Теорема о кратной неполноте комбинации экспонент с показателями, лежащими на одной прямой, и её применение к пучкам дифференциальных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

в) в случае а > 'm+-L, т > m + 1 — условия (1); функции биортогональной системы Z = {zn(x) : n £ Z} определяются неоднозначно;

г) в случае а > ä, m < т < m + 1 при некотором m £ N U {0} и т =1 условия (2); функции, биортогональной системы Z определяются при а = а однозначно.

Теорема 3. Если выполняются условия 1°, 2°, 4°7 то для 1-кратной безусловной базисности системы Уд в L2[0,а] достаточно выполнения:

а) в случае а = 1 и т > 1 — условия, т < \Ь°\2 ;

б) в случае а = 1, т = 1 — услов ия b° = ±1;

в) в случае а = 1 и m < т < m + 1, т = 1, m £ N U {0} — условия (2).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-0100003) и гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы, М,: Наука, 1969, 528 е,

2. Шкаликов A.A. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений е параметром в граничных условиях // Тр. семинара им. И,Г, Петровского, М,: Изд-во Моск. ун-та, 1983. № 9. С. 190-229.

3. Рыхлое B.C. О полноте собственных функций дифференциального пучка второго порядка, корни характеристического уравнения которого лежат на одной прямой // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2007. Вып. 9. С. 88-91.

4. Рыхлое В. С. О полноте собственных функций квадратичных пучков обыкновенных дифференциальных операторов // Изв. вузов. Сер. Математика. 1992. Т. 36. 3. С. 35-44.

5. Рыхлое B.C. О свойствах собственных функций обыкновенного дифференциального квадратичного пучка второго порядка // Интегральные преобразования и специальные функции. Информационный бюллетень. М,: Науч.-исслед. гр. междунар, журн, "Integral Transforms and Special Functions'^ ВЦ РАН. 2001. Т. 2. № 1. С. 85-103.

УДК 517.927.25

B.C. Рыхлов, О.В. Шигаева

ТЕОРЕМА О КРАТНОЙ НЕПОЛНОТЕ КОМБИНАЦИИ ЭКСПОНЕНТ С ПОКАЗАТЕЛЯМИ, ЛЕЖАЩИМИ

НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ, И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ПУЧКАМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Рассмотрим в пространстве L2[0,1] пучок операторов L(X)7 порожденный однородным дифференциальным выражением

l(y, X) = y(n)(x) + Xp1y(n-1)(x) + • •• + Xnpny(x) и двухточечными линейно независимыми краевыми условиями

^ Xs (aJsky(k)(0)+ ßJsky(k)(1)) =0, j = M,

s+k<n-1

где п > 3 р3 ,а]ак,вззк е С.

Пусть собственные значения (с.з.) пучка Ь(Л) образуют счетное множество {Л^}, занумерованы в порядке неубывания модулей и, начиная с некоторого номера, простые. Обозначим Л = {Л^-} \ {0}.

Пусть корни ] = 1,п, характеристического уравнения

ип + Р1иП-1 + • • • + Рп = 0

попарно различны, отличны от нуля и лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, причем так, что один корень ип лежит по одну сторону от начала, а все другие корни - по другую сторону. Не нарушая общности, можно считать, что

ип < 0 < и1 < < • • • < ип-1. (1)

Предположим также, что функция

у(х, Л) = а,1вх"1Х + а2вх^гх + • • • + ап-1вХшп-1Х + апвЛ^Х, а] е С, (2)

является порождающей для собственных функций (с.ф.) пучка Ь(Л), соот-

Л

Рассмотрим следующие системы функций:

УЛ = {у(х, Л)|Л е Л}, УС = {у(х, Л)|Л е С}. (3)

Система Уд есть система всех с.ф. пучка Ь(Л), соответствующих с.з. из мпо-Л

Пусть а е К+, т е N 1 < т < п. В настоящей статье исследуется вопрос об п- и т-кратпой неполноте систем УС и Уд в пространствах Ь2[0, а], а > 0. Ранее в [1, 2] был исследован случай, когда корни характеристического уравнения лежат на одном луче и порождающая функция имеет вид (2). В [3] анонсирована теорема об п-кратной неполноте систем УС и Уд в пространствах Ь2[0, а], а > 0 при условиях (1)-(2). Введем обозначения:

у(^ Л) = (Уl(x, ЛУ(^ ..., лmУ(x, Л)),

/(х) = (fl(x),f2(x),fm(x)),

Х

Уд е Ь[0,а] : (д)^) = д(£) <%,

J о

Гх Гх (т — £У-1 _

(д),■(д)3-1(£)^ = ^ )<%, з = 2,т-1.

