CC BY
22
никам В^2В3, ..., В1Вп-1 Вп тип а еее(1), докажем следующее свойство эллиптического орициклического п-реберпика.
Теорема 2. В эллиптическом орициклическом п-ребернике плоскости Н длина а основания и длины Ь1; Ь2, ..., Ьп-1 остальных ребер связаны соотношением
а
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч, Ч, 1 : Тригонометрия, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2013, 244 с,
2, Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч, Ч, 2 : Преобразования и простые разбиения, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2013, 274 с,
УДК 517.927.25
B.C. Рыхлов
N-КРАТНАЯ ПОЛНОТА КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ N-ГО ПОРЯДКА
В пространстве L2[0,1] рассмотрим пучок L(A),
%,A):= ^ PjSAsy(j), j е C, Pno = 0, (1)
j+s<n
^ ajAsy(j)(0) = 0, i = 1Д (2)
j+s<Ki0
^ ajAsy(j)(0)+ ^ eijsAsy(j)(1) = 0, i = r+1~n, (3)
j+s<Kio j+s<Kn
где A, aljS,eijS е C, Ко, кц е {0} U N 0 < I < n — 1.
Далее используем, не повторяя в данном тексте, известные определения собственных и присоединенных функций или, кратко, корневых n
L(A)
при которых имеет место n-кратная полнота к.ф. этого пучка в L2[0,1].
n—1
= V^ sin
5>
i=1
2p
Основополагающей по этой проблеме является работа [3], в которой была сформулирована теорема об п-кратной полноте к.ф. пучка £(Л), порожденного дифференциальным выражением (д.в.) со специальной главной частью
£(у, Л) := у(п) + Лпу + {возмущение}
и распадающимися краевыми условиями. Эта теорема была доказана в [4] в случае аналитических коэффициентов д.в. и в [5] в случае суммируемых коэффициентов. Случай произвольной главной части д.в. был рассмотрен в [6, 7]. Детальное исследование вопроса обп- и ш-кратной полноте к.ф. пучка Ь(Л), д.в. которого имеет постоянные коэффициенты, а краевые условия - полураспадающиеся, проведено в [8].
Предположим, что корни иа = га ехр г^а, а = 1,п, характеристического уравнения ^л+а=п= 0 Д-в- (!) простые, отличны от нуля
и
лежат на п лучах (1 < п < п), исходящих из начала. Будем считать при и0 = /, = п
0 < фщ+1 = • • • = ^ < • • • < ^4-1+1 = • • • = ^ < 2п. (4)
Для пучка (1-3) с условием (4) не выполняются, вообще говоря, основные предположения [8], а именно, что существует прямая d, проходящая через начало, не содержащая ы-корней и делящая комплексную плоскость на две полуплоскости, внутри каждой из которых число этих корней не меньше п — /, а также, что краевые условия являются полураспадающимися.
Пусть а € [0, 2п) есть любое число, для которого существуют перестановка о(= о(а)) = {о^, о2,..., оп} множества {1, 2,...,п} и число Н(= Н(а)) € {0,1,..., п} такие, что
^(вгаыа1) < • • • < ) < 0 < ^(вгашан+1) < • • • < ^(бгаыа„).
Множество таких а обозначим через Б (это все числа из [0, 2п) за исключением решений уравнений = ), г = ] и ) = 0,
] = 1, п). Таких точек конечное число и между ними перестановок о и число Н не меняются.
Пусть краевые условия (3) упорядочены таким образом, что прий0 = = I, йГ+1 = п справедливы соотношения:
Ьо + 1 = ^ ^ ^ = Хв1 < Хв1 + 1 = ^ ^ ^ = Хв2 < ^ ^ ^ < Хвг + 1 = ^ ^ ^ = Хвг+1 ,
где обозначено х» = — к»0, г = 1, п.
Для а € Б пусть 7(= 7(а)) £(= £(а)) есть такие индексы, что
57 + 1 < Н + 1 < +1, + 1 < п — Н + 1 < 5^+1.
Считаем, что 7 = 0 £ = г + 1 при Н = 0и 7 = г + 1 £ = 0 при Н = п.
Обозначим [й]+ = тах{й, 0} и положим для того же а, ^ = 1,п и г = 1, п ми г = I + 1, п
ау = ^ , = ^ ; к = тт{кю, кй};
а-1 = det(агj )]=!/, а2 = det(агj :+1,п Ь1 = Ь2 = )^=1'п—:
6г^г=/+1,/
" у^=/+1,/
А =
У=1,^
)?
В =
а
(0СЙ МЙГ
)г=5й+1,п (аУ )г=5й+1,п
а) а1 = 0, 61 = 0 при Н < I; 6) А = 0 при Н > I; с) а2 = 0, 62 = 0 пр и Н>п — I; В = 0 пр и Н < п — I.
В случае 1 < I < п — 1 обозначим
су (А) = ^ А5+ва^в, г = ТТГ, ^ = 17п,
и рассмотрим линейную алгебраическую систему
(4)
У^ су (А)^ = 0, г = 1,1, у=1
(5)
отнсительно вектора (¿1,..., ¿п)т.
Пусть (¿в1(А), ^2(А),..., ^5П(А))т, й = 1,п — I, - базис пространства решений системы (5). Не нарушая общности, считаем ¿у (А) многочле-А
Составим матрицы
^ (А) =
(А) . . . (А)
+ 1(А) ... ¿п—(А)
Теорема 1. Пусть либо l = 0, либо 1 < l < n — lu rank Dj = = Vj — Vj—\, j = Если для пучка L(Л) eWa npw некото-
ром a G S выполняется условие (4), то система к.ф. этого пучка n-кратно полна в [0,1] с возможным конечным дефектом, не превышающим числа Eti[n — 1 — Ki]+ в случае, если выполняется неравенство шах{к^о, Ki1} > n хотя бы для одного i = 1,n7 и с нулевым дефектом в противном случае.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Ks 1301-00238).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // Успехи мат, наук, 1971, Т. 26, 4, С, 15-41,
2, Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы, М, : Наука, 1969, 528 с.
3, Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // Докл. АН СССР, 1951, Т. 77, .V" 1. С. 11-14,
4, Хромов А. П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов : дне, ,,, докт, физ.-мат, наук, Новосибирск, 1973, 242 с,
5, Шкаликов A.A. О полноте собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора с нерегулярными краевыми условиями // Функц. анализ. 1976. Т. 10, № 4. С. 69-80.
6, Freiling G. Zur Vollständigkeit des Systems der Eigenfunktionen und Hauptfunktionen irregulärer Operator-büsehel // Math. Z. 1984. Vol. 188. P. 55-68.
7, Тихомиров С. А. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов в пространстве вектор-функций : дис. ... канд. физ.-мат, наук, Саратов, 1987. 126 с.
8, Вагабов А. И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. Ростов н/Д : Изд-во Рост, ун-та, 1994. 160 с.
УДК 517.51
С. П. Сидоров
ОЦЕНКА СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФОРМОСОХРАНЯЮЩИХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Условия сходимости последовательностей линейных положительных операторов {Kn}n>1 к тождественному оператору в пространстве непрерывных функций были найдены П. П. Коровкиным [1, 2]. Количественные результаты об оценке скорости сходимости Хп/ к ] были получены в работе [3]. Развивая идеи и результаты работ [4-6], в настоящей статье мы получаем некоторые количественные результаты по оценке скорости сходимости для последовательностей формосохраняющих операторов.
