CC BY
24
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №9_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
А.Д.Фарозова
НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
В ПРОСТРАНСТВЕ Ь2
Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 15.06.2015 г.)
Доказаны точные неравенства между наилучшими приближениями периодических функций тригонометрическими полиномами и усреднёнными модулями непрерывности их произвольных производных в метрике пространства Ь2. Найдены точные значения различных п-поперечников классов функций, усреднённые модули непрерывности которых мажорируются заданной функцией.
Ключевые слова: наилучшие приближения - модуль непрерывности - полином - мажоранта - п-поперечники.
1. Пусть = [0,2ж] - пространство измеримых и суммируемых с квадратом 2я -периодических функций / (х) с конечной нормой
С , 2 л \т
- \\f (*)|2 dx
7Г •>
кл о
и рядом Фурье
№ ~ ^р- + ¿ (**(/)coshc + bk(f)smhc).
2 k=i
Хорошо известны свойства минимальности частичных сумм
a ( f) n i
^-i (f; x) := -f + X (ak (f) cos kx + bk (f) sin kx) 2 k=i
ряда Фурье функции f (x) , которые состоят в том, что наилучшее приближение функции f (x) в L2 посредством полиномов вида
Tn-i (x) = ^^ + X ("к COS kx + Pk Sin kx) 2 k=i
"o(f)
реализуются частичной суммой Sn_f; x) :
En-i(f) = if IIf - Tn-i\\ HIf - S„-i(f )|| = \tp2(f)]
i/2
Адрес для корреспонденции: Фарозова Альфия Давлатбековна. 734000, Республика Таджикистан, г.Хорог, ул.Ленина, 28, Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева. E-mail: [email protected]
где рК/) = аК/) + %(/), к > п.
Обозначим через /1''(ге X ; /,20) = Л2) множество функций /ё!2, у которых производные (г — 1) -го порядка абсолютно непрерывны, а производные г -го порядка /(г)(х) е . Пусть
с(/;х) := 8ир{||/(■ + Л) — /(-)|| :|Л |< ё}
- модуль непрерывности функции /(х) е Х2. Приведенный ниже класс функций из £2 характеризуется модулем непрерывности г -й производной, а структурные свойства класса - быстротою стремления к нулю усредненного значения модуля непрерывности г -й производной с(/(г) ,ё). Нам понадобится следующий результат Л.В.Тайкова [1]:
Теорема А. Для произвольной функций /(я) е при любом п е N справедливо точное неравенство
л! п
4пГ
1 л! п
ЕпМ)<-7-г \с(/(г);г)йг (1)
и равенство достигается для функции / (х) = а со$>(пх + Ь).
Используя неравенство (1) для некоторых классов функций, зависящих от п, в [1] вычислено значение колмогоровского п -поперечника.
Известно, что для функции / е ЁГ) её промежуточные производные /Г—!1), 5 = 0,1,...,г принадлежат пространству . Представляет интерес найти точные неравенства между величиной наилучших приближений Еп_/(г 5)) и усредненной величиной модуля непрерывности с(/(г); г) производной /(г)(х) е . Используя эти факты приводим несложное обобщение теоремы А, а именно имеет место следующее утверждение.
Теорема 1 .Для произвольной функции /(х) е при любом п е N и 5 = 1,2,..., г справедливо точное неравенство
л! п
Ап~'
л!п
ЕпМ(г—!°) <—1 \с(/(г); г)йг, (2)
0
и равенство достигается для функции /0 (х) = а соъ^ш + Ь), а,Ь еМ.
Доказательство. В самом деле, для произвольной функции / е Ь2, из неравенства (1) при г = 1 имеем
^ л!п
Еп—\(/) < - ¡с(/1;г)йг. (3)
0
Заменяя в (3) функцию /(х) на /(г :)(х) и учитывая, что /(х) е ), запишем
п! п
кпм{ r-1)) < - \<fr); t)dt. (4)
о
Воспользуясь тем, что все производные /(г *) е ^ (* = 0,1,...,г), запишем точное неравенство типа Колмогорова между наилучшими приближениями тригонометрическими полиномами последовательных производных (см., например, [3, глава 6, § 6.3]) :
еп_х/—о < ¿и/^Г'(г-1)Еп_х(/у(г-1), * = 0,1,..., г -1. (5)
Подставляя в правую часть (5) вместо величин Еи /(г-1)) и Еп_^/) их оценку сверху из формул (4) и (1), получаем
.. .. п! п
EnM(r^s)) < - "Г \<f(r)' №> s = 0'1'-' r - - (6)
А. т/1 J
4 ns о
или, что то же самое,
п! п
i(f(r-s)) <-—- fc(f(r); t)dt, s = 1,2,..., r. (7)
¿Ln J
0
E.
