Формосохраняющие линейные поперечники единичных шаров в с[0,1] Текст научной статьи по специальности «Математика»

сетей массового обслуживания с управлением маршрутизацией // АиТ. 2000. № 6. С. 104-113.

4. Митрофанов Ю.И. Метод управления маршрутизацией в замкнутых сетях массового обслуживания // ТиСУ. 2002. № 6. С. 86-92.

5. Rumsewicz M, Henderson W. Insensitivity with age-dependent routing // Adv. Appl. Prob. 1984. V. 21, № 2. P. 398-408.

6. Miyazawa M. Structure-reversibility and departure functions of queueing networks with batch movements and state dependent routing // Queueing Networks. 1997. № 25. P. 45-75.

7. Daskalaki S., Smith J.M. Real-time routing in finite queueing networks // Queueing Network Blocking: Proc.

1-st Int. Workshop, Raleigh, N.C., 1988. P. 313-324.

8. Towsley D. Queuing network models with state-dependent routing // J. of ACM. 198O. V. 27, № 2. P. 323-337.

9. Krzesinski A.E. Multiclass queueing networks with state-dependent routing // Performance Evaluations. 1987. V. 7. № 2. P. 12Б-143.

10. Baskett F, Chandy K.M., Muntz R.R., Palacios F.G. Open, closed, and mixed networks of queues with different classes of customers // J. Assoc. Comput. Mach. 197Б. V. 22. P. 248-260.

11. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988.

УДК 517.518.85

ФОРМОСОХРАНЯЮЩИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПОПЕРЕЧНИКИ ЕДИНИЧНЫХ ШАРОВ В C[0,1]

С.П. Сидоров

Саратовский государственный университет, Shape-Preserving Linear n-width of Unit Balls in C[0,1]

кафедра математической экономики

E-mail: SidorovSP@info.sgu.ru S.P. Sidorov

Пусть De, k -- натуральное или ноль, означает оператор Let De, k is a natural number or zero, be the k-th differential

дифференцирования порядка k, определенный в Cе(X), operator, defined in Cе(X), X = [0,1], and let C be

X = [0,1], и пусть C -- конус в Cе(X). Определим ли- a cone in Cе(X). Let us denote 5k(a,C)c(x) :=

нейный относительный n-поперечник множества A с Cе(X) := jnf sup ц^еf — DeLnf ||C(x) linear relative

в C(X) для De с ограничением C следующим образом: (c)cCfeA

5k(A, C)C(X):= inf sup ||Def-DeL„f ||C(x)-В на- n-width of set A с Cе(X) in C(X) for De with constraint

Ln(C)cCfeA C. In this paper we estimate linear relative n-width of some balls

стоящей статье находятся оценки линейных относительных n- in c(x) for De with constraint C = {f € Cе (X) - De f > 0}

поперечников шаров в C(X) для De с ограничением C = _

{f € Cе(X): Def > 0}.

ВВЕДЕНИЕ

Для многих прикладных задач теории приближений зачастую необходимо не просто аппроксимировать некоторую функцию, а приблизить ее с сохранением некоторых ее свойств, связанных с формой функции (положительность, монотонность, выпуклость и т.п.).

Интерес к данной проблематике впервые возник в конце 60-х годов, когда появились работы

О. Шиша [1], Г.Г. Лоренца и К.Л. Целлера [2]. Они дали толчок работам Р. ДеВора по монотонному приближению и работам А. С. Шведова [3], Д. Ньюмана [4], Р. Битсона и Д. Левиатана [5] по комонотонной аппроксимации в 70 и 80-е годы.

Пусть F — линейное нормированное пространство, A и C есть непустые подмножества F. Тогда относительным n-поперечником по Колмогорову множества A в F с ограничением C называется величина dn(A, C)F = infFn E(A, Fn П C) = infFn supfinfgeFnnC ||/ — g\\F, где левый инфимум ищется среди всех n-мерных линейных многообразий Fn пространства F, таких, что Fn ПC = 0. Если C = F, то dn(A)F = dn(A, F)F есть n-поперечник по Колмогорову множества A в F [6].

Впервые понятие относительного поперечника было введено В. Н. Коноваловым в 1984 году [7]. Оценки величин dn(A, C)f получены для некоторых конкретных A, C и F в работе [8].

