CC BY
19
гласно [6], наименьшее число цепей, в объединение которых разложимо упорядоченное множество, равно его ширине (то есть максимальной мощности его антицепи). Назовем такое разложение дилуорсовским.
В качестве следствий теоремы 1 можно получить оценки числовых ха-
m
рактеристик решетки < M(и), С>. Пусть A = У C{- дилуорсовское разло-
i=1
жение упорядоченного множества < A, и >. Тогда справедливы следующие оценки.
Следствие 1. (оценка числа элементов решетки < M(и), С>, то есть числа мажорантно стабильных подмножеств упорядоченного множества < A, и >): | M(и) |< ПТ=1 I Ci | .
Следствие 2. (оценка длины l упорядоченного множества < M(и), С>):
км (и)) < e:=I i(Ci).
Следствие 3. (оценка размерности dim упорядоченного множества < M(и), С>): dimM(и) < m, где m - ширина упорядоченного множества < A, и >
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Розен В. В. Игры с упорядоченными исходами и монокомпактно порожденные решетки // Упорядоченные множества и решетки. Сб. науч. тр. 1978. Вып. 5. С. 90-97.
2. Розен В.В. Порядковые инварианты и проблема «окружения» для игр с упорядоченными исходами // Кибернетика и системный анализ. 2001. №2, С, 145-159,
3. Розен В.В. Вложения упорядоченных множеств в упорядоченные линейные пространства //Изв. вузов. Сер, Математика, 1998, №7 (434), С, 32-38,
4. Розен В.В. Представление изотонных отображений в виде сумм весов мажорантно-стабильных подмножеств // Математика, Механика, Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та. 2001. Вып. 3. С. 110-113.
5. Розен В. В. Кодирование упорядоченных множеств // Упорядоченные множества и решетки. Сб. науч. тр. 1991. Вып.10. С. 88-96.
6. Айгнер М. Комбинаторная теория. М,: Мир, 1982.
УДК 517.927.25
B.C. Рыхлов
О СВОЙСТВАХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ПУЧКА ВТОРОГО ПОРЯДКА, КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ КОТОРОГО ЛЕЖАТ НА ПРЯМОЙ
Рассмотрим в пространстве [0,1] пучок операторов L(A), определяемый однородным дифференциальным выражением
%,A) := y(2) + Apiy(1) + А2р2У
ее
и двухточечными однородными краевыми условиями
U(y, А) = Uvc(y,A) + Uvi(y,A) :=
:= («viy(1)(0) + A«v2y(0)) + (&iy(1)(1) + A^v2y(1)) =0, v =1, 2,
где pj,avj,@vj G C. В случae av 1 = 1 = 0 считаем, что краевое условие имеет вид av2y(0) + ^v2y(1) = 0.
Обозначим через ы1, ы2 корни характеристического у равнения ы2 + р1ы + p2 = 0 и предположим, что корни ы1, ы2 отличны от нуля и лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, по разные стороны от этого начала. Не нарушая общности, можно считать
I0) ы2 < 0 < ыь
Обозначим т := |ы2|/ы1 > 0 y1(x,A) = ехр(Аы1х) y2(x,A) = ехр(Аы2ж). Для определенности считаем av 1 = 0 ^v1 = 0. В остальных случаях рассуждения принципиально не отличаются. Обозначим vvj = Uv0(yj, А)/А, wvj = exp(-AWj)Uv 1(yj, А)/А и Vj = (vj,V2j)T, Wj = (wj,W2j)T (v,j = 1, 2). Пусть ask = det(Ws, Wk), as-k = det(Vs, Wk), afk = det(Ws, Vk), afk = det(Vs, Vk).
Характеристический определитель пучка имеет вид
A(A) = det(Uv (y, А)) v,j=1 =
= А2{аТ2 + eAwi a12 + eA"2 a^ + eA(wi^a^} = А2Ао(А).
Предположим, что всюду в дальнейшем выполняется условие 20) ai2 = 0 a12 = 0 ai2 = a12 = 0.
При этом условии А0(А) = a12 + eAwia12 и, следовательно, рассматриваемый пучок L(A) не является регулярным [1, с. 66-67] и, более того, не является нормальным по терминологии работы [2].
Очевидно, уравнение А0(А) = 0 имеет счетное число простых корней, которые выражаются формулой
Ak = (2kni + ¿0)/ы1, k G Z,
где d0 := ln0 c0 (ln0 есть фиксированная ветвь натурального логарифма, такая, что ln0 1 = 0? c0 := —a12/a12-
Обозначим Л := {Ak : k G Z}. Очевидно, Л \ {0} есть множество ненулевых собственных значений (с.з.) пучка L(А). Точка А = 0 может быть с.з., а
0 G Л
Справедливы следующие альтернативные условия:
З0) W2 = ^и: W2 = 0 и a11 = 0;
40) W2 = 0 и a11 = 0.
