CC BY
25
Следствие 2. Предположим n > 4, выполняется условие (1) и функция y (х,А) в (3) определяется формулой (2). Тогда если коэффициенты aj G C, j = l,n в (2) таковы, что выполняется условие (4), то системаУл не является ш-кратно пол,ной (3 < ш < n — l) ни в каком пространстве Ь2[0,<7], где а > 0, и имеет в каждом таком пространстве бесконечный
ш
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-0100003) и гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Голубь A.B., Кутепов В.А., Рыхлое B.C. Кратная неполнота собственных функций пучков дифференциальных операторов, корни характеристического уравнения которых лежат на одном луче // Саратов, 2004, 24 с, Деп, в ВИНИТИ 05,08,04, .V" 1.'>").'>-В2001.
2, Рыхлое B.C. О кратной неполноте собственных функций пучков дифференциальных операторов, корни характеристического уравнения которых лежат на одном луче // Докл. РАЕН. 2004. С. 72-79.
3, Рыхлое В. С., Шигаева, О.В. Об n-кратной неполноте системы собственных функций одного класса пучков дифференциальных операторов// Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 14-й Сарат. зимней шк,, посвящ. памяти акад. П.Л. Ульянова. Саратов, 28 янв. - 4 февр. 2008 г. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2008. С. 162.
УДК 517.518.85
С.П. Сидоров
ТЕОРЕМА ТИПА КОРОВКИНА ДЛЯ КЛАССА ОПЕРАТОРОВ, ОБЛАДАЮЩИХ СВОЙСТВОМ ФОРМОСОХРАНЕНИЯ
Классическими результатами для класса положительных операторов являются результаты П.П. Коровкина. Им были найдены [1] условия сходимости последовательности линейных положительных операторов к тождественному оператору I в C[0,1]
Теорема 1. Пусть последовательность линейных операторов Li : C[0,1] — C[0,1], n > 17 такова, что
(1) Li(Vo) С Vo, где Vo := {f G C[0,1] : f > 0};
(2) lim II (Li — I)ej || = 0 j = 0,1, 2.
Тогда, для всех f G C[0,1] будет
lim ||(Li — I)f || =0.
i—
Здесь ej(t) = tj, j = 0,1,..., || • || означает равномерную норму, ||f|| = sup |f(x)|.
же [0,1]
Пусть ик Е Сп[0,1], к = 1,..., п, таковы, что система и^...,ип есть обобщенная полная система Чебышева на [0,1]. Напомним, что функция /, определенная на [0,1], называется выпуклой по отношению к системе функций и1,..., Щ-, если
Uo(to) Uo(ti) ... Uo(tk+l)
Uk (to) Uk (ti) ... Uk (tk+l) f (to) f (ti) ... f (tk+i)
> 0
для всех наборов 0 < ¿о < ¿1 < ... < ¿к+1 < 1, при этом пишут / Е С(ио,... ,ик)•
В частности, если и0 = е0, то С(и0) есть конус всех возрастающих функций на (0,1). Если и0 = б0, и1 = б1? то С(и0,и1) есть конус всех выпуклых па (0,1) функций. Обзор некоторых результатов обобщенной теории выпуклости содержится в книге [2].
Пусть а = (а0,..., ап) £ Яп+1, а Е {—1,0,1} а0ап = 0. Обозначим ^к+1 := {/ Е Ск[0,1] : / Е С(и0,..., ик)}, к = 0,..., п — 1, и рассмотрим конус
^0,п(а) = П^ак Ук.
В настоящей статье показывается, что для последовательностей линейных операторов, обладающих свойством формосохранения, связанным с конусом У0,п(а), справедлив результат, аналогичный теореме 1. А именно, справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть а0а2 = —1, и0 = б0; и1 = бь Пусть последовательности линейных операторов : Сп[0,1] ^ Сп[0,1], г > 1, такова, что
(1) Ьг(К),п(а)) С И»,п(а);
(2) lim || (Ьг - I)и^ || =0 j = 0,..., n. Тогда, для всех f E Cn[0,1] будет
lim ||(Li - I)f || =0.
i
Утверждение теоремы 2 следует из [3, теорема 3] и следующей леммы.
