Кратная неполнота системы собственных функций одного класса пучков дифференциальных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927.25

КРАТНАЯ НЕПОЛНОТА СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО КЛАССА ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

О.В. Шигаева

Саратовская государственная академия права,

кафедра информатики

E-mail: Oksana_Shigaeva@mail.ru

Рассматривается класс пучков обыкновенных дифференциальных операторов n-го порядка с постоянными коэффициентами. Предполагается, что корни характеристического уравнения пучков этого класса лежат на одной прямой, проходящей через начало координат. Главное предположение состоит в том, что порождающие функции для системы собственных и присоединенных функций являются линейными комбинациями экспонент. Описываются случаи, когда система собственных и присоединенных функций n-кратно и m-кратно (3 < m < n — 1) неполна с бесконечным дефектом в пространстве суммируемых с квадратом функций на любом конечном отрезке.

Ключевые слова: кратная полнота, кратная неполнота, собственные и присоединенные функции, пучок обыкновенных дифференциальных операторов.

Multiple Non-Completeness for the System of Eigenfunctions of a Class of the Pencils of Ordinary Differential Operators

O.V. Shigaeva

Saratov State Academy of Law,

Chair of Informatics

E-mail: Oksana_Shigaeva@mail.ru

A class of the pencils of ordinary differential operators of n-th order with constant coefficients is considered. The roots of the characteristic equation of the pencils from this class is supposed to lie on a straight line coming through the origin. The main condition is such that the generating functions for the system of eigen- and associatedfunctions are linear combinations of exponential functions. The cases when the system of eigen- and associated functions is n-fold and m-fold (3 < m < n — 1) non-complete with infinity defect in the space of square summable functions on an arbitrary finite interval are described.

Key words: multiple completeness, multiple non-completeness, eigen- and associated functions, pencil of ordinary differential operators.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Рассмотрим в пространстве Ь2[0,1] пучок операторов Ь(А), порожденный однородным дифференциальным выражением

1(у, А) = у(п)(х) + Ар1у(п-1) (х) +---+ АпРпУ(х),

и двухточечными линейно независимыми краевыми условиями:

^ А У(к) (0) + У(к) (1)) =0, 2 = 1 П,

в+к<п-1

где п > 3, а Р,а^ак,в]8к е С.

Пусть корни , 2 = 1,п, характеристического уравнения шп + р1^п-1 + ■ ■ ■ + рп =0 для дифференциального уравнения 1(у, А) = 0 попарно различны, отличны от нуля и лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, причем так, что один корень шп лежит по одну сторону от начала координат, а остальные корни — по другую сторону.

Не нарушая общности, можно считать, что

ídn < 0 < < í^2 < ' ' ' < ^n — i.

(1)

Пусть собственные значения (с.з.) пучка £(А) образуют счетное множество {А^-}°=1, занумерованы в порядке неубывания модулей, и собственные и присоединенные функции (с.п.ф.) пучка £(А), соответствующие ненулевым собственным значениям, начиная с некоторого номера N, порождаются одной порождающей функцией:

y(x, А) = a1 eXwix + a2eXw2x +-+ an-1eXWn-1 x + aneAw"x, aj e C.

(2)

Обозначим Л = {А^-}°=1 и рассмотрим следующие системы функций: Уд — система с.п.ф. пучка ¿(А), а

Ус = {у(х, А) | А е С}. (3)

© О.В. Шигаева, 2009

Задача состоит в исследовании п- и т-кратной неполноты (1 < т < п) систем Уд и УС в про-

странствах Ь2[0,и], и > 0. Ранее в [1-3] был исследован случай, когда корни характеристического уравнения лежат на одном луче по одну сторону от начала координат, и порождающая функция также имеет вид (2). В работе [4] анонсирована теорема об п-кратной, а в работе [5] — об т-кратной неполноте систем Уд и Ус в пространствах Ь2[0, и], и > 0 при условиях (1) и (2).

