Оценка скорости сходимости последовательностей формосохраняющих линейных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 1. Пусть либо l = 0, либо 1 < l < n — lu rank Dj = = Vj — Vj—\, j = Если для пучка L(X) вида (1-3) при некотором a G S выполняется условие (4), то система к.ф. этого пучка n-кратно полна в L2 [0,1] с возможным конечным дефектом, не превышающим числа Eti[n — 1 — Ki]+ в случае, если выполняется неравенство шах{к^о, Ki1} > n хотя бы для одного i = 1 ,n, и с нулевым дефектом в противном случае.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Ks 1301-00238).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // Успехи мат, наук, 1971, Т. 26, JVS 4, С, 15-41,

2, Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы, М, : Наука, 1969, 528 с.

3, Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // Докл. АН СССР, 1951, Т. 77, .V" 1. С. 11-14,

4, Хромов А. П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов : дне, ,,, докт, физ.-мат, наук, Новосибирск, 1973, 242 с,

5, Шкаликов A.A. О полноте собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора с нерегулярными краевыми условиями // Функц. анализ. 1976. Т. 10, № 4. С. 69-80.

6, Freiling G. Zur Vollständigkeit des Systems der Eigenfunktionen und Hauptfunktionen irregulärer Operator-büsehel // Math. Z. 1984. Vol. 188. P. 55-68.

7, Тихомиров С. А. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов в пространстве вектор-функций : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1987. 126 с.

8, Вагабов А. И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. Ростов н/Д : Изд-во Рост, ун-та, 1994. 160 с.

УДК 517.51

С. П. Сидоров

ОЦЕНКА СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФОРМОСОХРАНЯЮЩИХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Условия сходимости последовательностей линейных положительных операторов {Кп}п>х к тождественному оператору в пространстве непрерывных функций были найдены П. П. Коровкиным [1, 2]. Количественные результаты об оценке скорости сходимости Кп/ к / были получены в работе [3]. Развивая идеи и результаты работ [4-6], в настоящей статье мы получаем некоторые количественные результаты по оценке скорости сходимости для последовательностей формосохраняющих операторов.

Пусть X есть компактное подмножество К, есть пространство всех действительнозначных функций, определенных наХ. Пусть В есть подмножество А есть подпространство С(X), А С В. Пусть Ь : В ^ ^ есть линейный оператор такой, что Ь(А) С С(X).

Пусть Р = {/ Е В : Ь/ ^ 0} есть конус в А. Пусть и = йрап {щ}е

А

1) найдется и Е и такая, что Ьп(Ь) = 1 для всех г Е X;

2) существуют такие действительнозначные функции определенные на X чт0 Для всех г,х Е X будет Ьдх(Ь) > сЬНх(г)7 Ьдх(х) = 0, гДе дх := ¡е! аг(х)иг, с есть положительное число, не зависящее от х и г, и Нх такова, что Ьк^х) = (г — х)2.

Теорема 1. Пусть {Кп}п-^\, Кп : А ^ В, есть последовательность линейных операторов, удовлетворяющих свойству Кп(Р) С Р для всех п ^ 1. Тогда для любой / Е А и любого п = 1, 2,... будет

\(ь/ — ь(кп/))(х)\ <

< \Ь/(х)\ • \(Ь(Кпи) — Ьи)(х)\ + \(Ь(Кпи) + Ьи)(х)\ • ш(Ь/,^), (1)

где || • || означает равномерную норму в С(X)7 ш есть модуль непрерыв-

Доказательство. Пусть х,г Е X и пусть 5 > 0. Если \г — х\ > 5,

тогда

\ь/(г) — ь/(х)\ < ш(ь/, \г — х\) = ш(ь/, \г — х\5—15) <

< (1 + \г — х\5—1)ш(Ь/, 5) < (1 + с—1Ьдх(г)5—2)ш(Ь/, 5). (2)

принадлежат Р. Так как по условию теоремы Кп(Р) С Р для п ^ 1,

Кп Р

ноет,и и

Неравенство

\Ь/(г) — Ь/(х)\ < (1 + с—1Ьдх(1)5—2)ш(Ь/, 5)

(3)

всех п ^ 1. Значит, для любого п Е N будет

\Ь(Кп/)(х) — Ь(Кпи)(х)Ь/(х)\ <

< ш(Ь/, 5)(Ь(Кпи)(х) + с—15—2Ь(Кпдх)(х)) <

< ш(Ь/,5)(Ь(Кпи)(х)+ £5—2). (4)

Если дп > 0, то положим 5 = дп и получим

\Ь(Кп/)(х) — Ь(Кпи)(х)Ь/(х)\ < ш(Ь/,Дп)\(Ь(Кпи) + Ьи)(х)\, (5)

\ — Ь/(х) + Ь(Кпи)(х)Ь/(х)\ < \Ь/(х)\ • \(Ь(Кпи) — Ьи)(х)\. (6) Тогда (1) следует из (5) и (6). Если дп = 0, то

\(Ь/ — Ь(Кп/))(х)\ < \Ь/(х)\ • \(Ь(Кпи) — Ьи)(х)\,

и неравенство (1) тем более выполнено. Теорема доказана.

