CC BY
18
крытия в играх с упорядоченными исходами // Математика, Механика : еб, науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2000, Вып. 2, С, 105-108,
2, Розен В. В. Условия единственности балансовой пары векторов // Математика,
Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2010, Вып. 12, С, 105-108,
УДК 517.927.25
B.C. Рыхлов
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОДНОГО ПУЧКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим в пространстве [0,1] квадратичный пучок обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка, определяемый однородным дифференциальным выражением
%,A) := y'' + piAy' + p2A2y (1)
и двухточечными однородными краевыми условиями
U(y, А) = Uvo(y,A) + Uvi(y, A) :=
:= (W(0) + A«v2y(0)) + (0viy'(1) + A^v2y(1)) =0, v = 1, 2, (2)
где pj ,avj ,/3vj ^ C
Пусть — корни характеристического уравнения w2 + p1w +
+p2 = 0 и пусть выполняется основное предположение: корни , w2 отличны от нуля и лежат на одном луче, исходящем из начала координат. Не нарушая общности, можно считать, что 0 < < w2.
Обозначим далее y1(x, A) = exp(Aw1 ж), y2(x, A) = exp(Aw2x). Очевид-yi , y2
нения £(ж, A) = 0. Для определенности далее считаем av 1 = 0 ev1 = 0. В остальных случаях рассуждения принципиально не отличаются. Обозначим Vvj = Uvo(yj, A)/A = av 1Wj + Qv^ Wvj = exp(-Awj)Uv1(yj, A)/A = = ev 1Wj + Vj = (V1j, V2j)T, Wj = (w1j,W2j)T, v, j = 1, 2. Пусть ask = = det(Ws, Wk), as-k = det(V„ Wk), afk = det(W„ Vk), as-k = det(VS, Vk). Характеристический определитель пучка имеет вид
A(A) = det(Uv(y, A)j = A2(aT2 + eAwia12 + eA^2ай + eA^+W2)a12).
Если aj2 = 0 и a12 = 0, то пучок (1),(2) является регулярным по Бирк-гофу [1, с. 66-67] и его функция Грина имеет оценку O(A) вне кружков
89
фиксированного радиуса около собственных значений. Если же а^ = 0 или а 12 = 0, то пучок (1),(2) будет сильно нерегулярным. Его функция Грина имеет экспоненциальный рост в углах раствора больше или равного п.
Рассмотрим задачу нахождения условий на параметры пучка (1)-(2) и па вектор-функцию / = (/о,/!)7 £ ^[0,1], при которых имеет место двукратная разложимость вектор-функции f в биортогональный ряд Фурье по производным цепочкам пучка (1),(2) (см. [1, с. 102]).
Эта задача интересна только для для сильно нерегулярного пучка (1),(2), так как в регулярном случае ввиду хорошей оценки функции Грина задача о разложении достаточно просто решается (см. [1, с. 124 129]).
В сильно нерегулярном случае обыкновенного дифференциального оператора 3-го порядка, когда корпи {шj} лежат в вершинах правильного треугольника, задача о разложении решена в работе [2]. При этом на разлагаемую функцию накладывались очень сильные условия (и это по существу): аналитичность и удовлетворение некоторым функциональным соотношениям.
Рассмотрим далее конкретный пучок вида (1),(2), порожденный дифференциальным выражением
у'' - ЗА у' + 2А 2у (3)
и краевыми условиями
Г 3Ау(0)+ у'(1) + А у (1) =0,
\ у'(0) - 2Ау(0) =0. (4)
Будем обозначать этот пучок £(А). Здесь ¡1 = 1, ¡2 = 2 и характеристический определитель имеет вид
Д(А) = ЗА2 (1 + е2А).
То есть пучок Ь(А) является сильно нерегулярным.
Ненулевые собственные значения пучка являются нулями Д(А) и равны Ап = 2г + ппг, п £ Ъ. То есть собственные значения простые. Пусть уп есть собственная функция, соответствующая собственному значению Ап. Тогда производная цепочка, соответствующая функции уп имеет вид
(уп Ап У и)
Рассмотрим задачу на собственные значения Ь(А) = 0 или подробно
у'' - ЗАу' + 2А2у = 0, (5)
90
Г 3Ау(0) + у'(1) + Ау(1) =0, (6)
\ у'(0) - 2Ау(0) =0. (6)
Линеаризуем задачу (5),(6) следующим образом. Положим = у, V = А^0. Тогда получим следующую задачу на собственные значения уже для линейного оператора Ь, но в пространстве вектор-функций:
VI = А^о:
-1V) + 3 VI = А^1,
Г 3^(0) + V)(1)+ ^(1) =0,
\ V)(0) - 2^(0) =0.
Нетрудно показать, что собственные значения пучка Ь( А) и оператора £ совпадают, а система производных цепочек пучка Ь(А) совпадает с системой собственных вектор-функций оператора Ь.
Для формулировки основной теоремы потребуются компоненты резольвенты оператора Ь. Введем соответствующие обозначения. Пусть
(Ь - АЕ)-1/ = (г>о(ж, А; /),Ыж,А; /))Т,
где / = (/о,/1)Т-
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Если /0', £ Ь1[0,1] и
/о(0) = /о(1) = /0 (0) = /0 (1) = /1(0) = /1(1) = 0,
то
-^о(х,А; /) = /о(ж) + + (/о(х) - 2/о(2х - 1) - 2^(ж) + 3^х(2ж - 1)) + о(1) при V ^ то,
-^1(х,А;/) = /"1(х)+
+ (-2/1 (х) + 4/1(2х - 1) + /0(ж) - 2/0(2х - 1)) + о(1) ярм V ^ то,
где Е1(ж) = Ю /1(^) о Г^ - круговой контур с центром в начале координат и радиуса п^ V £ N.
/о /1
условия теоремы и
2/1 (ж) = /0 (ж), 91
то имеют место соотношения 1
р г>°(х, Л; ]) ¿Л = /°(х) + о(1) при V ^ то,
--® V(х, Л; ]) ¿Л = /1(х) + о(1) при V ^ то.
2пиг„
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1001-00270) и гранта Президента РФ (проект, ЕШ-ЩЗ.2010.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы, М,, 1969, 528 е,
2, Хромов А. П. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи третьего порядка // Исследования по теории операторов, : сб. науч. тр. Уфа, 1988, С. 182-193.
УДК 519.83
Т. Ф. Савина
О ПОЛНЫХ СЕМЕЙСТВАХ ГОМОМОРФИЗМОВ ИГР С ОТНОШЕНИЯМИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ
Для игр с отношениями предпочтения вида О = ((Х,),е^, А, (р,),^ , F) как для алгебраических систем [1] естественным образом введено понятие гомоморфизма [2]. Вопрос о сохранении оптимальных решений при переходе от одной игры с отношениями предпочтения к другой с помощью гомоморфизма был рассмотрен в работе [3] на базе условий ковариантности и контравариантности гомоморфизмов. В настоящей статье дано точное описание множества оптимальных решений [4] игры на основе полноты семейства гомоморфизмов.
Оптимальными решениями в игре являются ситуации равновесия и допустимые (вполне допустимые) исходы. Введем соответствующие определения.
Определение 1. Ситуация х° = (х°). м Е X в игре О называется
• ситуацией общего равновесия^ если для каждого г Е N и любых
Рг
х, Е X, выполнено уеловие F(х° || х,) ^ F(х°);
Рг
• ситуацией равновесия по Нэшу, если выполняется F(х° || х,) < F(х°).
92