Данным условиям, очевидно, удовлетворяет следующий класс пучков, рассмотренный в работе [6]:

А5 у(к),

Е

8+к=п

Е

А8«^ у(к) (0) = 0,

3 = 1, п — 1,

в+к=к^

^ Л5 (апзк у(к)(0) + впзк у(к) (1)) = о,

в+к=кп

где рзк е С, роп = 0, а^зк,в^5к е С, к е {0,1,... ,п — 1} — порядки краевых условий, если корни характеристического уравнения удовлетворяют неравенствам (1). Для данного класса пучков порождающая функция имеет вид (2). В работе [6] исследована полнота собственных и присоединенных функций в случае, когда корни характеристического уравнения удовлетворяют неравенствам

0 < < ^2 < ■ ■ ■ < ^п •

В данной статье доказываются следующие результаты.

Теорема 1. Предположим, что выполняется условие (1), и функция у(х, Л) в (3) определяется формулой (2). Тогда при любых а^ е С, 3 = 1,п, в (2) система Ус не является п-кратно полной ни в каком пространстве Ь2 [0, а], где а > 0, и имеет в каждом таком пространстве бесконечный дефект относительно п-кратной полноты.

Следствие 1. Система УЛ не является п-кратно полной ни в каком пространстве Ь2 [0, а], где а > 0, и имеет в каждом таком пространстве бесконечный дефект относительно п-кратной полноты.

Теорема 2. Предположим, п > 4, выполняется условие (1), и функция у(х, Л) в (3) определяется формулой (2). Если коэффициенты а^ е С, 3 = 1,п, в (2) таковы, что выполняется условие

д = тій

т,1= 1 ,т т=1

п—2

Е

8=1

ап —1

, . — I , . — V, .V—I Ш8 - Ш8 ШП

V —

Шп

< 1,

(4)

'п — 1 - Шп —1Ш

то система УС не является т-кратно полной (3 < т < п — 1) ни в каком пространстве Ь2[0, и], и > 0, и имеет в каждом таком пространстве бесконечный дефект относительно т-кратной полноты.

Следствие 2. Предположим п > 4, выполняется условие (1), и функция у(х, А) в (3) определяется формулой (2). Тогда если коэффициенты а^ є С, і = 1,п в (2) таковы, что выполняется условие (4), то система УЛ не является т-кратно полной (3 < т < п — 1) ни в каком пространстве Ь2 [0, и], где и > 0, и имеет в каждом таком пространстве бесконечный дефект относительно т-кратной полноты.

Замечание 1. Условие (4) выполняется, например, для пучка

у(4) — 5.2Ау(3) + 2.36А2 у(2) + 20.848А3у(1) — 25.344А4у, у(0) = у' (0) = у(3) (0) — 3.1Ау(2) (0) = у' (1) = 0.

Корни характеристического уравнения данного пучка есть ш1 = 1.8, ш2 = 2.2, ш3 = 3.2, ш4 = —2, и, очевидно, удовлетворяют неравенствам (1), а порождающая функция (2) имеет вид у(х, А) = = —6, 552е1'8Лх — 2.7664е2'2Лх + 7.0224е3'2Лх + 2.296е—2Лх.

0.801678 < 1, а следовательно,

ав ш-1—ш-г шгл-1 в в 4

аз 31 — 3г є ^ 1 1

Для этого пучка при I = 1 и г = 3 получаем ^

8=1

и подавно будет д < 1.

Доказательство сформулированных результатов существенно использует теорему об ортогональном дополнении к системе УС” = {у(ж, А)|А є С}, где т є М, 1 < т < п, у(ж, А) = (у(х, А), Ау(х, А),...

... ,Ат—1у(х,А))Т.

2. ТЕОРЕМА ОБ ОРТОГОНАЛЬНОМ ДОПОЛНЕНИИ

Пусть как и перед этим и є К, и > 0, т є М, 1 < т < п. Будем использовать следующие обозначения: /(ж) = (/1 (х),/(х),...,/т(х))Т, V д є Ь[0,и] : (^)1(х) = /д(0^ (д)і(х) = ЯдЬ—1(СЖ =

= / (і—п. д(СЖ, і = 2,т — 1. 0

Теорема 3. Если

/к є ¿2[0, и], к = 1, т,

(/к )і (и) = 0, і = 1, т — к, к = 1, т — 1,

тогда для того, чтобы

(5)

(6)

(7)

в пространстве Ь” [0, и], необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения:

