Кратная полнота корневых функций одного класса пучков дифференциальных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

соотношение (11) говорит о том, что A* - единственное решение задачи (1)-(2).

Теорема доказана.

Замечание. В случае f\(t) = f2(t) = f (t) для t G [c, d] нетрудно показать, что задача (1)-(2) становится эквивалентной задаче чебышев-ского приближения функции f (t) полиномом заданной степени п.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи, М,: Наука, 1980,

2, Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация, М,: Наука, 1981.

3, Дудов С. И., Сорина Е. В. Равномерная оценка сегментной функции полиномиальной полосой// Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, № 5. С. 44-71.

4, Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М,: Наука, 1990,

УДК 517.927.25

B.C. Рыхлов

КРАТНАЯ ПОЛНОТА КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО КЛАССА ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

В пространстве L2[0,1] рассмотрим пучок обыкновенных дифференциальных операторов L(Л), порожденный однородным дифференциаль-

п

%,Л):= ^ pskУу(к\ psk G C, Pon = 0, (1)

s+k=n

и линейно независимыми двухточечными нормированными краевыми условиями специальной структуры

Ui(y, Л) := ^ Л'о^у(к)(0) = 0, i = М, (2)

s+k=Kio

Ui(y, Л) := ^ Л'о^y(k)(0)+ ^ Л'^y(k)(1) = 0, i = Т + Щ

где Л, aisk, eisk G C, Ki0, щ\ G {0,1,..., n—1} 0 < / < n—1. Отметим, что краевые условия (2) в случае 2/ < п не являются полураспадающимися.

Пусть корпи {uj }П характеристического уравнения ^2s+k=n Pskuk = 0 различны, отличны от нуля и лежат на двух лучах, исходящих из начала

координат, раствор между которыми п — 2|^>|, где —п/2 < ^ < п/2, в количествах Ьп — к. Не нарушая общности, можно считать, что

шпв^г < ••• < < 0 < < ••• < ике—п — к < к. (3)

Решается задача о нахождении условий на параметры пучка Ь(Л), при которых имеет место или отсутствует т-кратная (1 < т < п) полнота системы собственных и присоединенных функций или корневых функций этого пучка в пространстве Ь2[0,1].

Основополагающей по этой проблеме является работа [1], в которой

п

пучка Ь(Л), порожденного дифференциальным выражением со специальной главной частью

¿(у, Л) := у(п) + Лпу + {возмущение}

и распадающимися краевыми условиями. Эта теорема была доказана в работе [2] в случае аналитических коэффициентов дифференциального выражения и в работе [3] в случае суммируемых коэффициентов. Обобщение этой теоремы на случай конечномерного возмущения вольтеррова оператора было сделано в работе [4]. Случай произвольной главной части дифференциального выражения был рассмотрен в работах [5-6]. В работах [7-8], относящихся к общему виду пучка Ь(Л), получены достаточные условия п-кратпой полноты в Ь2[0,1] системы корневых функ-

Л

п

т-кратной полноте корневых функций пучка Ь(Л), дифференциальное выражение которого имеет постоянные коэффициенты, а краевые условия — полураспадающиеся, проведено в работе [9]. Похожий результат получен в работе [10].

Для рассматриваемого пучка (1)-(2) с условием (3) не выполняется основное предположение работы [9], а именно, что существует прямая проходящая через начало, не содержащая ы-корней и делящая комплексную плоскость на две полуплоскости, внутри каждой из которых число этих корней не меньше п — /, а также, что краевые условия являются полу распадающимися.

Для формулировки основного результата введем обозначения.

