CC BY
16
ТЕОРЕМА 7. Если D является выпуклым компактом, то для того чтобы точка х0 eintD была решением задачи (2), необходимо и достаточно, чтобы 0р е дрпОо), где дра(.) задается формулой (8).
ЛИТЕРАТУРА
1. Демьянов В. Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990.
УДК 515.51
С. П. Сидоров
ПОРЯДОК ПРИБЛИЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫМИ ЛИНЕЙНЫХ ФОРМОСОХРАНЯЮЩИХ ОПЕРАТОРОВ КОНЕЧНОГО РАНГА*
Задача формосохраняющего приближения состоит в аппроксимации функции с сохранением некоторых свойств формы приближаемой функции, таких, например, как монотонность, выпуклость и т. п., то есть связанных со знаком производной того или иного порядка. Аппаратом подобного приближения могут служить линейные формосохраняющие операторы, для которых в работах [1-3] получены обобщения классического результата Коровкина [4]. Цель настоящей статьи - получение аналогов результатов [5, 6] для формосохраняющих операторов.
Пусть X = [0,1] и Ск (X), к> 0, есть пространство действительнозначных и к -раз непрерывно дифференцируемых функций на X. Пусть D' означает оператор дифференцирования порядка i и ||-|| будет нормой в С(Х) = С°(Х). Далее, ПА будет подпространством С(Х), порожденным системой {е0,еь...,ек}, где е, = х' ,т. е. ПА = (е0,...,ек).
Пусть ст= {а, }(>0 - последовательность с ст, е {-1,0,1}, и пусть h,к -два целых числа, 0 <h<k и анак * 0. Обозначим
Ch,k (а) = {/ е С(Х) : а,/[*о,1*0, h<i<k), где /[х0,...,х; ] есть разделенная разность порядка i функции f.
Напомним, что линейный оператор Ln, отображающий С(Х) в линейное пространство конечной размерности п +1, называется оператором конечного ранга п +1.
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 99-01-01120, и программы "Ведущие научные школы", грант №00-15-96123.
ЛЕММА. Пусть Ф: Ск(Х) Я - линейный функционал, обладающий следующим свойством: Ф(/)>0 для всякой / е Ск(X), такой, что Ик/>0. Пусть <-,->: С* (А") х С4 (ЛК - бифункционал, порожденный функционалом Ф следующим образом: для любых е Ск(Х) мы полагаем </,£> = Ф(иО, где м>&Ск(Х) такова, что Dkw = Dkf■Dkg и £>'м'(О) = 0, / = 0,. ,.,к — \. Тогда
_1 I
ТЕОРЕМА. Пусть Ьп :Ск (X) —>Ск (X) есть линейный оператор конечного ранга п +1, такой, что ОкЬпек = Окек и
Ьп(Ск-к(?)г,С\Х))^Ск'\а) (2)
Тогда
к+2 1 II ь ¡.II 1
х -Лрх^-э^ ^-з—(3)
]=к+\Г- 1 2 (и + 1) 4 '
Доказательство. Так как оператор Ьп есть оператор конечного ранга и +1, то существует система функций {иу}у=о.....л» порождающая линейное пространство {Ьп : / е С(Х)}. Рассмотрим матрицу
II и || /
А-Ю и,(г;) , где г,- =-, / = 0,...,и+1. Отметим, что в
II 7 Ну'=0,...п; <=0,...,л+1 и + 1
силу условия ОкЬ„ек = Окек ранг матрицы А не равен нулю. Возьмем ненулевой векгор 8 = {8,},=0 п+1, ортогональный всем строкам матрицы А:
л+1 п+1
£|5,| = 1, и ■(£,) = 0, j = 0,...,n. Определим функцию геС (X)
/=0 /=0 следующим образом:
1)Л(г/) = зёп8,-, / = 0,...,и + 1;
2) Оку линейна на каждом из интервалов [г0,^ ],...,;
3) £>*У(0) = 0, 1 = 0,...,к-\.
