=1+2Шк

[61+21+2] . . . [6г+2п]

«11 . . . «1.-1 «1. + 1 . . . «11 + 1 «¿1 ... «.-1 «.+1 ... «гг+1

+ О

/

= ±ел(£ п=1+1 --1+1) [А. Д+11+1].

[6п1+2] ... [6 ПП I

Здесь и далее используются следующие обозначения:

А :=

«11 . . . «1.7-1 «1. + 1

«11 + 1

=

61 + 11+2

«¿1 ... «.-1 «¿. + 1 . . . «¿¿ + 1 6г+1.—1 6г+1.+1 ... 6г+1п

^ = 1,1 + 1;

г = 1 + 1, п, ^ = 1 + 1, п.

При ^ = 1 + 1, п будем иметь

Дг+17 (А) = ±ел(Е п=1+1 )

[6г+2г+1] ... [6г+2.-1] [6г+2.+1]

[6п1 + 1 ] ... [6п. -1] [6п. + 1]

[6г+2п]

[6пп]

X

«11 ... «11

+ О' А

«¿1 ... «гг Таким образом, из (13)-(15) получим

\

/

= ±ел(£ п=г+1 ) [Вг+1. Аг+1 ].

(14)

(15)

Дг+1 (А) = Ат-1+Ек=1 Кк°+£п=г+1Кк1 -К1+11 К^ (±ел(Еп=1+1Шк-шг+1 )[А.Вг+1г+1 ])

. =1

0 Нт(С,А)ел-,« ¿С + Е (±ел(ЕП=1+1 ^)[Аг+1 Вг+у]) £ Нт(С,А)ел-,«=

7=1+1

п

1

х

х

X

X

X

= Ат—^Е к=1 Кк0+Е п=г+1 Кк1—К1+11 еЛЕ п=г+1Шк ^ В1+11+1 ])

.=1

х / Лт(С, А)еЛ(ш"5—Ш1+1) ¿С + £ (±[АЛ+1В1+У]) / Лт(С)еЛш"(5—1) ¿С

(16)

.=1+1

Положим А = г ехр(г^) и пусть для определенности ^ е [0, П> — е] .В случае ^ е [Зт + е, 2п)

проводим аналогичные рассуждения. Используя неравенство Коши - Буняковского, получим при 3 = 1,п

Лт(С,А)еЛш"(5—1) ¿С

< 0 |Лт(С, А)|ег2-1 (5—1) ¿С < (£ |Лт(С, А)|2 х

т 1 1 е2г П-1 (5—1) ¿С) =Е 17^—к ИЛ» Ю,1Г 1

к=

1 | А|

2г 2-1

1 — е

— 2гПвшЛ2 <

Л/1А'

Следовательно, при 3 = 1,1 справедливы оценки

Лт(С,А)еЛ(ш"5—ш1+1) ¿С

Из (16)-(18) окончательно найдем

= — Ш1 + 1 )

Лт(С,А)еЛш"(5—1) ¿С

<

С

Л/1А'

|Д1+1 (А)| < С |А|т— 2 +£ к=1 Кк0 +Е к=г+1 Кк1 —Кг+11 еЛЕ к=г+1

Рассуждая аналогично (13)-(16), будем иметь при г = I + 2,п

Дг (А) = Ат—к=1 Кк0+Е п=1+1 Кк1—е^ п=1+1шк (±[А Вгг+х])

.=1

х / Лт(С, А)еЛ(ш"5—Ш1+1) ¿С + Е (±[Аг+1Вг.]) /"' Лт(С,А)еЛш"(5—1) ¿С

.=1+1

откуда, используя оценки (17)-(18), аналогично (19) получим при 3 = I + 2,п |Дг (А)| < С |А|т— 2 к=1 Кк0 +Е п=г+1 Кк1 — Кг1 еЛЕ п=г+1 шк .

Из формул (8), (11), (19)-(20) и предположений (9) в случае А е П+ будем иметь

|@г(А)| =

Дг (А)

Д(А)

< С |А|

т— 3 —кг1

г = I + 1, п,

т. е. утверждение леммы в этом случае доказано. Пусть теперь А е П—. В этом случае при 3 = 1,п

иг0 (у. ,А)= ^ Аз агзк -к Ак = АКг0 ^ «гзк -к = АКг0 ^, г = 1,1;

з+к=кг

з+к=кг

иг0 (у. ,А)= Аз агзк -к Ак + 5] Аз вгзк -к Ак еЛш" =

з+к<кг

з+к<кг1

АКг0 Е агзк-к + О(АКг0—1) + О(АКг1 еЛш1) = АКг0 ( Е «гзк-к + о(А) + О(АКг1

з+к=кг0 \з+к=кг0

= А"0( Е агзк -к + °( А ))

\з+к=кг0 /

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

Кг1—Кг0,, ЛШ1 Л 1 _

= АКг0 [а. ], г = I + 1,п.

