Некоторые свойства линейных формосохраняющих операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Из(9)получим

Л-iW = «„-1 i*i (л-) +... + an_Xnhn (*), С/л-2 )l О) = ая-21^1 (*) + - + ««-jA (*)>

(/о)я-10) = «01Л1 (*) + - + «оА (А где - числовые коэффициенты, определяемые однозначно из

системы (9).

Дифференцируя 2-е соотношение в (10) 1 раз, 3-е соотношение 2 раза, ..., последнее соотношение л-1 раз, получим

/»-1 (*) = «я-1 Л 00 + ■•• + а-п-иК 0)> /и-2 О) = «л-21Л1(-*) + - + ая_2пЛ;(х),

/0(х) = а0Д^Ч*) + - + а0_

По построению множество {/(*) = (/о (лг),/1 (*),.«,/л_1 (^))| удовлетворяет соотношению (2) \/ХеС и образует бесконечномерное подпространство в ¿2 [0, сг]. Тем самым теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ. Каково бы ни было множество Л сг С, система УЛ не

является «-кратно полной ни в каком пространстве ¿2[0,о] при ст>0 и имеет бесконечный дефект.

УДК 517.51

С. П, Сидоров

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ФОРМОСОХРАНЯЮЩИХ ОПЕРАТОРОВ*

Пусть X = [0,1] и Ck{X),k> 0, - пространство действительнозначных и к -раз непрерывно дифференцируемых функций на X. Обозначим D' оператор дифференцирования i -го порядка; | • || будет означать равномерную норму в С(Х) - С0 (А'), j|/j| = sup\f(x)\. Обозначим

хеХ

ej(x) = x',i = 1,2,... Пусть а = (стД>0 - последовательность с элементами о, е {-1,0,1} и h,k - два целых числа таких, что 0 <h<k и oh-ck* 0. Обозначим Ch k (a) = {f еСк (X): crDlf> 0, i = h,...,k}. Пусть

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 99-01-01120, и частичной поддержке программы "Ведущие научные школы", грант №00-15-96123.

Г = {г: h < i < к, ст, # 0, а,+1 = 0, а( • а,+2 * -1} • Если Г = 0, то мы, следуя [1], будем называть Ch к (ст) конусом I типа, в противном случае - конусом II

типа. В работе [1] получены следующие обобщения теоремы П. П. Коров-кина [2]:

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Пусть Скк(а) - конус I или II типа и пусть

Ln: Ск (Л^ Ск (X) есть последовательность линейных операторов таких, что

¿и(См(а))сСм(а). (1)

Если \im\\DkLne,-Dke]\ = 0J = h,...,k + 2, то limb*L„/-D4/II = 0 для

Л_ХЮ II J J 11 л—><Х)11 II

всех f еСк (X).

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Пусть Chk(a) - конус II типа и геГ. Пусть

Ln\Ck (А") -» Cr (X) есть последовательность линейных операторов таких, что

L„(Cy(o))cCr/(c). (2)

Если Иш ¡DrLne ¡-Dre 1 = 0, j = к, то lim \DrLnf- Dr f\\ = 0 для

n—>co 'I J " rt—>oo II II

всех / eCk(X).

Напомним, что оператор L, определённый в С(Х), пространство образов которого имеет размерность п +1, dim {Lf: f е С(Х)} = п +1, называется оператором конечного ранга п +1.

В работе [3], обобщая результат П. П. Коровкина [4], было показано, что порядок приближения производными линейных операторов конечного ранга п + 1, обладающих свойством формосохранения (1), не может быть выше, чем п~2, уже на системе из трёх функций ек,ек+1,ек+2 ■

Цель настоящей статьи - установить аналогичный результат для линейных конечномерных операторов, обладающих свойством формосохранения (2).