Пусть L есть некоторый линейный оператор, определенный в F, со значениями в F и C — некоторый конус в F, C = 0. Будем говорить, что оператор обладает свойством формосохранения относительно конуса C, если L(C) С C.

Пусть F — линейное нормированное пространство и A С F, C С F. Линейный оператор Ln, отображающий F в линейное пространство конечной размерности n, называется оператором конечного ранга n.

Линейным относительным n-поперечником множества A в F с ограничением C назовем величину <5n(A, C)F = infLn(C)cc supf|/ — Ln/||F, где инфимум ищется среди всех непрерывных линейных

© С.П. Сидоров, 2GG7

33

операторов Ln : F ^ F конечного ранга n таких, что Ln(C) С C. Если C = F, то <5n(A)F = 5n(A, F)F есть линейный n-поперечник, по Колмогорову, множества A в F [9].

Зная величину линейного относительного поперечника 5n(A, C)f, можно судить о том, насколько хорош или плох (в смысле оптимальности) тот или иной конечномерный метод Ln, обладающий свойством формосохранения Ln (C) С C.

Пусть Ck(X), k ^ 0, есть пространство действительно значных и k-раз непрерывно дифференцируемых функций на X = [0,1], означает оператор дифференцирования i-го порядка, a = (a*)^о

— последовательность с a* е {—1,0,1}, и h, k — два целых числа таких, что 0 < h < k и ah ■ ak =0.

Следуя [10], рассмотрим конуса функций Ch,k(a), производные некоторых порядков которых имеют фиксированный знак на X: Ch,k(a) := {/ е Ck(X) : a* ■ / > 0, i = h,..., k}.

Определим линейный относительный n-поперечник множества A С Ck (X) в C(X) для с ограничением C следующим образом: ^(A, C)c(X) := infLn (c)cc suPfел ||Dk/ — DLn/\\c(X), где инфимум ищется среди всех непрерывных линейных операторов Ln : Ck(X) ^ Ck(X) конечного ранга n, таких, что Ln(C) С C. Если k = 0, то D0 есть тождественный оператор, D0 = I, и 5°(A, C)c(X) есть линейный относительный n-поперечник множества A С C(X) в C(X) с ограничением C.

В настоящей статье находятся оценки линейных относительных n-поперечников шаров в C(X) для с ограничением Ck,k(a).

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Обозначим B(X) — пространство действительных ограниченных функций с нормой

||/\\b(X) = suP |/(x)|.

хех

Лемма 1. Пусть Ф : Ck (X) ^ R есть линейный функционал, обладающий свойством: Ф(/) > 0 для всякой / е Ck (X), такой, что / > 0. Пусть < ■, ■ >: Ck (X) х Ck (X) ^ R есть бифункционал, порожденный функционалом Ф следующим образом: для произвольных /, g е Ck (X) полагаем

< /, g >= Ф(Л) где h е Ck(X), таково, что h = /Dkg и h(0) =0, i = 0,1,..., k — 1. Тогда

| </,g> |< [</,/>]2[< g,g >]2, /, g е Ck(X). (1)

Доказательство. Из линейности функционала Ф следует, что бифункционал < ■, ■ > обладает

свойством билинейности. Очевидно, что < /, g >=< g, / > и < /, / >> 0, /, g е Ck(X). Значит,

< ■, ■ > есть скалярное произведение.

Имеем 0 << / + cg, / + cg >=< /, / > +2c < /, g > +c2 < g, g > для всех c е R, /, g е Ck(X). Если взять c = — < /, g >< g,g >-1, то получим (??). □

Положим gx = (k+2)j ek+2 — (k + 1)!xek+1 + klfx2ek. Справедливо следующее утверждение [11].

Лемма 2. Пусть Ln : Ck (X) ^ Ck (X) — линейный оператор конечного ранга n, n > k + 2,

такой, что Lnek = ek и

Ln (Ck,k (a)) С Ck,k (a). (2)

Тогда

sup |DLngx (x)| > . (3)

xeX 4n2

Следующий пример [11]показывает, что оценку (??) невозможно улучшить.

