Дискретная вероятностная модель управления жизненным циклом сложных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Используя последовательно (5), (8), (9), (10), мы имеем \DkLnv(x) - Dkv(x)\ < 2(и + \)[DkL„gx(x)/2 • □

Следствие. Пусть L„:Ck(X)-^Ck(X) - линейный оператор конечного ранга л + 1 такой, что DkLnek = Dkek и ¿„(Пд-.^с: П^. Предположим, что существует конус Ch'k (а) такой, что L„ (СКк (ст) о Ск (X)) с С'Кк (а). Тогда имеет место оценка (3).

Доказательство. Это утверждение есть прямое следствие теоремы, поскольку в работе [2], обобщая результат работы [1], показано, что гипотезы следствия влекут (2). □

Следуя схеме [6], примененной к пространству Ск(Х), можно построить пример оператора, для которого оценка (3) является точной.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кпоор Н. В., Pottinger P. Ein satz vom Korovkin-typ fur Ck raume // Math. Z. 1976 Vol, 148. S. 23 - 32.

2. Munoz-Delgado F. J., Cardenas-Morales D. Korovkin-type results for shape preserving operators // Curves and Surfaces with Applications in CAGD. Nashville, TN: Van-derbilt University Press, 1997. P. 303 - 310.

3. Munoz-Delgado F. У., Ramirez-Gonzalez V., Cardenas-Morales D. Qualitative Ko-rovkin-Type Results on Conservative Approximation // J. of Approx. Theory. 1998 Vol. 94. P. 144- 159.

4. Коровкин П. П. Сходимость линейных положительных операторов в пространстве непрерывных функций//Докл. АН СССР. 1953. Т. 90. С. 961 - 964.

5. Коровкин П. П. О порядке приближения функций линейными положительными операторами //Докл. АН СССР. 1957. Т. 114,№6. С. 1158-1161.

6 Виденский В. С. Об одном точном неравенстве для линейных положительных операторов конечного ранга// Докл. АН Тадж. ССР. 1981. Т 24, № 12. С. 715 - 717.

УДК 519.6

А. К. Смирнов

ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЖИЗНЕННЫМ ЦИКЛОМ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

При управлении сложными процессами и системами одной из важнейших задач является формирование требуемого жизненного цикла для выбранного обобщенного показателя. На различных уровнях точности изменения во времени обобщенного показателя могут быть представлены линией жизненного цикла. Такая линия определяет цель управления в широком диапазоне: от представления тенденций изменения обобщенного

показателя до задания линии любым множеством точек. Основные понятия такого подхода содержатся в работе [1].

В данной работе рассматриваются дискретная вероятностная модель объекта управления и метод управления формированием жизненного цикла для обобщенного показателя, заданного линией жизненного цикла.

Область значений Л=Л+ЦА~ обобщенного показателя, для которого исследуется жизненный цикл, согласуется с множеством 5 состояний объекта управления с помощью функции / вида /: . Тогда каждой величине аеЛ соответствует подмножество 5а={5:5е5 &^)=а}. При детерминированном подходе задача управления формированием жизненного цикла выбранного обобщенного показателя, заданного линией у(?), состоит в том, чтобы полученная в результате управления траектория в пространстве состояний проходила через подмножества , где а*=у(Д), ке 1 ,т.

Кривая у(0, описывающая жизненный цикл сложной системы, существенно зависит от кривых у,(7), 1—1...], определяющих жизненные циклы отдельных составляющих. Жизненные циклы < =\...] этих компонентов и вид кривой у{!) представлены на рисунке, где показано, как управляющие воздействия в виде выбора составляющих компонент и их жизненные циклы поддерживают на необходимом уровне жизненный цикл кривой у(/).

Г

/

/ /

/

/ у / ,'

Т~

Взаиморасположение кривой жизненного цикла у и кривых жизненных циклов отдельных компонент (у1, у2, уз) с указанием временных точек возникновения \г, 1з) и их максимального влияния (а, Ь, с).

Аппарат теории вероятностей наилучшим образом согласуется с неопределенностью свойств и основных характеристик сложных систем. В основе вероятностного подхода лежит определение состояния объекта управления заданием для каждого момента времени Г

ж, = (|ir(.ii), ..., Hi(v)) распределения вероятностей на множестве состояний S= {i], ..., s„}, где Ц((5,) есть вероятность того, что объект управления в момент времени t находится в состоянии S/.

Предположив наличие базовой линии уо жизненного цикла объекта управления для каждого момента времени t, определим положительное число dt, определяющее допустимые отклонения линий жизненного цикла относительно базовой линии уо. Целью управления является формирование линии жизненного цикла у, лежащей в dt окрестности линии уо с требуемой доверительной вероятностью а, (ао<а<1).

Определим подмножество St множества состояний S по правилу:

St = {s:se S &М € (1)

Тогда начальное распределение seo на множестве состояний S, базовая линия уо, последовательность подмножеств (1) составляют исходные данные для построения процесса управления, представимого последовательностью распределений вероятностей ае0, эгь аг2, ..., эет.

Построенная последовательность распределений sei, зег, •■■, ае„ должна обладать следующим свойством: для любого t=l,...,m, *«(S,)= 2>,(5,)*а.

s, eS,

Вычисление распределения ае, осуществляется выбором с учетом информации обратной связи у^ е Y и приложением в момент х, управляющего воздействия xi{ е X. При вычислении аг* предполагаются известными

эзо, aei, ..., и семейства условных вероятностных распределений

M*Cs, yJi, ..., yJk /<Во, Х^,..., х,к).