(йл)=0, п.в. х є [0,и|шп^

^(¿7) =0, п.в. х є [0,иш1],

8 = 1 Х '

8=1

п—1

8=2

=0, п.в. х є (иШ1, иШ2],

(8)

п—1

^ ^7^5(^7) =0, п.в. х є (иШп—3,иШп—2],

8=п—2

ап-1 ^ I х

п —

к ЙТГ^п — 1 (¿-і) = 0, п.в. Х є (иШп —2, иШп —1 ^

где

ад = £(— 1)т-киГ-к(/к),„-к(ж), 8 = 1, п. (9)

к=1

Доказательство. Докажем необходимость. Пусть выполняется условие (5). Условие (7) запишем в следующем виде:

0 = Ак 1 у(х, А)/к(х)^х, А є С

(10)

к=1

Для каждого к = 1,т — 1 проинтегрируем к-е слагаемое справа в (10) по частям т — к раз. Для первого слагаемого получим

у(х,А)/1(х)^х = у(х,АЖЛ )1(х) = у(и,А)(/1 )1 (и) — у' (х,А)(/1 )1 (х)^х =

= у(и А)(/1)1 (и) — у'(х АМЛ )2(х) = у(и А)(/1 )1(и) — у'(и,А)(/1 ЬИ+ / у''(х,А)(/1 )2(х)^х =

= у(^ А)(/1 )1(и) — у'(и, А)(/1 )2(и) + / у''(x, АМЛ )3(х) = ■■ ■ = У(и, А)(/1 )1(и) — y'(и, А)(/1 )2(и) +

+у''(и, А)(/1 )3(и) + ■■■ + (—1)т—2у(т—2) (и, А)(/1 )т—1 (и) + (—1)т—1 / у(т—1) (х, А)(/1)т—1(х)^х,

для второго слагаемого повторяем аналогичные действия:

Ау у(х, АЩх)^х = Ау у(х,А)гі(/2)1 (х) = Ау(и,А)(/2)1 (и) — А у у'(х,А)(/2)1 (х)^х = 0 0 0

а

0

а

а

а

0

0

0

а

а

0

0

а

0

а

0

а

а

а

a

= Ау(ст, А)(/2)1 И - А У у'(х, A)d(f2)2(x) = Ay(a, A)(/)i(a) - Ay'(a, A)(/2bИ+

0

a a

+A^ y'' (x,A)(/2 )2(x)dx = Ay(a, A)(/2 )i(a) - Ay' (a, A)(/2)2 (a) + A ^ y''(x, A)d(/2)3(x) = ••• = 00 = Ay(a, A)(/2) 1 (a) - Ay'(a, A)(/2)2(a) + V'(a, A)(/2)3(a) +-------+ A(-l)m-3y(m-3)(a, A)(/2)m-2(a) +

+A(-1)m 2 y y(m 2) (x, A)(/2)m-2(x)dx; 0

и так далее. Для (т — 1)-го слагаемого в (10) получим

a a

km — 2 I \\ £ ( „л \m—2

Am / y(x, A)/m —i (x)dx = Am / y(x, A)d(/m-l)i (x) =

= Am y(a, A)(/m-i)i(a) - Am J y'(x,A)(/m—i)i(x)dx.

0

Подставив найденные формулы в (10), будем иметь

m —i m — k

і k —i

0 = E Ak—i V (-1)j-iy(j—1) (a,A)(/k)j(a) + / Y'Ak—i(-1)m—ky<m—k»(x,A)(/k)m—k(x)dx

k=i j=i

k=i

Из этого равенства в силу условия (6) УЛ е С получим соотношения

а

Р т

0= / ^Лк-1( —1)т-к У(т-к) (ж, Л)(/к )т-к (х)^х. (11)

0 к=1

п

Так как у(т-к)(х, Л) = Лт-к ^ а.еЛ^5х^т-к, то, используя обозначение (9), из (11) получим

s=i

0 =

J-Ak —i (-1)m —k Am —k ase^s x< —k (/k)m —k (x)dx =

k=i

^ U/ ^

=i

Am—i £ / aseAWs(x)dx, A є C.