Лемма 3. Пусть k,n е N, n>k + 2 и Ak,n : Ck (X) ^ Ck (X) есть линейный оператор, определенный следующим образом:

‘ е1 А х1 (в* / (о)+(fc+(-i))j‘;r--i')k-./ (°))+

+ (k+1)j(n-1)k [((n — 1)x)k+1 D/(n-) +

+ (—1)k(1 — (n — 1)x)k+1Dk/(0)] ,

Afc,n/(x) = <

если x е [0, n—1 ],

k-1 _ (4)

1=0 1 (x — n-1)* (D W(n-T) + (Ь+ЦС-V' D/(n-10 +

+ (°k+1)j(„-1)k [((n — 1)x — i)k+1Dk/(S)+

+(—1)k (i + 1 — (n — 1)x)k+1 / (n-1)],

если x е (—, ■i+11 ], i = 1, 2, ...,n — 2.

n-1 n-1

Тогда: 1) ^к Лк,пе^ = ^к е^-, і = 0,1, ...,к + 1; 2) 3) Лк,п(Ск,к(а)) С Ск,к(а).

Таким образом,

(к+2)!

ОкЛк,пек+2 — ^кек+2 II =

4(п —1)2 ’

(5)

где инфимум ищется среди всех линейных операторов Ьп : Ск(X) ^ Вк(X) конечного ранга п, таких, что (Ск,к(а)) С Ск,к(а) и £ке* = £ке*, і = 0,1,..., к + 1.

В следующей лемме мы отказываемся от условия ДкЬп ек = £к ек.

Лемма 4. Пусть Ьп : Ск (X) ^ Ск (X) — линейный оператор конечного ранга п, п > к + 2, такой, что

(6)

Ьп (Ск,к (а)) С Ск,к (а).

Тогда

2 2 Х“Н (к+2)! ек+2(ж) - вЧ+2 (х)| + (к+1)!

+-1|ВкЬ„еА.(х) - ек(х)|) > 1

к!

4п2

^к Ьпек+1(х) — ^к ек+1(х)| +

1 — Л

(7)

Доказательство. Используя идеи [12],покажем, что

эир |^кЬп9х(х)| > 4^ ( 1 — П_

(8)

Существует [11]функция Н Є Ск(X), ДкН Є Ьір2п 1, ||^кН||с(Х) = 1,

такая, что

|£кЬпН — £кН||в(х) > 1.

(9)

Для х Є X имеем

|£к Ьп Н(х) — £к Н(х)| =

£к Ьп Н(х) — ^к Н(х) к1! £к Ьпек (х) + ^к Н(х) ку £к ^к (х) — £к Н(х) ку £к ек (х)

-

-

Я*£п( Н — £кН(х)к1!ек) (х)

+ ку |£к Н(х)||£к Ьпек (х) — £к ек (х)|.

(10)

Пусть рх Є Ск(X) такова, что ^крх = |^к (Н — ^кН(х)кітек) | , ^грх(0) = 0, і = 0,1,..., к — 1.

Имеем ^к(Н — ^кН(х)кек) - £кр* и ^к(—(Н — ^кН(х)кек)) - £кр*.

Значит,

£к£п(Н — ^Н(х)куек)(х) - £к£прж (х)

—^Ьп(Н — ^Н(ж)куек)(х) - £к£прж(х).

Из (??) и (??) получаем

(11)

(12)

£кЬп (Н — ^кН(х)-е^ (х)

- £кЬпРх (х).

(13)

Пусть Є Ск(X) такова, что ^к(£) = |£ — х| и (0) =0, і = 0,1,..., к — 1.

Имеем

£к Р*(*) =

£к ^Н(і) — £кН(х)к£к^

= |^кН(£) — ВкН(х)| - 2п|£ — х| = 2п^к(£).

Значит, Дк(2пдх — рх) > 0, и, следовательно, ^кЬп(2пдх — рх)(х) > 0, и

£кЬпРх(х) - 2п£кЬп^х(х).

