Нахождение крайних сбалансированных подматриц заданной матрицы Текст научной статьи по специальности «Математика»

I

х = а?и7 + а2ти5у2 — 5ат2и?у4 + 3т? иу6

у = 3а?и6у — 5а2ти4у? + ат2и2у5 + т?у7

2 2 г = аи2 — ту2

2

2

2„.2„,5

(17)

I

х = а?и7 — 3а2ти5у2 + 3ат2и?3уА — т?иу6

у = 7а? и6у — 3а2ти4у? + 3ат2и2у5 — т?у

22 г = аи2 — ту2

2

2

7

(18)

Доказательство. Заметим, что и ранее вывод формул 1-го комплекта проводится в духе рассуждений Л. Эйлера, относящихся к уравнению

Пусть А = у/а, М = л/т и пусть п = 7. Положим

Ах + Му = (Аи + Му)7, Ах — Му = (Аи — Му)7.

ху

мулы (15), формулу для г найдем, подставив найденные значения х и у в уравнение. Для вывода формул (16) полагаем

Ах + Му = (Аи + Му)6 • (Аи — Му), Ах — Му = (Аи — Му)6 • (Аи + Му)

и действуем аналогично предыдущему случаю и т. д.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Эйлер Л. Алгебра, СПб., 1768,

2, Диксон Л. Введение в теорию чисел, Тбилиси, 1941,

В работе [1] показано, что для игры двух игроков с упорядоченными исходами задача нахождения ситуаций равновесия в ее смешанном расширении сводится к нахождению сбалансированных подматриц матрицы ее функции реализации. Здесь мы рассматриваем задачу нахождения сбалансированных подматриц для произвольной матрицы (все предварительные понятия содержатся в работах [1, 2]). Описание множества всех

(2).

УДК 519. 83

В. В. Розен

НАХОЖДЕНИЕ КРАЙНИХ СБАЛАНСИРОВАННЫХ ПОДМАТРИЦ ЗАДАННОЙ МАТРИЦЫ

сбалансированных подматриц заданной матрицы, а также соответствующих им балансовых векторов может быть сведено в силу теоремы Крей-на — Мильмана к нахождению крайних сбалансированных подматриц. Введем необходимые определения.

Пусть задана матрица ||F (i,j)||(iGl jGj) формата m x n над множеством А Будем обозначать через Sk стандартный симплекс k-компо-нентных вероятностных векторов. С каждой парой (x, y) G Sm x Sn ассоциируется вероятностная мера F(x, y) па мпожестве А, определенная равенством

F(x, y) (a) = Xi • Уз , где x = (xi,...,xm) , y = (yi,..., yn).

F(i ,j )=a

Как обычно, мы отождествляем индекс i G I с вероятностным вектором вида (0,..., 1,..., 0) Зафиксируем тару подмножеств 10 С I, J0 С

i

С J. Определим подмножества BJ С Sm) Bj С Sn равенствами bJo = {x G Sn: (Vji,j2 G Jo) F^h) = F{x,h)} ,

Bj0 = {y G Sm : (Vi1, i2 G Io) F(iU y) = F(i2, y)} .

Нетрудно проверить, что Bj и Bj являются выпуклыми многогранниками, следовательно, BJ x Bjo также является выпуклым многогран-Sm x Sn

Определение. Подматрица F (10 x J0) = ||F (i, j)||(iG/0 jgJo) называется крайней сбалансированной подматрицей, если она сбалансирована и для нее существует такая пара балансовых векторов, которая является крайней точкой в выпуклом многограннике Bjo x Bj.

Для произвольного выпуклого многогранника P мы обозначаем через Ext P множество его крайних точек.

Лемма. Вектор x0 G BJ является крайней точкой в Bjo тогда и только тогда, когда он минимален по спектру, т.е. для любогоx G Bjo выполнено условие

Spx С Sp x0 x = x0 (1)

мы обозначаем через Брх спектр вектора, х : Брх = {г С I : х = 0}^).

Доказательство. Пусть х0 — крайняя точка в . Рассмотрим вектор х € удовлетворяющий условию Брх С Брх®. Предположим, что х = х0. Так как

х = ^ ^ хо =

¡&Брх ¡еБрх0

86

то среди ненулевых компонент вектора ж существует такая xi', что 0 < x0 < Xi', следовательно,

x0

0 < £ = min ^ < 1. (2)

ieSpx Xi

Из (2) следует, что |£Xi| ^ x0 для всex i G Sp x, поэтому x0 ± £Xi ^ ^ 0 (i G I), т.е. все компоненты обоих векторов x0 ± £x неотрицательны. Положим

00

/у>1 - - гр2 - -

1 + £ ' 1 - £

Проверим, что xl,x2 G Bjo. Имеем

Ei х—> x0 + £xi 1 ^—г 0 £ ^—г 1 £

1 + £ +TTi^xi = ТГ£ + ТГё ;

iGl iGl iGl iGl

E2 X—> x0 — £xi 1 ^—r 0 £ ^—r 1 £

x =¿s 1 — £ =1—~£^x0— = —= 1.

iGl iGl iGl iGl

Ввиду x0,x G Bj и используя линейность функции F(xy), получаем при любых ji, j2 G J0

1 - £ F(x\n) = F( £+xjj = F(x°ji) + F(xji) =

-F(x°,.n) + ^—-F(x,h) = F(-T-^ = F(>-

r(x°j2) + 1Г7 F(x,j2) = F( T+ x0+T+ xj) = F(x\n).