(22)

х

п

1

о

1

X

о

1

1

о

о

Подставив эти асимптотические формулы в Д(А), найдем с учетом предположения (10) АК1° он ••• АК10 ахп

Д(А) =

АК1° оц ■ ■ АК1° огп / о11 . . 01п

= п = 1 Кк°

АК1+10 [01+11 ] ■ ■ АК1+10 [ог+1п] V

оп1 . . 0п1

АКп0 [ощ]

+оА

\

А п° [опп]

= А^ П=1 Кк0 ёе^ау )п ^-=1[1].

(23)

Далее, подставляя формулы (21), (22), (12) в Дг(А) при г = I + 1,п, вынося из каждой строки А в соответствующей степени и раскладывая оставшийся определитель по элементам г-й строки, получим

Дг(А) =

АК1° о11

АК1° оц АКг+1° [ог+п]

Ак^-10[аг-11 ]

Ат-1/о (С,А)еЛ^ ¿С

Ак*+10 [аг+и ]

АКп0 [от ]

АК1° о1п

АК1° агп АКг+1° [аг+1п]

Ак^-10[аг-1П] Ат-1/о МС,А)еЛ^«¿С Ак<+1° [аг+1п]

= аго-1+£ п = 1 Кю —к;,

п „ 1 Е(-1)г+у /

(С,А)вЛш^« ¿С

А п° [опп] 011 . . . а1у-1 01у + 1

оц . . огу—1 огу+1 . . огп

[ог+ц ] . . [ог+1у—1] [ог+1у+1] . . [ог+1п]

[ог —11 ] . . [ог —1у —1] [ог — 1у + 1] . . [ог—1п]

[ог + 11 ] . . [ог+1у —1] [ог + 1у + 1] . . [ог+1п]

[оп1] . . [опу —1] [опу + 1] . . [опп]

о1п

Отсюда, учитывая, что в рассматриваемом случае ИеА^п < ••• < ИеА^1 < 0 и имеют место оценки

* С

^ (С,А)еЛ^-«¿С

<

у/Щ

, 3 = 1,п,

аналогичные оценкам (17), легко получим при г = I + 1,п

Д(А)| < С|А|т-3+ЕП=1Кк0—. Из формул (8), (23), (24) и предположения (10) в случае А е П- будем иметь

Дг (А)

(24)

(А)1 =

Д(А)

< С|А|

т — 3 —

г = I + 1, п,

т.е. утверждение леммы и в этом случае доказано. Тем самым лемма полностью доказана.

Следствие 1. Если выполняются условия (9)—(10) и А е П±± то при |А| » 1 справедливы оценки

|©г(А)| < С|А|т— 2 —к

г = I + 1, п.

(25)

х

х

о

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ КРАТНОЙ ПОЛНОТЫ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть Н := (^1,... Нт)Т е 1] ортогональна всем производным т-цепочкам. Тогда на основа-

нии утверждения 2 и того факта, что столбцы

/дкФг(ж, А) дк (Ат-1 Фг(ж,А))\

дАк

дАк

л=л^

где г = I + 1,п, к = 0,5, т е {1,...,п}, V = 1,2,..., являются производными т-цепочками для корневых функций, соответствующих с.з. А^, которые являются нулями Д(А) кратности 5 + 1, из (7)-(8) следует, что все особенности ©¿(А) устранимы. Согласно оценкам (25) и теореме Лиувилля ©г (А) есть полиномы степени т — 2 — при т — 2 — > 0, которые можно записать в виде

©г (А) = Ат-2-к (Н, Ссг) + Ат-3-К< (Н, С1г) + ■ ■ ■ + (Н, Ст-2-кгг) , а при т — 2 — < 0

©г (А) = 0.

В дефектном подпространстве производных т-цепочек выберем подпространство Н, ортогональное вектор-функциям Ск!(ж), к = 0, т — 2 — кг, г = I + 1,п. Пусть теперь Н е Н. Тогда ©г(А) = 0 и, значит,

-1 т

Дг(А) = ЕА^-1Фг(ж, А)Н^-(ж) ¿ж = 0, г = I + 1,п.

