CC BY
13
2, Савина Т.Ф. Гомоморфизмы игр с отношениями предпочтения // Дискретная математика и ее приложения: материалы X Междунар, семинара, Москва, 1 6 февр, 2010 г, М,: Изд-во мех.-мат, фак, Моск. ун-та, 2010, С, 426-428,
УДК 517.518.85
С.П. Сидоров
ОЦЕНКА ЛИНЕЙНОГО ФОРМОСОХРАНЯЮЩЕГО ПОПЕРЕЧНИКА ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
Найдена оценка линейного относительного поперечника одного класса дифференцируемых функций.
Пусть Cк[0,1], k ^ 0, есть пространство действительнозначных и k раз непрерывно дифференцируемых функций на [0,1], Di означает оператор дифференцирования г-го порядка, а = _
последовательность с а £ {—1,0,1} и h,k — два целых числа таких, что 0 ^ h < k и ah • ак = 0.
Следуя [1], в работе рассматриваются конуса функций Ch,k(а), производные некоторых порядков которых имеют фиксированный знак на [0,1]:
Ch,k(а) := {f £ Ck[0,1] : а • Df > 0, г = h,... , k}.
Обозначим а[r] = (а|г])к=ш а^ = аг и а[г] = 0, тел и г = r.
Обозначим Пк подпрострапство C[0,1], порожденное системой функций {ео, в!,..., вк }, где ei(t) = t\ Pk = {p £ Пк : ||Dkp^c [0,1] < 1}
Пусть V есть некоторый конус в C[0,1]. Определим линейный относительный n-поперечник множества A С Ck[0,1] в C[0,1] для Dr V
$rn(A, V)c[о,1] := inf sup ||Drf - DrLnf ||c[0,1], Ln(V) f£A
где Ln(V) есть множество всех линейных операторов Ln : Ck[0,1] ^ ^ Cr[0,1] конечного panra < n таких, что Ln(V) С V.
В следующей теореме находится линейный относительный n-поперечник множества Pk в C[0,1] для Dr с ограничением Ch,k(а).
Теорема. Пусть Ch,k(а) — конус такой, что Г = {г : h ^ г < < k, аi = 0, а^ =0, аi • а^2 = -1} = & и пусть r £ Г. Тогда
5rn (pk, Ch,k(а))c[о,1] х n—. 78
Доказательство. Пусть k G N 0 < т < k, с G R с > 0. Обозначим Rm)(c) := {а = (ас, ...,ак) G Rk+1 : |ат| < с}.
Имеем
inf sup \\Drp — Dr Lnp\\ =
L„(Ch,fc (a))cCh,fc (аИ) pGP(k)
= inf sup sup |Drp(x) — Dr Lnp(x) | =
L„(Ch,fc(a))cCh,k(a[r]) pGp(k) xG[0,1]
inf sup sup
Ln(Ch,k(°))cCh,k(^[r]) xG[0,1] aGR(m)(-1)
^a»(Dr ei(x) — Dr LnC^x))
i=0 к
inf sup sup V_]|ai||Dr ei(x) — Dr Lnei(x)
Ln(Ch,k(°))cCh,k (^[r]) xG[0,1] aGR(m)( -1) 1=0
= 77 inf sup |Drek — DrLnek (x)|,
k! xG[0,1]
где инфимум ищется среди всех линейных операторов конечного ранга п таких, что Ьп(Сь,к(а)) С С^к(ам) и
Ьпбг = Вгег, г = 0,1,..., к - 1.
Известно [2], что если линейный оператор Ьп : Ск[0,1] ^ Сг[0,1] п
1) Ьп(СКк(а)) С См(аИ),
2) ВгЬпег = Вгег,
3) если г > 0, то Ьп(ПГ-1) С Пг-1, тогда имеет место неравенство
к 1 1
£ 1 \\°Г^ _ &вг || ^ -ПГ7, (1) г! тпк_Г
г=г+1
где константа т > 1 не зависит от п.
п
удовлетворяющий условиям 1)-3) и доставляющий точную по порядку оценку в неравенстве (1), приведен в [2]. Теорема доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1001-00270) и гранта Президента РФ (проект, ЕШ-ЩЗ.2010.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Muñoz-Delgado F.J., Ramirez-González V., Cárdenas-Morales"D. Qualitative Korovkin-tvpe results on conservative approximation //J, Approx, Theory, 1998, Vol, 94, P. 144-159*
2, Sidorov S.P. Optimal Approximation of the rth differential operator by means of linear shape preserving opeartors of finite rank // J, of Approx, Theory, 2003, Vol, 124, P. 232-241.
УДК 517.51
В.Г. Тимофеев
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ЛАНДАУ ДЛЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть С = С(Дп), п > 2, — пространство непрерывных ограниченных на Яп функций с обычно определенной нормой
||и||с = 8ир{|м(ж)| : х Е Яп};
= — пространство измеримых существенно ограниченных
функций с нормой
||и||то = евввир{|м(х)| : х Е Яп}.
Обозначим через и класс функций и Е С, для которых значение оператора Лапласа принадлежит (Яп) и понимается в обобщенном, по Соболеву, смысле.
Начнем изложение основных результатов с нескольких вспомогательных утверждений, необходимых в дальнейшем. Приведем интегральное представление производной иХ функции и Е и. Для всех х и £ таких, что £1 = = х1 + 2кк, к Е к > 0, полагаем
G(í,x) = <
^ С
Е Лп -1 - ln М ,
^ { -k Pk J '
ln -— ln — > , если n = 2,
k=—00
f N
E - ppj, если n ^ 3,
(1)
k=—00
где
rk =
\
(íi - xi - 4kh)2 + ¿(í, - x,,)2
¿=2