=i

Сделаем в интегралах замену переменных £ = <^.х. В результате будем иметь

(12)

n —i

0 = Am—i I ^ ^eAxF

=i

0

-еЛх F-

0

dx .

Считаем, что Л = 0. Разделим обе части последнего равенства на Лт , получим

п —1 5

или

или

0 = £ у -7eAxdx + / eA*Fn ( -- ) dx,

s=i 0 - —i аш,

0 = £/ £e-F.fiU +

s=i

— а|шп 1

а- ЛХ ^ / x I 7

і—1 e F- —----------1 dx,

І--1 V I-- L

0= J F(x)eAxdx, V A є C\{0},

— а|шп 1

(13)

a

0

0

a

a

0

a

0

a

0

ашп— 1

где

Р (х) = <

|шп 1

п-1

V 51 Р I —

в=1

п-1

^ Шз Р

в=2

п-1

£

.=п-2

«1 р, Х_

Ш5 . V Шз

п-1

п.в. х е [—а|шп|, 0], п.в. х е [0, а^1],

п.в. х е (аш].,аш2],

п.в. х е (а^п—з, а^п—2], п.в. х е (а^п—2, а^п—1 ].

(14)

Очевидно, из (13) следует, что Р(х) = 0 для почти всех х е [—а|шп|,ао>п—1 ], а это с учетом (14) эквивалентно (8). Нетрудно заметить, что проведенные рассуждения в предположении (5)-(6) обратимы, а именно из (8) вытекает (13), а затем (12). Из (12) следует (10) на основании (6). А (10) равносильно (7). Таким образом, достаточность условия (8) доказана, а следовательно, и теорема 3 доказана.

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1

Запишем (8) подробнее:

а„ 77

К|

«1 Р

X |шп 1

= 0,

+ «2 Р2

Ш2 2

«2 Р2

Ш2 2

+ ••• +

+ ••• +

-Рп —1

ап — 1 77

Ш---------Г рп —1

шп — 1

X

п.в. х е [0, а|шп|],

= 0, п.в. х е [0, аш ],

= 0, п.в. х е (аш, аш2],

(15)

1 Рп—^«п—г) =0, п.в. х е (а^п—2, а^п—1 ].

Пусть т = п, а > 0 — любое фиксированное число и Л7- е Сп 1 [0,а], 3 = 1,п — произвольные

функции, такие что Лп(х) =0, х е [0,а], и

(а) = Л7(а) = ••• = Лп (а)=0,

(16)

Лп — 1

Шп —1

=

п—2 /

— ^ш-

.7 = 1 4

п—2 ✓

— ^ мш-

7=2 4 -

х е [0, аш ], х е (а^1, аш2],

— Лп—2

(шх—;), х е (ашп—з,а^п—2]

0,

х е (а^п—2, а^п—1 ].

Очевидно, множество функций Л = (Л1(х),..., Лп(х))т, обладающих указанными свойствами, является бесконечномерным подпространством в Р2[0,а].

Положим

/, ? .

(17)

Р.(х) = — Л.(х), х е [0, а], 8 = 1,п.

ав

Функции Р.(х) удовлетворяют соотношениям (8).

Подставив (17) в левые части формул (9), получим для нахождения функций (/1)п—1 (х), (/2)п—2(х), .. ., (/п—1)1 (х), /п(х) систему из п уравнений.

£

к=1

(—Ш.)п (/к )п —к (х) = Л.(х), 8 = 1,п.

ав

(18)

а

X

Ш

X

Шп —1

Шп —1

ап— 1

X

Ш1

шп— 1

Ш

х

При фиксированном x G [0, а] система (18) является системой линейных алгебраических уравнений с определителем Вандермонда от попарно различных чисел —о>1, —<^2, • • •, —<^п, который не зависит от x и отличен от нуля.

П ____

Из (18) имеем (/k)n-k(x) = ckshs(x), k = 1,n, отсюда, так как hn(x) = 0, получим

s=1

п-1

(/k ) n—k (x) = ctsh,(x), k = l, n,

(19)

s = 1

где е&в — числовые коэффициенты, определяемые однозначно из системы (18).