Лемма. Для всякого г Е [0,1] существует ^ Е врап{и0,..., ип} такая, что
(1) <Рг Е ^о,п(а);
(2) ^(г) = 0 < ^(х) для всех х Е [0,1] \ {г};
(3) для любой / Е Сп[0,1] найдется а = а(/) > 0 такое, что для всех в > а будет в^ + / Е И,п(а).
Доказательство. Без потери общности будем считать, что а0 = 1, а функции и1,... ,ип Е Сп[0,1] удовлетворяют начальным условиям икр) = 0, р = 0,..., к — 1, к = 1,..., п. Система и1,..., ип представима в виде (см. [2])
и0 (¿) = ¿0 (¿),
^ г С1 г Ск-1
ик (¿) = (¿0^)1 (^(СО / ¿2^2) ... ¿к (Ск Жк . ..(д, к = 1, . . . , П,
где (0,..., (п—1 есть строго положительные на [0,1] функции, такие что (к Е Сп—к[0,1], к = 0,..., п.
Обозначим Д. ] = 0,... , п, дифференциальный оператор первого порядка
(
<д.' ><"=(§ Ш ■
Справедливы соотношения
Д.... £0^+1 = (.+1, ] = 0,... , п — 1,
(1)
Д.... Д0и. = 0, ^ = 0,..., п. Возьмем г Е [0,1] и определим функцию ^ Е врап{и0,... ,ип},
(2)
Еп £к—1... Д^(0) -гтт^-ик,
к=0
(к (0)
следующим образом:
1) Дп—1 ...Д0<^(0) ап(п
2) еслир = п — 1,..., 2, то полагаем Др—1 вр), где
.. Д0^(0) = ар(р(0)У1/(рУ(1 +
вр =
Е
к=р
Дк—1 ...Д^ (0)
(к (0)
Др_ 1... Д0ик
Тогда
апДп—1 . . . = ¿пУ1/(пУ > 1.
Кроме того, для p = n — 1,..., 2с учетом (1), (2) имеем
П П П П I Dk—1 ...Do^z(0) ffpDp—i ... Do^z = ^pDp—i ... Do I -7T7K\-=
,k=o ^(0)
^ Dk—i ...A^z(0)n n
= ffp > -77^-Dp—i . . . DoUk =
^^ ¿k (0)
k=o
A Dk—1 . . . Do^z (0) n n = ffp > -TTx-Dp—1 ... DoUk =
k=P W(0)
'Dp—i... Dp^z(0)
Wp(0)
= ffp ——"/пл z— Dp—i... DoUp+
+ A Dk—i ...Do^z(0) D D \
+k=p+i —¿m—Dp—i ...DoUV =
= Wp||1/Wp||(1 + ep) + ff^ Dk i . (0)Dp—i ...DoUk > 1.
^^ ¿k (0)
k=p+i Таким образом,
apDp—i... Do> 1, p = 2,..., n.
Из [2, теорема 3.1, с. 392] следует, что
£ p = 2,..., n.
Заметим, что так как uo = eo, ui = ei? то Di = Do = D, где D есть оператор дифференцирования первого порядка, Df (t) = jtf (t). Поэтому D(D^z ) = Di Do^z > 1 и строго выпукл а на [0,1]. Доопредел им так, чтобы (z) = 0 < (x) для x G [0,1] \ {z}. Для этого положим
^z (x) = V(x) — ^(z) — D^z (z )(x — z)
на [0,1], где D^ = D^z. Лемма доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-00167-а) и гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Коровкин П. П. Сходимость линейных положительных операторов в пространстве непрерывных функций // Докл. АН СССР, Т. 90, 1953. с. 961-964
2. Карлик С., Стадден В. Чебышевекие системы и их применение в анализе и статистике. М,: Наука, 1976.
3. Muñoz-Delgado F. J., Ramirez-Gonzalez V., Cardenas-Morales D. Qualitative Korovkin-tvpe results on conservative approximation //J. Approx. Theory. 1998. V. 94. P. 144-159