(14)

2

1

п

и

Известия Саратовского университета. 2007. Т.7. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1 Из леммы ?? следует, что

DkLnqx(x) < [DkLngx(x)]2

ку Dk Lnek (x)

< [DkLngx(x)]2

1 + -у |DkLnek(x) - Dkek(x)|

(15)

Имеем

22

£к Ьп9х(х) = (к + 2)у(Вк Ьп ек+2 — £к ек+2)(х) — + х(£к Ьпек+1 — £к ек+1 )(х)+

1 2 2 1 +-ух2(£кЬпек — £кек)(х) + (к + 2)у^кек+2(х) — (к + 1)ух£кек+1 (х) + -ух2£кек(х) -2 | | 2 | |

- (к + 2)у 1^к Ьпек+2 (х) — ^к ек+2 (х) 1 + (к + 1)у |^к ^п ек + 1 (х) — ^к ек+1 (х) 1 +

+к |^кЬпек(х) — £кек(х)|. (16)

Рассмотрим случай к ||£кЬпео — £кео||с(х) - ^.

Тогда из (??), (??), (??), (??) следует

2

1 - -у ||DkLnek - Dkek||C (X) < 2n(^sux DkLngx(x)J * (1 + 4^) . (17)

Так как обе части неравенства положительны, имеем

-к- )2

4п2 ) ^ л ^2 пк

(1 - — )2

4nl2— < 4n2 sup DkLngx(x).

1+

4n2 xGX

Так как при n > 2

(1 - 4b)2 > 1 — 1

1 + 4n2

1

получаем (??). Тогда из (??) следует (??). Если же к||^к£пв0 — ^кво||С(х) > 4П2, то (??) тем более

выполняется. □

2. ОЦЕНКА ЛИНЕЙНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПОПЕРЕЧНИКОВ

Пусть к — натуральное или равное нулю число. Обозначим

к

Рк = ^ Р = агвг : аг е К, г = 0,1,..., к > ,

I г=0 )

множество всех алгебраических полиномов степени не выше к, и пусть

РС = | Р = аГ вг : |аг | < 1, г = 0,1,..., к! .

I г=0 )

Пусть т е N и {0}. Обозначим В(т) (X) := {/ е С(т)(X) : ||^т/||С(Х) < 1}.

Теорема 1. Справедлива следующая оценка линейного относительного поперечника множества Рк+2 П В(к+2) (X) в С(X) для ^к с ограничением Ск,к(а)

1 . ?к -к,2^ .Л 1

< Ц (Pk+'2 П Bik+2»(X),Ck.kМ) C(X) < 4(k + 2)!(n - 1)2' (18)

4(k + 2)!n2 “ ~n 1 л ^Cix) - 4(k + 2)!(n - 1)2

Доказательство. Пусть k Є N, 0 < m < k + 2, c Є R, c> 0. Обозначим

Rk+3(c) := {a = (ao,... ,ak+2) Є Rk+3 : |am| < c}.

Обозначим Ьп,к как множество всех линейных операторов Ьп : Ск(X) ^ Вк(X) конечного ранга п таких, что Ьп(Ск,к(а)) С Ск,к(а), Ьп к — множество всех линейных операторов Ьп : Ск(X) ^ Вк(X) конечного ранга п таких, что Ьп(Ск,к(а)) С Ск,к(а) и ДкЬпе* = ^ке*, і = 0,1,..., к + 1.

2

2

Имеем

^ (4+2 n B(k+2) (X),CM(а)) = inf sup ||Dkp - DkLnp|| =

V JC(X) Ln€Ln,k pGPfc+2nB(fe+2) (X)

= inf sup sup |Dkp(x) — DkLnp(x)| =

LneL„jfc pepfc+2nB(fe+2)(X) xeX

= inf sup sup

Ln£Ln,k xCX aCR(k+2) ( і ) aCRk+2 ( (k +2)! )

k+2

(Dker (x) - DkL-er(x))

r=0

k+2

= inf sup sup 2_] |arl|Dker(x) — DkLner(x)| =

Ln CW,k xCX aCR(k+2) ( і ) „

aCRk+2 ((fc+2J7) r=0

1 inf sup |Dk ek+2 — Dk+2 L- ek+2 (x)|.

Заметим, что если Ln є L-, то

(k + 2)! LncLn,k xCX

то

|Dk ek+2 — Dk Ln ek+2 (x)| = Dk Ln gx (x),

где

2 2 1 2 gx = (k + 2)!ek+2 — (kTTjTxe‘+1 + ek•

Тогда из (??) получаем утверждение теоремы. □

Заметим, что если а0 = 1, то C0,0(а) есть конус неотрицательных непрерывных на X функций, и обозначим C+ := {f е C(X) : f > 0}.