Для конкретизации изложенного вероятностного метода управления формированием линии жизненного цикла рассмотрим математическую модель объекта управления в виде конечного вероятностного автомата.

Следуя терминологии и обозначениям Р. Г. Бухараева [2], введем понятие вероятностного автомата как системы четырех объектов D = (S, X, Y, у / s, х)), где S, X и Y - конечные (или в общем случае счетные) множества состояний, входных и выходных сигналов, а |л(.у', у / s,x) - условная вероятностная мера, то есть вероятность того, что автомат под воздействием входного сигнала х переходит из состояния s в состояние s\ выдавая при этом выходной сигнал у.

Предполагается, что выполняются следующие равенства: ^ H(s',y/s, х) =1, s е S, х е X.

s'eS,y<=Y

Квадратные матрицы М(у / х) = (\iS'iS(y / х)), х е X, у е Y, если

Ix) = х), определяют вероятности изменения состояний в

зависимости от прикладываемого входного сигнала и наблюдаемого вы-

ходного сигнала. Зависимость от выходных сигналов исключается в матрицах М(х) = М(у / х), х е X.

yeY

Матрицы вида М(у / х) и М(х), где х е X и у е У, являются основным средством для построения распределения вероятностей x,+i по известному распределению вероятностей ае,. Начальное распределение вероятностей эео в вычислениях используется как вектор-строка.

Вычисления вероятностных распределений ае, осуществляется с использованием следующих теорем.

ТЕОРЕМА 1. Для любых вероятностных автоматов D = (S,X,Y,M(y/x)), входного слова р = х^ х^ ■■■ х,к и выходного слова q = у ^ у^ ... уjk матрица M(q / р), в которой (í,y)-M элементом является вероятность того, что под воздействием входной последовательности р автомат переходит из состояния s¡ в состояние Sj и выдает выходную последовательность q, определяется равенством

M{q /р)= М(yh !xh) • М(yh !x¡2 )•...• М{yh /x¡k).

ТЕОРЕМА 2. Для любых вероятностных автоматов D = (S, X, У, М(у I х),х еХ,у е У) и входного слова р = x¡ х^ ... x¡k матрица М(р), в которой (/,у)-м элементом является вероятность того, что под воздействием входной последовательности р автомат переходит из состояния s, в состояние Sj, определяется равенством

M(p)=M(X¡i)-M(x¡2)- ...-M(x¡k).

(Доказательство теорем 1 и 2 см. в работе [2]).

Построенная последовательность aso, aei, ае2, ..., аеш, дополненная выбранными и приложенными управляющими воздействиями x¡ , x¡ , ..., x¡ и данными обратной связи у • , у. ,..., у ■ , образует

12 т Jl J2 Jm

определяющую конкретный вариант управления последовательность жо, (»ь , УН), (авг, x¡2 , уh ),..., (ае*, x¡k , yJm ).

Существование решения задачи определяется свойствами линии жизненного цикла уо, функции f, начального распределения вероятностей аго, требуемой точностью d, и характеристиками вероятностного автомата D.

Приведенная математическая модель процесса управления жизненными циклами объекта управления - это управляемые случайные процессы с целью управления и с неполным наблюдением. Введение функционалов стоимости управления или цены выигрыша при переходе из одного состояния в другое позволяют формулировать задачи оптимального или e-оптимального управления [3].

Систематизация действий по поиску стратегии управления может быть проведена на основе построения и анализа специального дерева вариантов функционирования вероятностного автомата. Корнем дерева является начальное распределение вероятностей аео на множестве состояний S. Вершинами дерева полагаются распределения вероятностей, вычисляемые для каждой имеющейся вершины (распределения вероятностей) и каждой пары (л, у), где хе X*, у е У*.

Для решения задач управления с конкретными исходными данными и конкретной математической моделью объекта управления (в форме вероятностного автомата) рассмотренное дерево вариантов функционирования может быть заменено его начальным фрагментом. Для этого вводится правило объявления вершин дерева висячими вершинами (оконечными вершинами). Такие правила устанавливаются анализом матриц, задающих функционирование вероятностного автомата, и условием объявления повторяющихся вершин оконечными. Построение и анализ начального фрагмента дерева вариантов функционирования позволяет в случае существования решения задачи управления определить поддерево, в котором полностью представлена стратегия управлейия.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Смирнов А. К., Твердохлебов В. А. Управление жизненными циклами сложных систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000.

2. Бухараев Р. Г. Теория вероятностных автоматов // Кибернетика. 1968. № 2.

3. Гихман И. И., Скороход А. В. Управляемые случайные процессы. Киев, 1977.

УДК 517.98

П. А. Терехин

О МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ СТРУКТУРЕ ЦЕНТРАЛИЗАТОРА МУЛЬТИСДВИГА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ*

В теории функций и теории операторов хорошо известен оператор сдвига V в пространстве Харди Я2; напомним, что Vf(z)=zf(z) и

оо 00 2

/ е#2 /(г)= ^,akzk , <°°- Берлингом [1] установлена связь

4=0 к=о

между мультипликативной структурой пространства Харди и геометрией оператора сдвига. Основным результатом о мультипликативной структуре

' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 98-01-00842, программы "Ведущие научные школы", проект № 00-15-96123 и INTAS, грант № 99-00089.

119