4n
Докажем точность неравенства (2). Рассмотрим функцию f (х) = cos пх, для которой, как легко вычислить,
пх
En-i(fo(r-s)) = nr-s; c(f(r); х) = 2nr sin у, 0 < пх <п. (8)
Учитывая равенства (8), имеем
п!п r п!п
1 п rf * Tit
-г f с(f(r); t)dt = —^—т f sin—dt
4ns-1 J0 Jo J 2ns-1 J0 2
n! 2
= rf-s J sintdt = rf-s = En_j(f0(r-s)), s = 1,2,...,r.
Этим точность неравенства (2) установлена. Сформулируем следующее
Следствие 1. В условиях теоремы 1 при всех s = 1,2,..., r выполняется равенство
sup i^m = -. (9)
f(^ЙОпst J с(f(r); t)dt
о
В данной работе для некоторых классов функций, не зависящих от значений п, найдены точные значения различных п -поперечников.
о
Предварительно приведём необходимые для дальнейшего известные факты и определения. Пусть S = (^ : ||^|| < 1} - единичный шар в пространстве L2, M - выпуклое центрально-
симметричное подмножество из L2; Ли с L - п -мерное подпространство; Лn с L2 - подпространство коразмерности п\ С'. Ь2^ Ли - линейный непрерывный оператор, переводящий элементы пространства L2 в An; jCl : L2 —>Ап— непрерывный оператор линейного проектирования L2 на подпространство Лn. Величины
bn (Ш, L2) = sup jsup js > 0: sS n Лп+1 с Ш}: Лп+, с L2 },
dn (Ml, L2) = inf {sup Щ :f eMt nЛn j: Лn с L2 j, dn (Ш, L2) = inf {sup {inf j|| f¡: f e M}: Лп с L2}, \ W, L2) = inf {inf {sup {I/ - Cf\\: / g Ш): CL2 c= ля}: ля c= L2}, Пй(ШТ,4) = inf {inf {sup{||/- : / e Ш1}: c= An\: A„ c= Z2
называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским, линейным, проекционным п -поперечниками. Указанные величины монотонно убывают по возрастанию п и удовлетворяют соотношения [2,4]
bn(M,4) < dn(M,L2) < dn(M,L2) = Xn(M,L2) = Пп(M,L2). (10)
Если M - некоторое множество из L2, то полагаем
En ¿Mí) := sup{E„_,(f): f e M}.
Введём также обозначение
(sintX := {sint, если 0< t 2; 1, если t n}. (11)
Для произвольных г e N и /7 g Ж введем классы функций
W(r\Ф) = | f g L2): 1J ®(f(r);t)dt < Ф(к)
h-
^ О J
где Ф(и) - произвольная неотрицательная выпуклая вниз для u > 0 функция, такая, что lim Ф(и) = Ф(0) = 0. Аналогично для любых й/ё N полагаем
м—>0+0
n/n
n
W-) =\f (x) g L(r): - J<f(r);t)dt <l[.
0
Теорема 2. Имеют место равенства
5п(Ж(г),¿2) = ¿„Ж") Г, (12)
4п
где З(-) - любой из перечисленных выше п -поперечников.
Доказательство. Из (1), учитывая определение класса Жг), для произвольной функции этого класса получаем
л! п _ ( л! п \
-i Л / n Л! n
E^if) < — f f;t)dt <Л■ - f ЧГ;t)dt
1 4n i 4— -r J
0
Л
<-
ЧЛ 0 у
4nr
откуда для перечисленных выше n -поперечников получаем оценку сверху
iWr),L2) <E-_i(W-(r)) <Л■ (13)
4n
С целью получения соответствующей оценки снизу, в множество тригонометрических полиномов введём в рассмотрение (2— +1) -мерный шар
^2n+i = Tiх) :|\ГЛ <л/i4-r)}
и докажем, что шар S2n+1 содержится внутри класса W(r \h )■ Для этого воспользуемся неравенством [1]
a(T(r),t) < 2nr(sin \Tn\(14)
справедливым для произвольного полинома T (х)- Если теперь предположить,что T iх) с S2k+1, то, согласно определению класса Wn( r)(h) и соотношению (11), из неравенства (14) получаем
л/п л/n Л r
a(T('); t)dt < 2,' IT 11 • - f sin ^ dt = II T II < 1 ■
Л 0 л 0 2 71
Таким образом, S2n+1 с W(r) (h). Отсюда, согласно определению бернштейновского п -поперечника и соотношению (10), имеем
ТГ
ön Wr),L2) > к(w„(r),L) > b-(S2-+1,L2) > — ■ (15)
4n
Сопоставляя оценки (13) и (15), получаем требуемые равенства (12).