Дифференцируя к-е соотношение в (19) п — к раз и полагая х = а, получим с учетом (16)

п —1

(fk)j (а) = ckshSn k j) (а) = 0, j = 1,n — k, k = 1/

s=1

п—1

ffc(x) = CfcshSn k) (x), k = 1,n.

s=1

Отсюда следует, что функции /к(х) удовлетворяют свойствам (5)-(6) теоремы 3 в случае т = п. Тогда по этой теореме с учетом того, что функции Р,(х), определяемые формулами (17), удовлетворяют соотношениям (8), семейство функций / = (/,/2,...,/п)т ортогонально семейству функций (у(х, Л), Ау(х, А),..., Ап-1у(х, А))т при любом А е С. По построению семейство функций /, обладающих этим свойством, образует бесконечномерное подпространство в Ь2[0, а]. Таким образом, теорема 1 доказана.

4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2

Зафиксируем т е {3,4, ...,п — 1}. Для доказательства теоремы 2 будем использовать функциональное соотношение (8), полученное в теореме 3. Построим функции /1 (х),/2(х),...,/т(х), для которых выполняются условия (5) и (6), а функции Рв(х),5 = 1,п, строящиеся по формулам (9), удовлетворяют соотношениям (8).

Подставим (9) в (8):

тёПт Е(—1)m—'Ч"-'1 (/k)m-k (га) = 0,

an \sn \

n —1

k=1

1.в. x G [0, а|^п|],

\m — k. ,m — k /

E g: E (—1)m—k^r—k(/k)m—k (¿;) = 0. п.в. x G [0,аил ],

s=1 k=1 / '

n—1 m / \

E a- E (—1)m—k^m—k(/k)m—k (¿4 =0, п.в. x G (аил ,аи*],

s=2 k = 1 V '

—1 m

E ^ E (—1)m—k^"—k (/k )m—fc(sr) =0, п-в- x G (аШп—3,аШп—2],

=n—2 s k=1 V s J

" / \

E (—1)m —k ^"——1k (/k — =0, п.в. x G (аШп—2, аШп — 1 ]•

U—1 \ n 1/

s=n—2 k

— 1

(20)

k=1

Рассмотрим первое уравнение в (20), сделаем замену переменных т-^т = Ь и разделим на -р^т.

|—п | |—- I

Получим

£(—1)m—k<-k (/k )m—k (x) =0, x G [0,а].

\sn\

(21)

k=1

Зададим произвольные г, I е 1,т, г = I. Для к = г и к = I выберем (/к)т-к(х) произвольно, так что /к е Ст[0, а] и

(/к ).? (а) = 0, (/ ^ (а) = 0, к, ^ = 1,т, к = г, к = I.

Выразим (/г)т—г из соотношения (21) через (/)т-1 и остальные т — 2 функции (/к)т—к, которые т раз непрерывно дифференцируемы. Функцию (/)т-1 считаем пока не заданной. Получим

т

(/г)т-г(ж) = ^ (—1)г+1—кк(/к)т-к(ж) + (— 1)г+1—1 1 (/)т-г(х), ж Є [0, а]. (22)

к=1 к = г,1

Обозначим (/¿)т-1(х) = р(ж). Тогда из (22) видно, что если р(ж) такова, что р(ж) Є Ст[0, а], р(а) = (а) = ••• = р(т)(а) = 0, тогда и (/г)т—г(ж) будет, по крайней мере, из Ст—г[0,а] и

(/г)7(а) = 0, І = 1,т — г.

Перепишем (за исключением первого) соотношения в (20) с учетом (22) таким образом, чтобы слева остались только слагаемые с функцией р. Будем иметь последовательно:

п —1 т / ч п—1

Е 5і Е (—и,)т_к (/к)т—к Ш — Е 5*- (—и.)’"_г:

^ Е (—“п)г к(/к)т—к (¿Х;) + (—“п)г 1 ¡37^ = 0, п.в. ж Є [0,а^1]

к = г,1

т

Е (—ип —1 )т—к(/к)т-к (¡Хг) — ап-т(—“п—1 Г-X

к = г

£ (—“п)г к(/к)т—к (¿п-!) + (—“п)г 1 Р ) = 0, п.в. ж Є (а“п-2,а“п-1];

к = г,1

п-1 п-1

Е 5г(—“.)т—'И ¿) — Е аг(—“«Г'И 57) (—и,)’

в=1 в=1

п—1 т / \ п—1

а, Е, ..,)т —к (/к )т_к(-М + Е ( — “, )т —Г

\т—г

п—1 т п—1

= — Е ^ Е (—и,)т —к (/к )т—к (¿Н + Е ^ (—“,)?