Говорят, что функция / : [0,1] ^ К является к-выпуклой, к ^ 1, на [0,1], если для произвольно вы бранных к + 1 различных т очек Ь0,... ,Ьк из [0,1], имеет место неравенство

[Ьо,...,Ьк]/ ^ 0,

где [Ь0,... ,Ьк]/ означает разделенную разность порядка к функции / по

узлам 0 ^ Ь0 < Ь\ < ... <Ьк ^ 1- Функция / является 0-выпуклой, если /(Ьо) ^ 0 для произвольпого Ь0 Е [0,1].

Обозначим Ск[0,1], к ^ 0, пространство всех действительнознач-к

на [0,1]. Обозначим Ак конус всех к-выпуклых функций, определенных на X = [0,1]. Обозначим ei(x) = х\ г = 1, 2,... Следующее утверждение впервые было приведено в работе [5].

Следствие 1. Пусть Ьп : Ск[0,1] ^ Ск[0,1], п ^ 1, есть последовательность линейных операторов таких, что Ьп(Ак) С Ак. Тогда для всякой / Е Ск(X) и для любых х Е (0,5п > 07 справедливо неравенство

\Бк/(х) — БкЬп/(х)\ < 1 \Бк/(х)\\Бкек(х) — БкЬпек(х)\ +

+ (1ВкЬпек(х) + 5—2вп(х)) ш(Бк/, 5п), (7)

где

/2 2 1 \

вП(х) = —кЬп[ ————-ек+2 - „ , Хви+Х + ТГХ2вЛ (х).

(к + 2)! к+2 (к + 1)Г ^ к!'

Доказательство. Пусть Ь = —к будет оператором дифференцирования порядка к, т.е. —к/(х) = А = В = Ск[0,1], и = = йрап{ек, ек+1, ек+2}, Р = Ак. Утверждение следует из теоремы 1.

Следствие доказано.

Пусть к,п Е N п ^ к + 2 г, = ]/п, ] = 0,1,... ,п, и определим линейный оператор Лк,п : Ск[0,1] ^ Ск[0,1] по шагам слева направо следующим образом [7]:

/(0) пхк+1

Лк,п/(х) = £ х' + (п+1)т [—к/(*,) - /(0)] ,х Е [0, 21], (8)

Лк,п/(х) = £ -Л/1 (х - г,)' +

'=0

( _ )к+1 п у^) —/ (г;+1) - Пк/ (г,)] ,

х Е (г,, г,+1], ] = 1,...,п - 1. (9)

Утверждение. Пусть Лк,п : Ск[0,1] ^ Ск[0,1] есть непрерывный

п+1

ями (8-9). Тогда Лк,п(Ак) с Ак и для вся кой / Е Ск (X) и для любо-х Е (0, 1)

|Пк/(х) - —к(Лк,п/)(х)| < 1 ^(Пк/,п-1), (10)

Доказательство. Так как —к(Лк,п/) есть кусочно-линейная функция на [0,1] с точками перелома {(г,, —к/(г,))},=0,...,п, то для всякой / Е Е Ск[0,1] такой, что —к/ ^ 0, будет выполнено неравенство —к(Лк,п/) ^ ^ ^е. Лк,п(Ак) с Ак.

Обозначим вг(х) = х\ г = 0,1,... Легко проверить, что Лк,пер = ер для всех р = 0,1,... ,к + 1 и есл и х Е [г,, г,+1) для некоторого 0 ^ ] ^ ^ п - 1, то

(—к(Лк,пек+2) - —кек+2)(х) = (к + 2)! (г,+1 - х) (х - г,) /2.

Теперь (10) есть результат применения следствия 1. Утверждение доказано.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1301-00238).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Korovkin P. P. Linear Operators and Approximation Theory. Delhi : Hind. Publ. Сотр., 1960. -222 p.

2. Коровкин П. П. О сходимости линейных положительных операторов в пространстве непрерывных функций // Докл. А.И. СССР. 1953. Т. 90, JV2 5. С. 961-964.

3. Shisha О., Mond В. The degree of convergence of linear positive operators // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1968. Vol. 60. P. 1196-1200.

4. Gonska H. H. Quantitative Korovkin type theorems on simultaneous approximation // Math. Z. 1984. Vol. 186. P. 419-433.

5. Knoo H. В., Pottinger P. Ein satz vom Korovkin-typ fur Ck raume // Math. Z. 1976. Vol. 148. P. 23-32.

6. Muñoz-Delgado F. J., Ramirez-González V., Cárdenas-Morales D. Qualitative Korovkin-Type Results on Conservative Approximation // J. of Approx. Theory. 1998. Vol. 94. P. 144-159.

7. Sidorov S. P. On the order of approximation by linear shape-preserving operators of finite rank // East J. on Approx. 2001. Vol. 7, № L P. 1-8.

УДК 519.8

Д. С. Смирнова

РАНЖИРОВАНИЕ АЛЬТЕРНАТИВ В ЗАДАЧАХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ С КАЧЕСТВЕННЫМИ КРИТЕРИЯМИ

Будем рассматривать задачу многокритериальной оптимизации по качественным критериям в виде

С = (А, (у)^), (1)

где А - непустое множество допустимых альтернатив, ^)jЕJ - критерии оценки этих альтернатив. Качественный критерий qj характеризуется тем, что шкалой для его измерения служит некоторое линейно упорядоченное множество (цепь) (Cj, <) ; формально qj представляет собой отображение qj : А ^ С. Каждой альтернативе а Е А сопоставляется вектор q(a) = ^(a))jЕJ, называемый векторной оценкой альтернати-а

в теоретическом анализе сравнение альтернатив заменяется сравнением их векторных оценок.