Кратная полнота корневых функций пучков дифференциальных операторов, корни характеристического уравнения которых лежат на двух лучах Текст научной статьи по специальности «Математика»

5, Романов Р. О., Дудов С. И. О наилучшей полиномиальной мажоранте для непрерывной функции // Математика, Механика : еб, науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2013, Вып. 15, С, 69-72,

6, Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И. Линейное и выпуклое программирование, М. : Наука. 1967.

УДК 517.927.25

B.C. Рыхлов

КРАТНАЯ ПОЛНОТА КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ, КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ КОТОРЫХ ЛЕЖАТ НА ДВУХ ЛУЧАХ

В пространстве L2[0,1] рассмотрим пучок обыкновенных дифференциальных операторов L(A), порожденный дифференциальным выражением (д.в.) n-го порядка с постоянными коэффициентами

£(y, A):= ^ PjSAsy(j), j е C, Pno = 0, (1)

j+s<n

и линейно независимыми двухточечными нормированными краевыми условиями специальной структуры

Ui(y, A):= ^ «ijSAsy(j)(0) = 0, i = М, (2)

j+s<Ki0

Ui(y, A) := ^ «ijSAs y(j )(0)+ ^ j sy(j )(1) = 0, i = Г + Щ

j+s<Kio j+s<Kn

где A,aijs,eijs е C, Ki0, Ki1 е {0} U N 0 < I < n — 1. Отметим, что краевые условия (2) в случае 21 < n не являются полураспадающимися.

Пусть корпи {uj }П характеристического уравнения +s=n Pjsuj = 0 различны, отличны от нуля и лежат на двух лучах, исходящих из начала координат, раствор между которыми п — 2|^>|, где —п/2 < ^ < п/2, в количествах bn — k. Не нарушая общности, можно считать, что

Шпв^ < ••• < Wfc+ie^ < 0 < Ш1в-pi < ••• < uke-^. (3)

L(A)

при которых имеет место или отсутствует т-кратная (1 < т < n) полнота системы собственных и присоединенных функций или, кратко, корневых функций (к.ф.) этого пучка в пространстве L2[0,1].

Основополагающей по этой проблеме является работа [1], в которой была сформулирована (без доказательства) теорема об п-кратной полноте к.ф. пучка Ь(Л), порожденного д.в. со специальной главной частью

¿(у, Л) := у(п) + Лпу + {возмущение}

и распадающимися краевыми условиями. Эта теорема была доказана в [2] в случае аналитических коэффициентов д.в. и в [3] в случае суммируемых коэффициентов. Обобщение этой теоремы на случай конечномерного возмущения вольтеррова оператора было сделано в [4]. Случай произвольной главной части д.в. был рассмотрен в [5, 6]. В работах [7, 8], относящихся к общему виду пучка Ь(Л), получены достаточные условия п-кратной полноты в пространстве Ь2[0,1] системы к.ф. в терминах стеЛ

Детальное исследование вопроса об п- и ш-кратной полноте к.ф. пучка Ь(Л), д.в. которого имеет постоянные коэффициенты, а краевые условия - полураспадающиеся, проведено в [9]. Похожий результат получен в [10].

Для пучка (1)-(2) с условием (3) не выполняются основные предположения [9], а именно, что краевые условия полураспадающиеся и не зависят от Л, а также, что существует прямая d, проходящая через начало координат, не содержащая ы-корней и делящая комплексную плоскость на две полуплоскости, внутри каждой из которых число этих корней не меньше п — I.

В [11] исследована кратная полнота системы к.ф. пучка очень близкого к рассматриваемому пучку Ь(Л). Но д.в. предполагалось однородным (р^ = 0 при ] + в < п в сумме (1)) и накладывались еще некоторые дополнительные ограничения. В случае I = 0 (см. (2)) эти ограничения удалось снять.

Для формулировки основного результата введем некоторые обозначения.

