Приближение гладких функций линейными конечномерными операторами в пространстве l^p Текст научной статьи по специальности «Математика»

Z H(

e0 see с.

sup WP,q{t-,GJ)t

11

P 4

r'<h-'

MO

X H(

COSTS'1-

\W (r,G)f\

TliOPEMA 2. В условиях теоремы 1 имеет место неравенство

I н<

|аг (t;G)fI юе(0

¿С х н,

Аг (Г,G)f

El

to c{t)tf"

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

2. Терехин А.П. Теоремы эквивалентности классов функций со смешанной производной //ДАН СССР. 1980. Т. 252, № 1. С. 52 - 55.

3. Терехин А.П. Смешанная ^-интегральная ^-вариация и теоремы об эквивалентности и вложении классов функций со смешанным модулем гладкости // Тр. МИАН. 1979. Т. 150. С. 306-319.

УДК 517.51

С. П. Сидоров

ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЛАДКИХ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫМИ КОНЕЧНОМЕРНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ V"

Пусть X = [0,1] и 1< р <<х>. Обозначим ЬР(Х) пространство всех измеримых по Лебегу функций /, для которых \/\р есть интсчрирусмая по Лебегу на X функция с нормой

' Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект НШ-1295.2003.1).

И/.р (А*)

]

jl Hxfdx)". VAT J

Пусть С(АГ) означает пространство непрерывных на X функций с равномерной нормой

I/lcw-H/Wl-

Обозначим Рп множество всех алгебраических полиномов q степени не выше л, таких, что ¡9^1 ^

Если ак л, к =1,2,...,«, есть точки из X и lk n(x)eL''(X) (или 1к п(х) еС(Х)), к =1,2,...,«, тогда оператор

¿„/«=1/(а*,л)/м(л0, feL"(X)(или f еС(Х)), к= 1

есть линейный оператор, действующий из L''(X) (или С{Х)) в LP(X) (или С(АГ)), который мы назовем I -оператором по сетке a = («j n,...,a„ „)

и будем писать L„ е/„ a(Lp(X)) (соответственно Ln eIna(C(X))). Это

означает, что значения функции в определённом конечном наборе точек определяют значение оператора от этой функции [1, с. 26].

Обозначим In(L"(X))^\JIna(L"(X)), I„(C(X)) = \JIna(C(X)).

а а

В работе [2] показано, что

где Тп (х) = cos и arceos х. Инфимум достигается для интерполяционных

операторов Лагранжа по сетке cos —, к = 0,1,...

л

Цель настоящей статьи — установить аналогичный результат в пространстве //(А").

ТЕОРЕМА. Справедлива оценка

С,(п,р)< inf sup \q-Lnq\ „ <С2(п,р), (1)

где

\i/p

Доказательство. Заметим, что inf sup¡9-¿n9¡|p =inf inf sup\\q-Lnq\\r (2)

Из [2] следует, что

c\ («,/>)= inf

(Со.....c„-1)

/ Л-1 ■4

J Xя - Z'i*1 dx

\x i=0 y

Г1

inf sup |9(jc) - L„q(x)\ = ПК,л - 4

L„zln,a(lf(X)) qePu

l

Используя свойства инфимума, мы можем заключить, что

inf sup \\q-L„q\\LP > |П|аЛ>п-x\Pdx

l-n^n^iX)) qep„

Из (2) следует, что

1 /р

хк = I

V 1р

inf ' sup \\q - L„q\\ p > inf |П|а^„ - x\''dx

= inf

(<*>.....c»-i)

/ л-1

1

i-0

slip

dx

и нижняя оценка в (1) установлена.

С другой стороны, интерполяционный оператор Лагранжа по сетке

2к+х , ГМ 1

Хь = С05-71, & = 0,1,...,Л-1,

2/1

с.м^л,)1-"';-^.

*=о п(х-х„_ 1)

обладает следующими свойствами:

1) если qe.Pп Л, то .^(д:) = <у(д:) на X ;

2) если </(*) = а", то ц{х) - Спц{х) = ~^Гп{х) на X . Значит,

ии» Ж1 «-^смфи^ху □

Приведём два простых следствия из теоремы для случаев р = 1 и

р = 2.

СЛЕДСТВИЕ 1. Справедлива оценка

ф^ХУ (3)

Доказательство. Из [3, с. 138 - 153] и [4, с. 244 -313, 507 - 514] следует, что

inf J

л-1 ¡=0

dx —-г. □

2

СЛЕДСТВИЕ 2. Справедлива оценка

\2

2"(п!)2Л/4я + 2 . |, ¡| ^ 1 цт н

(2,+ 1)1 5 Д lk ""(4)

/ я —1 2 Л

inf j - ^х' dx

(«•'О.....<V|) u ¡=0 /

Доказательство. Из [5, с. 28- 30] следует, что

2"(я!)2л/4Л+2 (2п +1)!

Отметим, что оценки (3) и (4) асимптотически точны.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. DeVore ftA. The approximation of continuous functions by positive linear operators. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer-Verlag, 1972.

2. Sidorov S.P. On some extremal properties of Lagrange interpolator polynomials // J. Approx. Theory. 2002. Vol. 118, №2. P. 188-201.

3. Коркин А.И., Золотарев Е.И. О некотором минимуме. Поли. coop. сом. Е. И. Золотарева: В 2 т. Л.: Изд-во АН СССР, 1931. Т.!.

4. Чебышев ПЛ. Поли. собр. соч.: В 3 т. М.; Л., 1948. Т. 2.

5. Ахиезер НИ. Лекции по теории приближений. М.: Наука, 1965.

УДК 517.15

Г. А. Сорокин

О ДВУХСТОРОННЕЙ ОЦЕНКЕ ФАКТОРИАЛА и!

Некоторые оценки величины п\ приведены в [1, с. 179 и с. 341]. В данной статье рассматривается двухсторонняя оценка л!, позволяющая для многих значений п вычислить п\ точнее, чем по формуле Стерлинга

л!=

где 0„ -> 0 при л ~> оо.

При изложении применяется

ЛЕММА. Для любого натурального числа л > 5 справедливо равенство

Доказательство. Это равенство мы получим из тождест аа

п п

Иак = "ал+1 + Тк(ак-«4+1). (2)

4=1 4=1

справедливого для любой последовательности {ак } и любого натурального л > 1. Равенство (2) проверяется непосредственно. Положим в формуле (2) ак = 1п к. Имеем

л п к

1пл! = = л1п(л+1) + -.

*= 1 к + 1