В [3] показано, что если выполняется условие З0, то функция у(х,Л) := ехр(Аы1ж) является порождающей для системы собственных функций (с.ф.) пучка Ь(Л) при Л = 0. Если же выполняется условие 4°, то порождающей функцией является функция у(х, Л) := ехр(Лы1ж) + Ь° ехр(Л(ы1 + ы2ж)), где Ь° = ац/а12 = 0.
Обозначим Уд := (у(ж,Л) : Л Е Л} Если Л = 0 Е Л, т0 система Уд совпадает с системой с.ф. пучка Ь(Л), соответствующих ненулевым с.з. В случае выполнения условия 3° систем а Уд совпадает с обычной тригонометрической системой в экспоненциальной форме, и вопрос о полноте системы
с.ф. пучка Ь(Л) в пространстве Ь2[0,1] в этом случае является тривиальным.
°
В работе [3] было найдено значение параметрам = у+т, такое что система Уд 2-кратно полна в пространстве Ь2[0,а] при а = а и 2-кратно неполна с бесконечным дефектом при а > а. Кроме того, были найдены условия, при которых имеет место 1-кратная полнота системы Уд в пространстве Ь2[0, а].
В данной статье решается задача нахождения условий на параметры пучка Ь(Л), при которых системы Уд 1-кратно неполна, минимальна и образует базис безусловной сходимости в пространстве Ь2[0, а]. Отметим, что в случае 0 < < ы2 и при условиях а12 = 0 ®12 = 0 ®12 = а12 = 0 свойства с.ф. (1-
кратная полнота и неполнота, минимальность, базисность Рисса) детально
°
Справедливы следующие результаты.
°°°
система Уд была 1 -кратно неполна в Ь2[0, а] и имела там бесконечный дефект, достаточно выполнения:
а) в случае а > 2,, т = 1 — у слов ия Ь° = ±1 ;
б) в случае а > и, т > т + 1 при т Е N и {0} — условия,
т < |Ь°|2 швх{1, |с°|2т}; (1)
в) в случае а> 1 и т<т<т + 1 при т = 1 и т < т<т + 1 при, т Е N \ {1} — условия
т
|ь°|2 § № <т (2)
°°°
минимальности системы У в Ь2[0, а] достаточно выполнения:
а) в случае а > а := 1; т = 1 — у слов ия Ь° = ±1; функции, биортогональ-нои системы Z = {¿п(ж) : п Е Ъ} определяются при, а = а однозначно;
б) в случае а > а° := т> 1 — у слов и,я, т < |Ь°|2 ; функции биортого-нальной, системы Z определяются при, а = а° однозначно;
в) в случае а > т > m + 1 — условия (1); функции биортогональной системы Z = {zn(x) : n G Z} определяются неоднозначно;
г) в случае а > ст7 т<т < m + 1 прм некотором m G N U {0} и т = 1 — условия (2); функции, биортогональной системы Z определяются при а = а однозначно.
Теорема 3. Если выполняются условия 1°, 2°7 4°7 то для 1-кратной безусловной базисности системы Уд в L2[0,а] достаточно выполнения:
а) в случае а = 1 и т> 1 — услов ия т < |b°|2 ; е случае а =1 т = 1 — услов ия b° = ±1;
в) в случае а = 1 и т<т < m + 1 т = 1 m G N U {0} — условия (2).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-0100003) и гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы, М,: Наука, 1969, 528 е,
2. Шкаликов A.A. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений е параметром в граничных условиях // Тр. семинара им. И,Г, Петровского, М,: Изд-во Моск. ун-та, 1983. № 9. С. 190-229.
3. Рыхлое B.C. О полноте собственных функций дифференциального пучка второго порядка, корни характеристического уравнения которого лежат на одной прямой // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2007. Вып. 9. С. 88-91.
4. Рыхлое В. С. О полноте собственных функций квадратичных пучков обыкновенных дифференциальных операторов // Изв. вузов. Сер. Математика. 1992. Т. 36. 3. С. 35-44.
5. Рыхлое B.C. О свойствах собственных функций обыкновенного дифференциального квадратичного пучка второго порядка // Интегральные преобразования и специальные функции. Информационный бюллетень. М,: Науч.-исслед. гр. междунар, журн, "Integral Transforms and Special Functions'^ ВЦ РАН. 2001. Т. 2. № 1. С. 85-103.
УДК 517.927.25
B.C. Рыхлов, О.В. Шигаева
ТЕОРЕМА О КРАТНОЙ НЕПОЛНОТЕ КОМБИНАЦИИ ЭКСПОНЕНТ С ПОКАЗАТЕЛЯМИ, ЛЕЖАЩИМИ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ, И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ПУЧКАМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Рассмотрим в пространстве L2[0,1] пучок операторов L(A), порожденный однородным дифференциальным выражением
1(y, A) = y (n)(x) + Ap!y(n-1)(x) + • • • + A>ny(x) и двухточечными линейно независимыми краевыми условиями
^ As {aJsky(k)(0)+ ßJsky(k)(1)) =0, j = M,
s+k<n-1