Считаем при I = 0 во = 0 вг+1 = п, что краевые условия (2) упорядочены таким образом (это не нарушает общность), что справедливы соотношения:

Ьо + 1 = ' ' ' = < Хв1 + 1 = ' ' ' = < ' ' ' < + 1 = ' ' ' = Х«г+1 , где обозначено = нц — к0 и 7, 6 таковы, что

в7 + 1 < п — к + 1 < в7+1, в£ + 1 < к + 1 < в£+ь (4)

Обозначим

a ij —

У^ «ivs^V, bij — ^ Avs^, i,j — 1,n

V+S=KjQ

V+S = Kil

0 . .0 a1,k+1 . . a1n

A — 0 . bsY+1,1 . .0 . bsY+1,k asY ,k+1 . asY+1,k+1 . . asY ,n . asY + 1,n

bn,1 . . bn,k an,k+1 . . an,n

aii . . . a1k 0. .. 0

B — ass ,1 . ass+1,1 . . . ass,k . . ass+1,k 0. bss+1,k+1 . .. 0 . . bs&+1,n

an,1 . . . an,k bn,k+1 . . . bn,n

Кг = шт{кго, кл}, г = 1,п; [и] + = шах{и, 0}.

Теорема 1. Пусть для пучка Ь(X) выполняются условия (3), I = 0 и А = 0 В = 0. Тогда система к.ф. это го пучка и-кратно полна в пространстве Ь2[0,1] с возможным конечным дефектом, не превыша-

п

ющим числа ХЛи — 1 — кг]+ б случае, если выполняется хотя бы для

i=i

одного i — 1,n неравенство max{Kio, к10} > n — 1, и с нулевым дефектом в противном случае.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Ks 1301-00238).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // Докл. АН СССР, 1951, Т. 77, .V" 1. С. 11-14,

2, Хромов А. П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов: Дис, ...докт. физ.-мат, наук, Новосибирск, 1973, 242 с,

3, Шкаликов A.A. О полноте собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора с нерегулярными краевыми условиями // Функц. анализ. 1976. Т. 10, № 4. С. 69-80.

4. Хромов А. П. О порождающих функциях вольтерровых операторов // Мат. сб. 1977. Т. 102(144), № 3. С. 457-472.

5. Freiling G. Zur Vollständigkeit des Systems der Eigenfunktionen und Hauptfunktionen irregulärer Operator-büsehel // Math. Z, 1984. Vol. 188, № 1. P. 55-68.

6. Тихомиров С. А. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов в пространстве вектор-функций // Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1987. 126 с.

7. Гасымов М. Г., Магеррамов А. М. О кратной полноте системы собственных и присоединенных функций одного класса дифференциальных операторов //Докл. АН Азерб. ССР. 1974. Т. 30, № 12. С. 9-12.

8. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Тр. семин. им. И, Г. Петровского. М, : Изд-во Моск. ун-та. 1983. № 9. С. 190-229.

9. Вагабов А. И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. Ростов н/Д : Изд-во Рост, ун-та. 1994. 160 с.

10. Рыхлое В. С. Кратная полнота собственных функций обыкновенного дифференциального полиномиального пучка // Исследования по теории операторов : сб. стат. / ВИЦ УрО АН СССР. Уфа." 1988. С. 128-140.

11. Рыхлое В. С. Кратная полнота корневых функций одного класса пучков дифференциальных операторов // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. Вып. 15.

УДК 517.54

К. А. Самсонова

ОБ ОТОБРАЖЕНИИ С МИНИМАЛЬНОЙ ЕМКОСТЬЮ РАЗРЕЗА

Настоящая статья посвящена решению экстремальной задачи о минимальной емкости разрезов в верхней полуплоскости Н = {г € С : О1 г > > 0} и проходящих через заданные точки Ак € Н, к = 1,..., п. Обозначим через 7к, к = 1,..., п, разрезы в Н, соединяющие точки Ак с ве-

п

щественной осью К. Пусть конформное отображение / : Н \ У 7к —> Н

к=1

имеет гидродинамическую нормировку /(г) = г + ь + 0(|г|-2), |г| ^ то.

п

Тогда число Ь называется «емкостью У 7к относительно Н» [1].

к=1

п

Рассмотрим экстремальную задачу о минимуме емкости У 7к отно-

к=1

Н

п

Теорема. Минимальная емкость У 7к относительно верхней по-

к=1

луплоскости Н для разрезов 71,... , 7п в Н7 соединяющих заданные точки Ак € Н, к = 1,..., п, с вещественной осью К, достигается только в том случае, когда все^1,... ,7п являются отрезками, перпендикулярными к К.

Доказательство. Предположим, что кривые 7к задаются параметрическими уравнениями:

7к = {г € С : г = 7к(*), 0 < I < Т}, 7к(Т) = Ак.