ТЕОРЕМА. Пусть Сгг+2(ст) - конус II типа и re Г. Пусть L„ :СГ+2(Х) -> СГ(Х) есть линейный оператор конечного ранга п + 1 такой, что DrLner = Drer и

¿„(Crir+2(a))cCrir(a). (3)

Тогда

А, •(1 + А) • - Drer+lI + -i— • ¡DrLner+2 - DrLner+2\\ >

(r +1)! 2 (n +1) 11 11 (r + 2)! 11 11

8(n +1)2

Доказательство. Без потери общности считаем ог = аг+2 = 1. Так как Ьп - линейный оператор конечного ранга и +1, то существует система функций {";}/=о> порождающая линейное пространство {¿„/: / еСг+2(Х)}. Рассмотрим матрицу А = где

= —,/ = 0,...,« + 1. Ранг матрицы А не равен нулю. Действительно, п +1

п

если гапкА = 0, то = £а,(/) ■ .О^Дг*) = 0 для всех

¿=0

/ е Сг+2 (X), что противоречит условию ИгЬпег = Огег.

Возьмём ненулевой вектор 8 = (5, )"=0, ортогональный всем строкам матрицы А:

л+1 л+1

Х|5,| = 1, = ] = 0,...,п.

1=0 ¡=0

Определим непрерывную функцию к е Ст~~г (X) так, чтобы а) = 1 = 0,,..,л + 1; б) 2>'Л(0) = 0, ¿ = 0,...,г-1;

в) |£)г+1/г| < 4(и +1); г) |ог+2л|| < 8(и +1)2.

Такая функция существует [5, с. 82 - 96]. Так как функция ОгЬпИ принадлежит линейному пространству, порождённому системой функций

л+1

{Оги:}, мы получаем = 0. Тогда

¿=0

1 = ХЫ = £5,^,) = 15 - <

1 = 0 1=0 ¡'=0

< "¿|5,.| • |£>гХлА(г,.) - < - />г# II. (5)

1=0

Возьмём х е X и определим две функции р¡ х, у = 1,2, так, чтобы

а) рмеСг+2(Ху, б) /)г+2/>л, =|£>г+2а||; в) Dr+lpJJx) = (-lУ+1Dr+'h(x)■,

г) йгр^х) = 0-, д)&рм(0) = 0, / = 0,...,г~1. Тогда

ру х + (- 1У {к-—ег ■ ЭгИ{х)) 6 Сг +2(°), 7 = 1,2. (6)

7 г!

Заметим также, что Vр1х(0 = Ог+1И(х) ■ (г - х) + -||/)г+2л| ■ (/ - х)2, и

Огр2 х(0 = -£>г+1йО) -((~х) + ^|£>г+2а| ■ (/ - х)2. Теперь, учитывая (3), (6), получаем

+ (- ^ " ^ОО ' ^ е СгАа)• 1 =

Значит,

ОгЬп(И - ОгИ(х) ■ -ег)(х) < ОгЬпр1>х, г.

- ВгЬп (И - ОгКх) • - ег )(дс) < Вг1пр2>1 г!

и, следовательно,

\ОгЬ„И(х) - ВгИ(х)\ = " ~г" ч1

DrLn(h-Drh(x)-er)

г

<max (|DrLnip1)JC(4 ¡Z>rInp2iIW| ¡=

1

(г + 1)!

£»г+1й(х) • \DrLner+i - £>rer+i +

+ —L-b'+2A|. \DrLner+1 - D"erJ + 2л|| ■ ЬГ Vr+2 - Drer+2|.

(r +1)!" » I i 2(r + 2)!B " 1 1

Так как ¡£>Г+1л|| ^ 4(и +1), |ог+2й|| ^ 8(и +1)2, то с учетом (5) мы получаем (4). □

Отметим, что линейный оператор конечного ранга п +1, обладающий свойством (3), для которого оценка (4) является точной, существует (см.

[3]).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Munoz-Delgado F. J., Ramirez-Gonzalez V., Cardenas-Morales D. Qualitative Korovkin-type results on conservative approximation // J. Approx. Theory. 1998. Vol. 94. P. 144-159.

2. Коровник 77, П. Сходимость линейных положительных операторов в пространстве непрерывных функций //Докл. АН СССР. 1953. Т. 90. С. 961 - 964.

3. Sidorov S. P. On the order of approximation by linear shape-preserving operators of finite rank // East J. on Approx. 2001. Vol. 7. № 1. P. 1-8.

4. Коровкин П. 77. Порядок приближения функций линейными положительными операторами // Докл. АН СССР. 1957. Т. 114, № 6. С. 1158 - 1161.

5. Корнейчук Н. 77. Сплайны в теории приближений. М.: Наука, 1984.