Я = 1 к=1 4 ' Я=1

к = г,1

т / \

X Е (—1)г+1_ки;;_к(/к)т—к 5; ,

к = т V 7 /

к = 1 к = г,1

т

Е (—ип —1)т —к (/к)т—+ аП-7 (— “п — 1)т_Гх

к=1 к = г,1

т

Х Е (—“п)г —к (/к)т — к ( 5

к=1 \ ^ 1/

к=1 к = г,1

п.в. ж Є [0, аи1 ],

(—“п—1)т 1 р — ^п-Г(—“п)г V (¡п-7) (—“п—1)

і.в. ж Є (а“п—2, а“п—1];

п-1 / \

е «,ит_1 (—іг_‘(и—1—иг и—гы57)

я=1 ' '

п-1

= — Е ¿М Е (—и,)т (/к)т — к (¿4 —

в=1 7 \ к = 1 \ 7 /

к = г,1

— Е (—и,)т—г(—Шп)г_к(/к)т—к (¿7)) , п.в. ж Є [0,аи1],

к = г,1

ап —1 ит_1^( — 1)т 1 (ип-1 — ип 1 “п-1)р ( ¿\-7

= — ¿7-1 ( Е (—“п —1)т_к (/к)т ——

к= г,1

— Е (—“п—1 )т—г(—“п)г—к(/к)т—к (¿п-і)) , п.в. ж Є (аип—2, аи„_ 1 ].

к = г,1

(23)

X

ап- 1

X

ап- 1

т—г

¿п- 1

ап-1

¿п-1

Обозначим

“п — 1

=

п-1

— £ ¿М £ (—“,)т (/к)т — к (¿М —

.=1 7 к=1 7

к = г,1

— Е (—“,)т—г(—“п)г—к(/к)т—^¿¡7)) , п.в. ж Є [0, а“1 ],

к = г,1

( Е (—“п —1 )т_к(/к)т_к (¿П^)

к = г,1

— Е (—“п — 1 )т г (—“п )г к (/к )т — ^¿7-1)^ , п.в. ж Є (а“п — 2,а“п — 1].

к = г,1

Ясно, что Л,(х) е Ст[0,а] и Л,(а) = Л/(а) = ■ ■ ■ = Л<(т)(а) = 0. При этом соотношения (23) будут иметь вид

п 1

£ а,ит—1 (—1)т—1 (“_ 1 — “Г

Я=1

^ ( ¿7)=К ¿7-1) , п.в.ж є [0, а“1 ]>

,ап — 1 “т_ 11( —1)т 1 (“п -1 — ип 1 “п -1 (¿Х-г) = Н (¿Х-г) , п.в. ж Є (а“п — 2, аип —1].

Далее, имеем

“п 1

(—1)1

т—1/ —і г—I —г \

5 7 1 ¿п-1 (¿7-1 _¿7 ¿7- 1)

п 2

— е«. ит_1 (—1)т—' (и——иг—'и_г )р .=1

(¿7)), п.в. ж Є [0,а“1],

(—1)1

а7 —1 ¿т—1 (¿ —1 1 —¿7-гш-г Л \,ш7-1 1 ’

71 7- 1 V 7-1 7 7-1/ V /

п.в. ж Є (а“п—2,а“п—1].