Считаем, что краевые условия (2) упорядочены таким образом (это не нарушает общность), что при й0 = I, йг+1 = п справедливы неравенства

^0+1,1—^0+1,0 =... = яа11 — яа10 <...< Яаг+1,1— Яаг+1,0 =... = яаг+11 — яаг+10

и 7, 5 таковы, что

57 + 1 < п — к + 1 < +1, + 1 < к + 1 <

Обозначим

(4)

а У =

у^ ^, г = 1,п, = ^ ^, г = I + 1,п, ; = 1,п;

Кг = шт{кго, кг1}, г = I + 1,п; [п]+ = тах{п, 0}, [п,т]_ = шт{п,т},

А =

В =

0 .. •0 а1,к+1 • • • а1п

0 .. Ьв7+1,1 . • •0 • Ьв7+1,к ав7 ,к+1 • ав7+1,к+1 • • • ав7 ,П • • ав7 + 1,п

Ьп,1 • • • Ьп,к ап,к+1 • • • ап,п

«11 . • • а1к 0 • • • 0

ав,5 ,1 . ass+1,1 • • • авй+1,к 0 • + 1,к+1 • • • 0 • • +1,п

ап,1 . . . ап,к Ьп,к+1 . . . Ьп,п

Теорема 1. Если выполняются условия (3)-(4) и, кроме того, 1) в случае к + I > и, к > I выполняются условия

НеКя--V Ь{1,...,к

иецау )г€{1,...,1}

.7 €{1,...,к+/-п,к+1,...,п}

= о, <1еМ6„ )Л{{/+1/:.;*:}1-4 = 0, В = 0;

2) в случае к + I > п к < I выполняются условия

Не|(а- .у ^{1,...,к

иеЧау )г€{1,...,/}

.7 €{1,...,к+/-п,к+1,...,п}

= о, а^ь«)Й{/1+1';"'ПП}1"..'4 = о,

=0, =0;

3) в случае к + I < и, к > I выполняются условия А = 07 В = 07

то при т < [к, п — /]_ + [п — к, п —/]_ система корневых функций пучка (1)-(2) т-кратно полна в [0,1] с возможным конечным дефектом в первых 2-х случаях, не превышающим числа Х^Г=/+1[т _ 1 _ кг]+7 а в 3-м случае с 0 дефектом.

¿€{/+1,...,п}

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Ks 1301-00238).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // Докл. АН СССР, 1951, Т. 77, .V" 1. С. 11-14,

2. Хромов А. П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов. Дне, докт, физ.-мат, наук, Новосибирск, 1973, 242 с,

3. Шкаликов А. А. О полноте собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора с нерегулярными краевыми условиями // Функц. анализ. 1976. Т. 10. № 4. С. 69-80.

4. Хромов А. П. О порождающих функциях вольтерровых операторов // Матем, сборник. 1977. Т. 102(144). № 3. С. 457-472.

5. Freiling G. Zur Vollständigkeit des Systems der Eigenfunktionen und Hauptfunktionen irregulärer Operator-büsehel // Math. Z. 1984. Vol. 188. N 1. P. 55-68.

6. Тихомиров С. А. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов в пространстве вектор-функций. Дне. канд. физ.-мат. наук. Саратов. 1987. 126 с.

7. Гасымов М. Г., Магеррамов A. M. О кратной полноте системы собственных и присоединенных функций одного класса дифференциальных операторов //Докл. АН Азерб. ССР. 1974. Т. 30. № 12. С. 9-12.

8. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Тр. семин. им. И. Г. Петровского. М,: Изд-во Моск. ун-та. 1983. № 9. С. 190-229.

9. Вагабов А. И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. Ростов-на-Дону: Изд-во Рост, ун-та. 1994. 160 с.

10. Рыхлое B.C. Кратная полнота собственных функций обыкновенного дифференциального полиномиального пучка // Исследования по теории операторов: Сб. статей / БНЦ УрО АН СССР. Уфа. 1988. С. 128-140.

УДК 519.4

Д. С. Смирнова

МОДЕЛИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ С РАВНОЦЕННЫМИ КРИТЕРИЯМИ

Будем рассматривать задачу многокритериальной оптимизации по качественным критериям в виде

G = (A, (qjjj) , (1)

где A - непустое множество допустимых альтернатив, (qj)j j — критерии оценки этих альтернатив. Качественный критерий qj характеризуется тем, что шкалой для его измерения служит некоторое линейно упорядоченное множество (цепь) {Cj, <j) ; формально qj представляет собой