Следствие 1. Справедлива следующая оценка линейного относительного поперечника множества P2 n B(2)(X) с ограничением C+

8П2 * (р2 n B(2)(X^C(X) * 807—1)2 • (19)

Теорема 2. Справедлива следующая оценка линейного относительного поперечника множества Pk+2 n B(k) (X) в C(X) для Dk с ограничением Ck,k(а)

(4+2 n B<k>(X), Ck,k(а))C(X) ж .1 • (20)

Доказательство. Заметим, что k+з4+ с Pk+2 n B(k)(X), и, следовательно,

inf sup ||.Dkp — DkLnp||c(X) > r inf SUP |DkP — DLnP||c(X) =

Ln£Ln,fc pgpfc+2nB(fe)(X) k + 3 Ln£Ln,fe p€Pk+2

inf sup sup |Dkp(x) — DkLnp(x)| =

n €L„- -

k + 3 LnCL„,k pGPfc*+2 xCX

k+2

k+2

1 inf sup sup |ar||Dker(x) — DkLner(x)| =

C ' ’ " ' r=0

k + 3 LneL„,k xCX |ar|<1,r=0,...,k+2

1 k+2

= —— inf supY' |Dker(x) — DkL-er(x)|. (21)

k + 3 Ln cLn,k xCX ri r=0

Утверждение теоремы следует из леммы ?? и свойств оператора Mn. □

Следствие 2. Справедлива следующая оценка линейного относительного поперечника множества Р2 П B(0)(X) с ограничением C+:

i-(P2 П B<°>(X),C+ )C(X) ~ ^. (22) где B<0> (X) := {/ є C(X) : У/||c(x) < 1}

Теорема 3. Справедлива следующая оценка линейного относительного поперечника множества В(к+2) (X) для ^к с ограничением Ск,к(а)

Л,(В<к+2»(Х),СМ(а))с(X) ~ • <23>

п2

Доказательство.

Так как Р,+2 П В(к+2)(Х) с В(к+2)(Х), то

Л„(Р,+2 п В(,+2)(Х),Ск,к(ст))с(х) = Л,(В(,+2)(Х),С,,к(<т))С(х)• (24)

С другой стороны, пусть / е В(к+2)(X). Тогда для £ е X имеем

/«)-| - «• + » - ■)•“.

где £ е X, ||^к+2/У < 1. Имеем

Бир |£к/(х) - £кЛ,,п/(х)| < 1

./У'"; О/ 1\2’

хех 8(п - 1)2

где Л,,п есть линейный оператор, определенный ??. □

Следствие 3. Справедлива следующая оценка линейного относительного поперечника множества В(2)^) с ограничением С+

Л„(В«(X),С+ )с(х) X п_• (25)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Известно [13], что для многих Р, А имеет место равенство Лп(А)х — йп(А)^, в частности

Лп (р, П В(0)(X)) — ^п (Рк П В(0)т) — 0, к — 0,1,..., п - 1,

V '/с (х) V /с(х)

Лп (>,пB(0)(X)) — йп (Р ПВ(0)(X)) —0, к — п,...

V '/с (х) V '/с (х)

Пусть Р есть линейное нормированное пространство и А с Р, С с Р. Тогда

Лп (А, С)р > йп(А, С)р,

то есть одним из методов оценки линейного относительного поперечника Лп(А, С)р снизу может служить вычисление соответствующего нелинейного относительного поперечника йп(А, С)р. Тем не менее величины Лп(А, С)р и йп(А, С)р не равны между собой даже для достаточно простых А и С в Р — С(X).

Действительно, из следствий ??, ?? следует справедливость соотношений

Лп (р, п В(0) (X),С+) с(х) — 0, к — 0,1; Лп (р, П В(0) (X),С+) ^(х) — 0, к — 2, 3,....

Пусть п > к и р е Рк П С+. Тогда

||р - д||с(х) — ||р - Л1с(х) — 0,

д6рпПО+

где д* — р. Значит,

йп (Рк П В(0) (X), С+) с(х) — 0, к — 0,1,..., п - 1; йп (Рк П В (0)(X ),С+) х) —0, к — п,п + 1,....