(26)

'0 5.=1

Так как в силу утверждения 1 система функций Фг+1,..., Фп является системой линейно-независимых решений уравнения 10(у,А) = 0, удовлетворяющих первым I краевым условиям (5), то из (26) следует тождество

1т

(ж

у(ж, А) ^^ А-7 (ж) ¿ж = 0

(27)

7=1

для любого решения у (ж, А) уравнения 10 (у, А) = 0, удовлетворяющего первым I краевым условиям (5). Но эти решения находятся в виде

у(ж, А) = 71вЛш1Х + 72вЛш2Х + ■ ■ ■ + 7пе

,Лш„ х

(28)

если удовлетворить первые I условий (5). Следовательно, приходим к следующей линейной однородной системе I уравнений для нахождения 77

У^ 77 =0, г = 1,1. 7=1

(29)

Систему (29) можно записать в виде

7=1 7=1+1

г = 1,1.

(30)

Если в правой части взять любые 7г+1,...,7п, то из (30) в силу того что по условию теоремы )¿,7=1 = 0, можно однозначно определить 71 ,...,7^. Следовательно, для любого т < п — I существует такая ф.с.р. (7!,72,...,7П)т, г = 1,п — I, системы (29), что

= 0.

Г =

т

Тп- т+1 Тп — т+2 .

^ т /п — т+1 ^ т /п — т+2 . ^ т / п

(31)

На основании (27)-(28) для такой ф.с.р. (7!,72, ...,7П)т , г = 1,п — I, системы (29) справедливы тождества

п „1 т

Е / 77х Е Ак-1 Нк(ж) ¿ж = 0, 7=1 0 к=1

г = 1, п — I.

(32)

0

п

п

Покажем, что из этих п — I тождеств следует, что = 0 при к = 1,т. Будем следовать схеме рассуждений [11, с. 77-80] (см. также [12, с. 63-64]). Разложим еЛ£^'х в ряд

e^jx = 1 + A—7 x +

(A—7 x)2 (A—7 x)N

2!

+ ••• +

N!

+ ...,

подставим в (32), представим левые части (32) в виде ряда по степеням А и приравняем к нулю коэффициенты. Тогда при N > N0, где N0 — достаточно большое число, получим

^ Yi —N Г1 V^ 7 —7 I u /™\™N

N!

7=1

h1(x)x dx + ■ ■ ■ + /

^ Yj —f-m+1

1 (N - m + 1)!./0

hm (x)x

N-m+1 _

dx = 0, i = 1,n — l. (33)

Это линейная алгебраическая система относительно m неизвестных

/ h1(x)xN dx, / h2 (x)xN 1 dx, /0 ./0

hm(x)x dx.

Возьмем первые т уравнений в (33) и рассмотрим соответствующую систему с квадратной матрицей:

Dm = dn =

Vn Y1 j Vn Y1-W3_

¿47 = 1 7 N! ¿47 = 1 7 (N-1)!

En

7 = 1 Y

7 = 1 7 (N-m+1)!

Vn Ymj Vn Ym Z^7=1 /7 N! Z^7=1 7

7 = 1 7 N! ¿47 = 1 7 (N-1)!

1 W - и W -

V1 Y1 J2

7i N! '72 (N-1)!

£

1<71 <72 < ••• <7т <П

En

7=1 /

N-m + 1

m

7 = 1 7 (N-m+1)!

N-m + 1 1 W. + Y1 jm_

7m (N-m+1)!

N N-1 N-

W• w • w"

'm 31 _ m 32 -,m 3m

/71 N! 72 (N-1)! ••• /7

—N —ü-1

71 N! 72 (N-1)!

N-m+1

^ N! (N — 1)! "' (N — m + 1)!

1<71 <72<-<7m <n v У V У

7m (N-m+1)!

Y71 Y72 . .

Y m Y m Y m

'71 '72 • • ' 7

71 132'"' 7то

Отсюда и из (6), (31) можно заключить, что слагаемое, соответствующее 31 = п — т + 1, 32 = п — т + 2, ..., 3т = п, при N достаточно большом мажорирует сумму всех других слагаемых, т. е. имеет место равенство

N

т-jm _ "^n-m+1 —n-m+2

DN =

N-1

—.

N-m+1

N! (N — 1)!"'(N — m + 1)!

Г41 + o(1)),

где о(1) ^ 0 при N ^ го. Следовательно, при N > N0 получим ^т = 0. Тогда из системы (33) будем иметь при N > N(3

1 1 1 „N > _ / l.^^N-1

h1(x)xN dx = h2 (x)xN-1 dx = ... = hm(x)xN-m+1 dx = 0.

