CC BY
19
Группа Gh как подгруппа группы проективных преобразований проективной плоскости P2 определяет геометрию плоскостн P2 \ T3 с вырожденным кубическим абсолютом T3, состоящим из овальной липни и пересекающей ее действительной прямой.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Розенфельд Б.А., Замаховский М.П. Геометрия групп Ли, Симметрические, параболические и периодические пространства, М,: МЦНМО, 2003, 560 с,
2, Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии, М,: Гос. изд-во техн.-теор, лит, 1955, 744 с.
УДК 517.927.25
B.C. Рыхлов
О ПОЛНОТЕ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО КЛАССА ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
В пространстве L2[0,1] рассмотрим пучок обыкновенных дифференциальных операторов L(Л), порожденный однородным дифференциальным выражением n-ro порядка с постоянными коэффициентами
%,Л):= ^ pskУу(к), psk е C, Pon = 0, (1)
s+k=n
и линейно независимыми двухточечными нормированными полураспадающимися краевыми условиями специальной структуры:
Ui(y, Л) := Е Л^кУ(к)(0) = 0, i = ТД
s+k=Kio _
Ui(y, Л) := Е ^«iSky(k)(0)+ Е ЛЯАsky(k)(1) = 0, i = l + 1,n,
s+k<Kjo s+k<Hn
(2)
где Л е C - спектральный параметр, aisk, eisk е C, kí0, kí1 е {0,1,..., n — 1} n — l < l < n.
Пусть корпи {¡¡j }П характеристического уравнения
Psk¡k = 0
s+k=n
различны, отличны от нуля и лежат на одном луче, исходящем из начала координат. Не нарушая общности, можно считать
0 < ¡i < ¡2 < • • • < ¡n. (3)
Решается задача о нахождении условий на параметры пучкаЬ(Л), при которых имеет место или отсутствует т-кратная (1 < m < n) полнота
системы корневых (собственных и присоединенных) функций этого пучка в пространстве Ь2[0,1].
Основополагающей по указанной проблеме является работа [1], в которой была сформулирована теорема об п-кратной полноте корневых функций пучка Ь(Л), порожденного дифференциальным выражением со специальной главной частью
и распадающимися краевыми условиями. Эта теорема была доказана в работе [2] в случае аналитических коэффициентов дифференциального выражения и в работе [3] в случае суммируемых коэффициентов. Обобщение этой теоремы на случай конечномерного возмущения вольтеррова оператора было сделано в [4]. Случай произвольной главной части дифференциального выражения был рассмотрен в работах [5, 6]. В работах [7, 8], относящихся к общему виду пучка Ь(Л), получены достаточные условия п-кратной полноты в Ь2[0,1] системы корневых функций в тер-
Л
на некоторых лучах. Детальное исследование вопроса об п- и ш-кратной полноте и неполноте корневых функций пучка Ь(Л), дифференциальное выражение которого имеет постоянные коэффициенты, а краевые условия — полураспадающиеся, проведено в работе [9].
Для рассматриваемого пучка (1), (2) с условием (3) не выполняется основное предположение [9], а именно, что существует прямая проходящая через начало, не содержащая ы-корней и делящая комплексную плоскость на две полуплоскости, внутри каждой из которых число этих корней не меньше п — I.
Для формулировки основного результата введем обозначения:
¿(у, Л) := у(п) + Лпу + {возмущение},
в+к=К 0
в+к=кц
если П > 0, если п < 0.
Теорема 1. Если выполняется условие (3) и
¿ефу= = ° ¿е^-^=1 = ° ¿е^-^=/+1 = °
61
то система корневых функций пучка (1), (2) ш-кратно полна в [0,1] при, ш < n — le возможным конечным дефектом, не превышающим
n
числа ^ [ш — 1 — К{] + .
i=i+1
Теорема точна в следующем смысле. При l = n — 1 и ш = n — l +1(= 2) в [10, 11] получены достаточные условия на корни [ujЩ, при которых системы корневых функций пучков вида (1), (2) 2-кратно неполны в L2[0,1] и имеют бесконечный дефект.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // Докл. АН СССР. 1951. Т. 77, JVS 1. С. 11-14.
2. Хромов А.П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 1973. 242 с.
3. Шкаликов А.А. О полноте собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора с нерегулярными краевыми условиями // Функц, анализ. 1976. Т. 10, № 4. С. 69-80.
4. Хромов А.П. О порождающих функциях вольтерровых операторов // Мат. сб. 1977. Т. 102(144), № 3. С. 457-472.
5. Freiling G. Zur Vollständigkeit des Systems der Eigenfunktionen und Hauptfunktionen irregulärer Operator-büsehel // Math. Z, 1984. Vol. 188, № 1. P. 55-68.
6. Тихомиров С.А. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов в пространстве вектор-функций: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1987. 126 с.
7. Gasymov M.G., Magerramov A.M. О кратной полноте системы собственных и присоединенных функций одного класса дифференциальных операторов //Докл. АН Азерб. ССР. 1974. Т. 30, № 12. С. 9-12.
8. Шкаликов A.A. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Тр. Семинара им. И.Г. Петровского. М,: Изд-во Моск. ун-та, 1983. № 9. СЛ90-229.
9. Вагабов А.П. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. Ростов н/Д: Изд-во Рост, ун-та, 1994. 160 с.
10. Рыхлое В. С. О кратной неполноте собственных функций пучков обыкновенных дифференциальных операторов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 114-117.
11. Рыхлое В. С. О кратной неполноте собственных функций пучков дифференциальных операторов, корни характеристического уравнения которых лежат на одном луче // Докл. РАЕН. Саратов, 2004. №4. С. 72-79.