Таким образом, поведение относительных (линейных и нелинейных) поперечников значительно отличается от поведения поперечников по Колмогорову даже для конуса С+ и множества алгебраических многочленов с ограниченной в С(X) нормой.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 06-01-0003, 07-01-00167)

ПА. Терехин. Условия базисности систем сжатий и сдвигов функций в пространстве Lp[0,1]

Библиографический список

1. Shisha O. Monotone approximation // Pacific J. Math. 1965. V. 15, № 2. P. 667-671.

2. Lorentz G, Zeller K. Monotone approximation by algebraic polynomials // Trans. Amer. Soc. 1970. V. 149, № 1. P. 1-18.

3. Шведов А. Комонотонная полиномиальная аппроксимация функций // Докл. Акад. наук СССР. 1980. Т. 250, № 1. С. 39-42.

4. Newman D.J. Efficient comonotone approximation // J. Approx. Theory. 1979. V. 25. P. 189-192.

5. Beatson R.K., Leviatan D. On comonotone approximation // Canad. Math. Bull. 1983. V. 26. P. 220224.

6. Kolmogorov A.N. Uber die besste annaherung von funktionen einer gegeben funktionklassen // Ann. of Math. 1936. V. 37. P. 107-110.

7. Коновалов В.Н. Оценки диаметров типа Колмогорова для классов дифференцируемых периодических функций // Мат. заметки. 1984. V. 35. P. 369-380.

8. Konovalov V.N., Leviatan D. Shape-preserving widths

УДК 517.51

УСЛОВИЯ БАЗИСНОСТИ СИСТЕМ СЖАТИЙ И СДВИГОВ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Lp[0,1]

П.А. Терехин

Саратовский государственный университет, кафедра математического анализа E-mail: terekhinpa@info.sgu.ru

Рассматривается система сжатий и сдвигов функции (или семейство функций-всплесков на отрезке) в пространствах Лебега. Указан явный вид биортогонально сопряженной системы. Установлена теорема равносходимости биортогонального ряда по системе всплесков и ряда Фурье-Хаара.

of weighted Sobolev-type classes of positive, monotone and convex functions on finite interval // Constr. Approx. 2002. V. 19, № 1. P. 23-58.

9. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональном пространстве и теория наилучших приближений // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15, № 3. С. 81-120.

10. F.J. Munoz Delgado V. Ramirez-Gonzdlez D. C.-M. Qualitative Korovkin-type results on conservative approximation // J. of Approx. Theory. 1998. V. 98. P. 2358.

11. Sidorov S.P. On the order of approximation by linear shape preserving operators of finite rank // East J. on Approx. 2001. V. 7, № 1. P. 1-8.

12. Виденский В.С. Об одном точном неравенстве для линейных положительных операторов конечного ранга // Докл. АН ТаджССР. 1981. Т. 24, № 12. С. 715717.

13. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1976.

Basis Conditions for Systems of Translates and Dilates of Functions in Lp-Spaces

P.A. Terekhin

We consider a family of translates and dilates of function (or in other words family of wavelets on finite interval) in Lebesgue spaces. The explicit expressions for biorthogonal family are given. The theorem of equiconvergence for biorthogonal wavelets series and Fourier—Haar series is established.

Пусть p є [1, го) и функция ^(t), t є R, удовлетворяет условиям:

l

supp ф с [0,1], ф є Lp[0,1], j ^(t) dt = 0

0

Системой сжатий и сдвигов функции ф называется система функций

фо(£) = 1, фп(і) = ф^- (£) = 2к/2ф(2кг — і), где п = 2к + і, к > 0, 0 < і < 2к — 1. Для функции

х(г) Л 1 г є [°-1/2) х(г) 1 —і, г є [1/2,1),

система сжатий и сдвигов (%п}^=0 является системой Хаара. Известно, что система Хаара образует базис пространства [0,1], 1 < р < го. В данной работе решается следующая задача: найти условия на порождающую функцию ф, при выполнении которых система сжатий и сдвигов {фп}^=0 этой функции образует базис пространства £р[0,1], 1 < р < го.

Определим классы функций Фр(ф, Л), в терминах которых решается поставленная задача. Пусть 1 < р < го, Л = { Ак}'^=1 — последовательность неотрицательных чисел и ф є £р[0,1] — некоторая функция, система сжатий и сдвигов которой образует базис пространства [0,1] (например, функция

© П.А. Терехин, 2007

39