Мы показали равенство F(x\jT) = F(xi,j2); равенство F(x2jT) = F(x2j2)

l+e xl + i — 2 x + 2

устанавливается аналогично. Итак, xl,x2 G Bj .Так ка к j+e xl + i—e x2 =

= х0 и + Кг = 1, то из определения крайней точки следует, что х1 = х2. Тогда мы получаем

0 1+ 6 1 1 - 6 2 1+ 6 1 1 - 6 1 1 гр - -гр1 I _гр2 - -ер1 I _ер1 - ер1

>ЛУ --_ >ЛУ \ _ >ЛУ --_ >ЛУ \ _ >ЛУ - «ЛУ «

2 2 2 2'

откуда = х0 и х = х0. Последнее равенство находится в противоречии с нашим предположением, что и завершает доказательство необходимости.

х0

нено условие (1). Пусть х1 £ В^ и х2 £ В^ — два вектора такие что х0 = а1х1 + а2х2, где а1,а'2 > 0, а1 + а2 = 1. Тогда Зр х1 С Sp х0,

Sp x2 С Sp x0, x1 = x0 x2 = x0

этому x1 = x2. Итак, x0 является крайней точкой в BJq, что заканчивает доказательство леммы.

Используя лемму и теорему 2 из [2], имеем

Следствие. Пусть M - крайняя сбалансированная подматрица матрицы ||F (i,j)||(iGl jGj). Тогда,

M

mop;

M

вектор;

M

4- Det x (Ma) = 0 для любо го a G pr2M, где x (Ma) есть матрица с элементами mij, построенная по правилу:

mij = 1, если F(i,j) = a,

mij = 0, если F(i,j) = a. x0, y0

подматрицы M = F (I0 x J0) при условии x0 G Ext Bj и y0 G Ext Bj. Рассмотрим строчный балансовый вектор x для F (I0 x J0): x G Bj , Spx = I0. Так как Sp x = Sp x0, то из леммы следует, что x = x0. Таким образом, утверждение 1) проверено. Двойственно устанавливается утверждение 2). Утверждения 3) и 4) следуют из теоремы 2 работы [2]. Основной результат данной статьи составляет следующая Теорема. Пусть ||F (i,j)||(iGl jGj) - произвольная матрица над множеством А I0 С I,J0 С J и M = F (I0 x J0) ее подматрица. M

гда и только тогда, когда для любых a,a1,a2 G pr2M выполнены следующие условия:

M

2) Det x (Ma) = 0;

3) все компоненты вектора Xa = (1,... , 1) [x (Ma)]-1 положительны;

4) векторы \ai и Xa2 коллинеарны;

_1 T

5) все компоненты вектора 5a = [x (Ma)] (1,..., 1) положительны;

6) векторы 5ai и 5a2 коллинеарны.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Розен В. В., Панкратова Ю. Н. Ситуации равновесия и сбалансированные по-

крытия в играх с упорядоченными исходами // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2000, Вып. 2, С, 105-108,

2, Розен В. В. Условия единственности балансовой пары векторов // Математика,

Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2010, Вып. 12, С, 105-108,

УДК 517.927.25

B.C. Рыхлов

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОДНОГО ПУЧКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим в пространстве L2[0,1] квадратичный пучок обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка, определяемый однородным дифференциальным выражением

£(y,X) := y" + p1\y' + p2X2y (1)

и двухточечными однородными краевыми условиями

Uv(y, A) = Uv0(y,X) + Uv 1(y,A) :=

:= («v1y/(0) + Aav2y(0)) + (& 1у'(1) + A0*2y(1)) =0, v = 1, 2, (2)

где pj ,avj ,fivj G C

Пусть ш1,ш2 — корни характеристического уравнения ш2 + p1u + +p2 = 0 и пусть выполняется основное предположение: корни ш1 ,ш2 отличны от нуля и лежат на одном луче, исходящем из начала координат. Не нарушая общности, можно считать, что 0 < ш1 < ш2.

Обозначим далее y1(x, A) = ехр(Аш1 x), y2(x, A) = exp(Aw2x). Очевид-y1 , y2

нения £(x, A) = 0. Для определенности далее считаем av 1 = 0 (3v1 = 0. В остальных случаях рассуждения принципиально не отличаются. Обозначим Vvj = Uv0(yj,A)/A = av 1Uj + av2, Wvj = exp(-A^j)Uv1(yj,A)/A = = fiv 1Wj + Vj = (V1j,V2j)T, Wj = (w1j,W2j)T, v,j = 1, 2. Пусть ask = = det(W„ Wk) a,k = det(V„ Wk), ash = det(W„ Vk), = det(V„ Vk). Характеристический определитель пучка имеет вид

A(A) = det (Uv(yj, A)) 2з=1 = A2(a12 + eAwia12 + eA^2a12 + eA(^2)a12).

Если ax2 = 0 и a12 = 0, то пучок (1),(2) является регулярным по Бирк-гофу [1, с. 66-67] и его функция Грина имеет оценку O(A) вне кружков

89