Теорема 3. Пусть функция Ф(?/) при любых п е N и h е Ж+ удовлетворяет условию
Ф(h) > л nh/2
Ф (л / п) nh
ж г
— I (sin t). dt. (16)
nh *
0
Тогда справедливы равенства
ж
5п(ЖГ (Ф),4) = Е„ЖПт = утф
4n
ж
n
(17)
Множество функций Ф, удовлетворяющих неравенству (16), не пусто.
Доказательство. Из неравенства (1) сразу получаем оценку для всего класса Ж(г)(Ф) :
ж
(r)(Ф)) < — Ф 4n
ж
n
откуда, в силу соотношения (10), для рассматриваемых п -поперечников имеем
ж
Sn Wr)(Ф),L2) < — Ф 4n
ж
n
(18)
В (2n +1) -мерное подпространство тригонометрических полиномов T (x) вводим в рассмотрение шар
SLi := T(x) : I|T„|| < (ж / (4nr)) Ф(ж / n)}.
Для произвольного полинома T (x) е из неравенства (14), в силу (16), для произвольного h е Ж+ имеем
Х-1');t)dt < 2nr • ||Г„||• i j (hJ dt =
nh/2 / n nh/2
= 4nr ||Tn||■ — j (sint\dt j (smt\dt <Ф(//).
Последнее неравенство означает, что £,и+1 с W(r) (Ф), а потому, учитывая определение бернштейновского n -поперечника, получаем
(Ж„(Г)(Ф), L2) > bn (Ж„(Г)(Ф), L2) > bn (S2„+1, L2) >ж ф
ж
4Яг
ж
v n.
(19)
Сопоставляя неравенства (18) и (19), получаем равенство (17). Непосредственным вычислением убедимся, что функция Ф, (и) = и(л/2)—1 удовлетворяет условию (16).
Из доказанной теоремы 3 вытекают следующие утверждения.
Следствие 2. Если выполнены все условия теоремы 3, то имеют место равенства
1
дя (ЖГ(Ф,), L2) = E„_i(wr (Ф,)) = - ■■ жж/2п
ж/2 —( r—1)—ж/2
Следствие 3. Для верхних граней модулей косинус-коэффициентов Фурье ак (/) и синус-коэффициентов Фурье Ък (/) на классе Ж(г) (Ф) имеют место равенства
8ир{| ап(/) |: /(х) еЖ(г)(Ф)} =
п г
= sup{ | Ъп ( f) |: f (х) е W(r) (ф)} = — Ф
4п
Доказательство следствия 3 повторяет схему рассуждений аналогичного утверждения для других классов функций из работы [5], а потому мы его здесь не приводим.
Поступило 16.06.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тайков Л.В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике пространстве L2 -Матем. заметки, 1977, т. 22, 4, с. 535-542.
2. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. МГУ, Москва, 1976.
3. Корнейчук Н.П., Лигун А.А., Доронин В.Г. Аппроксимация с ограничениями. Кмев: Наукова думка, 1982.
4. Pinkus A. «-Widths in Approximation Theory, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 7, Springer-Verlag, Berlin, 1985.
5. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами и точных значениях поперечников функциональных классов в L2 - Analysis Mathematica, 38,(2012), с 147-159.
А.Д.Фарозова
НАЗДИККУНИИ БЕХТАРИНИ ФУНКСИЯХОИ ДИФФЕРЕНСИРОНИДАШАВАНДА ДАР ФАЗОИ Ь2
Донишго^и давлатии Хоруг ба номи М.Назаршоев
Нобаробарихои аник байни наздиккунии бехтарини синфи функсияхои даврй бо ёрии бисёраъзогихои тригонометрй ва модули бефосилагии миёнакардашуда аз хосилаи ихтиёрии он дар метрикаи фазои Ь2 исбот карда шудаанд. ^имати аники п -кутрхои гуногуни синфи
функсияхое, ки модули бефосилагии миёнакардашудаашон бо функсияи додашуда махдуд карда мешавад, ёфта шудаанд.
Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин - модули бефосилаги - бисёраъзоги - мажорант - п -куутрХ/О.
A.D.Farozova
THE BEST APPROXIMATION OF CLASSES DIFFERENTIAL FUNCTIONS IN L2
SPACES
M.Nazarshoev Khorog State University In article proved the exact inequality between of the best approximation of periodic function with trigonometric polynomial and modulus continuity its average derivative in L2 spaces. The exact values of «-widths of classes function, where the average modulus of continuity majorized by given function are found.
Key words: the best approximation - modulus of continuity - polynomial - majorant - n-widths.