Справедливы следующие результаты.

Лемма. Если

¡к е ^[0,а],к = 1, т,

(/к)з(а) = 0,з = 1,т - к, к = 1,т - 1, тогда для того чтобы

УХ е С у(;Х)±?

в пространстве Цт[0,а], необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения

/ а х

лрп(^) = 0, х е [0,аМ,

Шп1 |ЫП|

п—1

в=2

) = 0, х е [0,аш1],

в=1 п—1

—) = 0, х е (аи1,аи2],

п-1

Е

я=п—2 ап—1

к Шп-1

- ) х

= 0, X е (аШп—3,^Шп—2],

^п—1(-) = 0, X е (аШп—2,&Шп—1],

Шп-1

где

ад 1)т—кшт—к (¡к )т—к (х).

к=1

у(х, Х)

е определяется формулой (2). Тогда, при, любых а^ з = 1, и, в (2) система УС не является и-кратно полной ни в каком пространстве Ь2[0,а], где а > 0, и имеет в каждом таком пространстве бесконечный, дефект и

Следствие 1. Система УЛ не является и-кратно полной ни в каком пространстве Ь2[0,а], где а > 0, и имеет в каждом таком пространстве

и

Теорема 2. Предположим и > 4, выполняется условие (1) и функция у (х,Х) в (3) определяется формулой (2). Тогда, если коэффициенты аj е С, 3 = 1,и, в (2) таковы, что выполняется условие

Ш1П

г,1 = 1,т г=1

п—2

Е

в=1

ая

ап 1

— Ш г < 1

Шп-1 — Шп- 1Шп—1

< 1,

(4)

то система УС не являет ся т-кратно пол, ной (3 < т < и — 1) ни в каком пространстве Ь2[0,а], где а > 0, и имеет в каждом таком пространстве

т

Следствие 2. Предположим n > 4, выполняется условие (1) и функция y(x, X) в (3) определяется формулой (2). Тогда если коэффициенты aj £ C, j = 1,n в (2) таковы, что выполняется условие (4), то системаУл не является m-кратно пол,ной (3 < m < n — 1) ни в каком пространстве L2[0,а], где а > 0, и имеет в каждом таком пространстве бесконечный,

m

Работа выполнена при, финансовой поддержке РФФИ (проект 06-0100003) и гранта, Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Голубь A.B., Кутепов В.А., Рыхлое B.C. Кратная неполнота собственных функций пучков дифференциальных операторов, корни характеристического уравнения которых лежат на одном луче // Саратов, 2004, 24 с, Деп, в ВИНИТИ 05,08,04, .Y"1353-B200 I.

2, Рыхлое B.C. О кратной неполноте собственных функций пучков дифференциальных операторов, корни характеристического уравнения которых лежат на одном луче // Докл. РАЕН. 2004. С. 72-79.

3, Рыхлое В. С., Шигаееа, О.В. Об n-кратной неполноте системы собственных функций одного класса пучков дифференциальных операторов// Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 14-й Сарат. зимней шк,, посвящ. памяти акад. П.Л. Ульянова. Саратов, 28 янв. - 4 февр. 2008 г. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2008. С. 162.

УДК 517.518.85

С.П. Сидоров

ТЕОРЕМА ТИПА КОРОВКИНА ДЛЯ КЛАССА ОПЕРАТОРОВ, ОБЛАДАЮЩИХ СВОЙСТВОМ ФОРМОСОХРАНЕНИЯ

Классическими результатами для класса положительных операторов являются результаты П.П. Коровкпна. Им были найдены [1] условия сходимости последовательности линейных положительных операторов к тождественному оператору I в C[0,1]

Теорема 1. Пусть последовательность линейных операторов Li : C[0,1] — C[0,1], n > 1, такова, что

(1) Li(V°) С V°, где V° := {f £ C[0,1] : f > 0};

(2) lim II (Li — I)ej || = 0 j = 0,1, 2.

Тогда, для всех f £ C[0,1] будет

lim ||(Li — I)f || =0.

i—

Здесь ej(t) = tj j = 0,1,..., || • || означает равномерную норму, ||f|| = sup \f(x)|.

же[°,1]