Пусть Н(ж) =

(—1)1-т

а п-1 ш т-11 (¿ —1 1 — ш Г-1 ¿ —г 1) -1 -1 -1 -1

Н(ж). Делая замену переменных ж = ип _ 1 £, будем иметь:

р(ж) = Вр(ж) + Н(ж), ж Є [0,а],

(24)

где

(ВД(ж) =

п 2 V* а3

— \ ОТТ-Й = 1

п 2

— Е

.=2

т 1

т 1

(¿—1 — ц Г-гщ.-г) Г-г<— 1)

г-

і , . - г \

/ -і V 7-1

(^ 1 _ С

V 7-1

ж) , п.в. ж Є [0, а

У у |_ ^ 7-1 J

0,

¿7 - 1 ¿7-1

п.в. ж Є а

Считая В Є [0, а] ^ ^2™ [0, а], оценим норму этого оператора. Введем в рассмотрение

следующие функции:

Ф,(ж) =

т 1

(¿ —1 — ¿г

/ — і -1

0,

(¿¿гж), ж Є /0, а]

ж Є а

,а

Очевидно,

1|вр||

^2т—1[0,а]

п 2 .=1

. ІІЖ

т-1

п 2

[0,»] ^ Е уф

Я=1

. ІІЖ2т—1 [0,»] ■

(25)

ж

Н

7 — 1

Х

ж

Р

Х

ж

'Л

и 7 — 2

а.

а

р

1)

Таким образом,

ж

[0,а]

т — 1 £

к=0

2

¿2[0,ст]

т 1

Е

к=0

а« 2 2(т _1) (ч_ 1 - чп_ 1 ч _ г)2

ап 1 чп — 1 «і 1 - чп_ 1 чг: 1 )2

чп — 1

2к

,(*)

чп — 1

¿X =

ап — 1

(ч—1 - чг_ 1 ч—г ) 2

(ч—11 - чг гч_: 1) чп — 1

<

а« 2 (ч_ 1 - чГ_ Ч_ г) 2

а 1 / 1 г 1 г \ (Ш п — 1 - 4 п Шп — 1 ) чп — 1

2т 2 т 1

Е

к=0

2т 2 т 1

Е

к=0

чп — 1 4«

чп — 1

2к

р(к) (х)

0

2к

<

а« 2 (ш_ ' - ч,г," 1 г) 2 2т 2 чп — 1

а 1 (ч—1! - Ш,г,_ ‘ч—:!) чп — 1

2т 2

1МЬ) У

¿X <

<

¿2 [0,а] <

'ж

2

[0,а]’

или

|ф

Следовательно,

«п ж

то-1[0,а] <

ап — 1

ПЭД1

(^- 1 - чп_Ч_ г)

__1 г__1 __г \

Шп — 1 - Шп ^п — 1 )

п 2

ж™-1 [0,а] < £ И^иж

їжт

т-1 [0,а] <

в=1

[0,а]'

п 2

<

в=1

ап — 1

(ч—1 - <_1 ч—г)

__1 г__1 __г \

Шп — 1 - ^п Шп _ 1)

ІЖ™-1 [0,а] = Ь(1, г)1М1ж2то-1[0,а],

где

п 2

ь(1,г) = £

в=1

ап — 1

(ч— 1 - <_ Ч" г)

(чТ-1 - шп_‘ шС 1)

Так как г и I являются параметрами, тогда если

2

2

0

а

2

2

а

3

2

2

а

5

а

в

а

в

шт 6(1, г) = шш_

г,1=1 ,т г=1

г,1=1 ,т г=1

п 2

Е

в=1

ап 1

, . — 1 , . — г —1

- Шп

Шп -1 - 4 Г

п 1

г—1 чп

< 1,

а

то уравнение (24) имеет при любой функции Л,(х) единственное решение р е - 1[0,а]. Тем самым

в этом случае требуемые функции /1 (х),..., /т(х) построены.

Таким образом, множество вектор-функций / = (/1,/2,...,/т)Т образует бесконечномерное подпространство в ¿т[0,а] и по теореме 3 ортогонально семейству функций из Уе в этом пространстве. Следовательно, теорема 2 полностью доказана.

Библиографический список

1. Рыхлов В.С. О кратной неполноте собственных функций пучков обыкновенных диференциальных операторов // Математика. Механика: Сб. науч.тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 114-117.

2. Рыхлов В.С. О кратной неполноте собственных функций пучков дифференциальных операторов, корни характеристического уравнения которых лежат на одном луче // Докл. РАЕН. 2004. № 4. С. 72-79.

3. Голубь А.В., Кутепов В.А., Рыхлов В.С. Кратная неполнота собственных функций пучков дифференци-

альных операторов, корни характеристического уравнения которых лежат на одном луче. Деп. в ВИНИТИ 05.08.04. № 1353-В2004. Саратов, 2004. 24 с.