Отсюда следует, что =0 при к = 1,m. Таким образом, теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (проект НШ-4383.2010.1) и гранта РФФИ (проект 10-0100270).

Библиографический список

1. Келдыш, М.В. О полноте собственных функций 2. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные опе-некоторых классов несамосопряженных линейных опе- раторы / М.А. Наймарк. - М.: Наука, 1969. раторов / М.В. Келдыш // УМН. - 1971. - Т. 26, № 4. 3. Шкаликов, А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в гра-

- С. 15-41.

1

0

1

0

N-m+1

W .

1

w"-1

1

Y

7

0

0

0

ничных условиях / А. А. Шкаликов // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. - 1983. - № 9. - С. 190-229.

4. Gasymov, M. G. О кратной полноте системы собственных и присоединенных функций одного класса дифференциальных операторов / M. G. Gasymov, A. M. Magerramov // Докл. АН Азерб. ССР. - 1974. - Т. 30, № 12. - С. 9-12.

5. Келдыш, М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений / М.В. Келдыш // Докл. АН СССР. - 1951.

- Т. 77, № 1. - С. 11-14.

6. Хромов, А. П. Конечномерные возмущения вольтер-ровых операторов: дис. ...д-ра физ.-мат. наук / Хромов А. П. - Новосибирск, 1973. - 242 с.

7. Шкаликов, А. А. О полноте собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора с нерегулярными краевыми условиями / А. А. Шкаликов // Функц. анализ. - 1976. - Т. 10, № 4. - С. 69-80.

8. Хромов А. П. О порождающих функциях вольтерро-вых операторов / А. П. Хромов // Мат. сборник. - 1977.

- Т. 102(144), № 3. - С. 457-472.

9. Freiling, G. Zur Vollständigkeit des Systems der Eigenfunktionen und Hauptfunktionen irregulärer Operator-bUschel / G. Freiling// Math. Z. - 1984. -V. 188, № 1. - P. 55-68.

10. Тихомиров, С. А. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов в пространстве вектор-функций: дис. . . . канд. физ.-мат. наук / Тихомиров С. А. - Саратов, 1987. - 126 с.

11. Вагабов, А. И. Разложения в ряды Фурье по главным функциям дифференциальных операторов и их применения: дис. . . . д-ра физ.-мат. наук / Вагабов А. И.

- М., 1988. - 201 с.

12. Вагабов, А. И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов / А. И. Вагабов. - Ростов н/Д: Изд-во Рост. ун-та, 1994. - 160 с.

13. Рыхлов, В. С. О полноте собственных функций одного класса пучков дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами / В. С. Рыхлов // Изв. вузов. Математика. - 2009. - № 6. - С. 42-53.

14. Рыхлов, В. С. О кратной неполноте собственных функций пучков обыкновенных диференциальных операторов / В. С. Рыхлов // Математика. Механика: Сб. науч.тр. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. - Вып. 3.

- С. 114-117.

15. Рыхлов, В. С. О кратной неполноте собственных функций пучков дифференциальных операторов, корни характеристического уравнения которых лежат на одном луче / В. С. Рыхлов // Докл. РАЕН. - Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 2004. - № 4. -С. 72-79.

УДК 517.956

О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ

П.В. Садчиков, А.Д. Баев

Воронежский государственный университет, кафедра уравнений в частных производных и теорий вероятностей

E-mail: sadch@freemail.ru, alexsandrbaev@mail.ru

Рассматриваются краевые задачи в полупространстве для одного класса псевдодифференциальных уравнений. Установлены коэрцитивные априорные оценки и теоремы о существовании решений таких краевых задач.

Ключевые слова: вырождающееся эллиптическое уравнение, априорная оценка, псевдодифференциальный оператор, краевая задача.

Аbout Some Boundary Problems in the Semispace for a Class of Pseudo-Differential Equations with Degeneracy

P.V. Sadchikov, A.D. Baev

Voronezh State University

Chair of the Equations in Partial Derivatives and Probability Theory E-mail: sadch@freemail.ru, alexsandrbaev@mail.ru

Boundary problems in the halfspace for one class of the pseudodifferential equations are considered. The coercetive a priori estimations and theorems of the existence of solutions for these problems are established.

Key words: degenerating elliptic equation, a priori estimation, pseudo-differential operator, boundary problem.

Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений относятся к неклассическим задачам математической физики. Одна из главных трудностей, возникающих в теории вырождающихся эллиптических уравнений, связана с влиянием младших (в смысле теории регулярных эллиптических уравнений) членов на постановку краевых задач и их разрешимость.