Так как функция ОкЬп\ принадлежит линейному пространству, порож-
л+1
денному {О и^}, мы получаем £8,£> ¿пу(г,) = 0. Тогда
/=0
л+1 л+1 л+1
1 = Е|8,| = 1=0 1=0 (=0
■ ЬЧ*,) - окьхф\\окьпу - оЯ
С другой стороны, для х е X мы имеем \вкЬпу(х)-Пку(х)\ =
(4)
ОкЬпу(х) - Оку(х)-Окек(х)
к\
Пусть рх е Ск(Х) такова, что Вк рх =
Ок(у-Оку(х)±ек) к\
(5)
, £>4(0) = О,
/ = 0,...,к — 1.
Тогда
Ок{у-ОкИ(х)±-ек)<Вкрх
к\
Ок(-(у-ОкИ(х)-ек))<Окрх. Значит, к\
ВкЬп(у-ВкЯх)\ек)(*) < Вк1пРх(х) к\
ОкЬ„(у- ОкИ(х)~ек){х) < ОкЬпРх(х). к\
Объединяя (6) и (7), мы получаем
ОкЬ„(*-Ок*(х)~ек)(х) к\
<ОкЬпРх(х).
(6)
(7)
(8)
Пусть дхеСк(Х) такова, что Окдх(0 = |'~*1 и •с,,'?*(0) = °. ¡ = 0,...к-1. Мы имеем
Ок^-Окч(х)~ек) к\
< 2 (и +- = 2(и +1)0*^(0.
Итак,
•С (2(и + - > 0
следовательно,
ОкЬп{2{п + \)дх- Рх)(х)>0 н
ОкЬпРх(х)<2(п + 1)ОкЬпдх(х).
Из леммы следует, что
ОкЬпдх(х)<[окЬпёх(х)р где е Ск (X) такова, что
тРкЬпек{х) к\
Уг
(9) (10)
2 2 1
= и -х)2, ех=-ек+2--~хек+, + —х2^.
5х ; 61 (Л+ 2)! (¿ + 1)! Л!
Используя последовательно (5), (8), (9), (10), мы имеем \DkLnv(x) - Dkv(x)\ < 2(и + \)[DkL„gx(x)/2 • □
Следствие. Пусть L„:Ck(X)-^Ck(X) - линейный оператор конечного ранга л + 1 такой, что DkLnek = Dkek и ¿„(Пд-.^с: П^. Предположим, что существует конус Ch'k (а) такой, что L„ (СКк (ст) о Ск (X)) с См (а). Тогда имеет место оценка (3).
Доказательство. Это утверждение есть прямое следствие теоремы, поскольку в работе [2], обобщая результат работы [1], показано, что гипотезы следствия влекут (2). □
Следуя схеме [6], примененной к пространству Ск(Х), можно построить пример оператора, для которого оценка (3) является точной.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кпоор Н. В., Pottinger P. Ein satz vom Korovkin-typ fur Ck raume // Math. Z. 1976 Vol, 148. S. 23 - 32.
2. Munoz-Delgado F. J., Cardenas-Morales D. Korovkin-type results for shape preserving operators // Curves and Surfaces with Applications in CAGD. Nashville, TN: Van-derbilt University Press, 1997. P. 303 - 310.
3. Munoz-Delgado F. J., Ramirez-Gonzalez V., Cardenas-Morales D. Qualitative Ko-rovkin-Type Results on Conservative Approximation // J. of Approx. Theory. 1998 Vol. 94. P. 144- 159.
4. Коровкин П. П. Сходимость линейных положительных операторов в пространстве непрерывных функций//Докл. АН СССР. 1953. Т. 90. С. 961 - 964.
5. Коровкин П. П. О порядке приближения функций линейными положительными операторами //Докл. АН СССР. 1957. Т. 114,№6. С. 1158-1161.
6 Виденский В. С. Об одном точном неравенстве для линейных положительных операторов конечного ранга// Докл. АН Тадж. ССР. 1981. Т 24, № 12. С. 715 - 717.
УДК 519.6
А. К. Смирнов
ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЖИЗНЕННЫМ ЦИКЛОМ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
При управлении сложными процессами и системами одной из важнейших задач является формирование требуемого жизненного цикла для выбранного обобщенного показателя. На различных уровнях точности изменения во времени обобщенного показателя могут быть представлены линией жизненного цикла. Такая линия определяет цель управления в широком диапазоне: от представления тенденций изменения обобщенного