4. Рыхлов В.С., Шигаева О.В. Об п-кратной неполноте системы собственных функций одного класса пучков дифференциальных операторов // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 14-й Сарат. зимн. школы. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 2008. С. 162.

5. Рыхлов В.С., Шигаева О.В. Теорема о кратной неполноте комбинации экспонент с показателями, ле-

жащими на одной прямой, и ее применение к пучкам дифференциальных операторов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 69-72.

УДК 517.984

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА ГРАФЕ-КУСТЕ

В.А. Юрко

Саратовский государственный университет, кафедра вычислительной математики и математической физики E-mail: YurkoVA@info.sgu.ru

Исследуется обратная спектральная задача для операторов Штурма - Лиувилля на произвольном графе с циклом. Приведена конструктивная процедура решения и установлена его единственность.

Ключевые слова: операторы Штурма - Лиувилля, пространственные сети, обратные спектральные задачи.

6. Рыхлов В.С. О полноте собственных функций одного класса дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 2009. № 6. С. 42-53.

Recovering Differential Operators on a Bush-Type Graph V.A. Yurko

Saratov State University,

Chair of Mathematical Physics and Numerical Analysis E-mail: YurkoVA@info.sgu.ru

An inverse spectral problem is studied for Sturm - Liouville operators on arbitrary graphs with a cycle. A constructive procedure for the solution is provided and the uniquenness is established.

Key words: Sturm - Liouville operators, spatial networks, inverse spectral problems.

ВВЕДЕНИЕ

Исследуется обратная задача спектрального анализа для дифференциальных операторов Штурма - Лиувилля на так называемом графе-кусте, т.е. на произвольном графе с циклом. Обратные спектральные задачи состоят в восстановлении коэффициентов операторов по их спектральным характеристикам. Основные результаты по обратным спектральным задачам на интервале представлены в [1]. Обратные задачи на графах являются более трудными, и в настоящее время есть только несколько работ в этой области. В частности, обратные задачи восстановления коэффициентов дифференциальных операторов на произвольного вида деревьях (т.е. на графах без циклов) исследовались в работах [2-6] и других. Обратные задачи на графах с циклом изучались в работах [7-9], но только для весьма частных случаев. В данной статье рассматриваются более общие графы, чем в работах [7-9], а именно произвольные графы с циклом. Для этого класса графов дается постановка и решение обратной задачи спектрального анализа. Доказана соответствующая теорема единственности и получена конструктивная процедура построения решения этого класса обратных задач.

Рассмотрим компактный граф Є в И1 (I > 2) с множеством ребер Е = {е0,..., ег} и множеством вершин Ш = Vи и, где V = {^1,..., уг}, и = {и1,..., }. Граф имеет вид Є = е0 иТ, где е0 — цикл,

Є е0, і = 1, N Уу / е0, і = 1, г, Т П е0 = и, Т = Т и ... и Тт, Ту — дерево с корнем из множества и и с одним корневым ребром из Е. Множество Т состоит из N групп деревьев: Т = ^1 и ... и , П е0 = и, т.е. все деревья из имеют общий корень иг. Пусть шг — число деревьев в блоке фг; т.е. ш1 + ■ ■ ■ + = ш. Обозначим з0 = 1, = ш1 + ■ ■ ■ + шг, і = 1, N. Тогда

«г «г

фг = У Ту, , Р| Ту = И*, І = 1,Ж.

.7=«г-1 +1 у=«г-1+1

Зафиксируем і = 1,Ж, і = 1,ш и рассмотрим дерево Ту Є . Для двух точек а, Ь Є Ту будем писать а < Ь, если а лежит на единственном простом пути, соединяющем корень с Ь. Будем писать а < Ь, если а < Ь и а = Ь. Отношение < определяет частичную упорядоченность на Ту. Если а < Ь, то обозначим [а, Ь] := {г Є Ту : а < г < Ь}. В частности, если е = [у, ад] — ребро, то мы будем называть у его начальной точкой, ад — его конечной точкой, и будем говорить, что е выходит из у и заканчивается

© В.А. Юрко, 2009

59