Равномерная сходимость процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля на одном функциональном классе Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 2 (2018). С. 93-108.

УДК 517.518.8

РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ПРОЦЕССОВ ЛАГРАНЖА-ШТУРМА-ЛНУВИЛЛЯ НА ОДНОМ ФУНКЦИОНАЛЬНОМ КЛАССЕ

А.Ю. ТРЫНИН

Аннотация. Установлена равномерная сходимость внутри произвольного интервала (a, b) С [0, ж] значений операторов Лагранжа-Штурма-Лиувилля для функций из класса, определяемого с помощью односторонних модулей непрерывности и изменения. Вне этого интервала последовательность значений операторов Лагранжа-Штурма-Лиувилля может расходиться. Условия, описывающие этот функциональный класс содержат ограничение только на скорость и величину возрастания (или убывания) непрерывной функции. Убывать (или, соответственно, возрастать) представитель предлагаемого класса может сколь угодно быстро. Популярные множества функций, удовлетворяющих условию Дини-Липшица или признака Крылова, являются собственными подмножествами этого класса, даже если в их условиях заменить классические модуль непрерывности и вариацию на односторонние. Получены точные по порядку оценки сверху для функций и констант Лебега процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля. Установлены достаточные условия равномерной сходимости процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля в терминах максимума модуля суммы и максимума суммы модулей взвешенных разностей первого порядка. Приведено доказательство ограниченности в совокупности последовательности фундаментальных функций процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля. Предложено три новых оператора, являющихся модификацией оператора Лагранжа-Штурма-Лиувилля, позволяющих равномерно приближать произвольную непрерывную, исчезающую на концах отрезка, функцию на отрезке [0,^]. Все результаты работы остаются справедливыми, если односторонние модули непрерывности и изменения заменить на классические.

Ключевые слова: синк-аппроксимации, интерполяция функций, равномерное приближение.

Mathematics Subject Classification: Primary 41A05, 41A58; Secondary 94A12

1. Введение

Г.И. Натансон в [1] получил признак Дини-Липшица равномерной сходимости внутри интервала (0,ж), т.е. равномерной па любом компакте, содержащемся в (0,ж), процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля вида

П „ ( ) п

^ (М = £/Кп) п(г-г ) = Е/Кп)©^ (!)

A.Yu. Trynin, Uniform convergence of Lagrange-Strum-Liouville processes on one

functional class.

© Трынин А.Ю. 2018. Поступила 18 мая 2017 г.

где Un есть п—я собственная функция регулярной задачи Штурма-Лиувилля

{

U" + [А — q]U = 0,

U'(0) — hU (0) = 0, (2)

U'(-k) + HU (ж) = 0

с непрерывным потенциалом q ограниченной вариации на [0,^] и граничными условиями, гарантирующими, что главный член в асимптотических формулах для Un будет косинусом, т.е. h = ±гс>, Н = Здесь через 0 < х\,п < х2,п < • • • < хп,п < ж обозначены

нули функции Un. Изучению аппроксимативных свойств операторов Лагранжа-Штурма-Лиувилля (1) посвящены также работы [2] [4]. В работе [2] устанавливается существование непрерывной па [0,^] функции, интерполяционный процесс Лагранжа-Штурма-Лиувилля (1) которой неограниченно расходится почти всюду па [0,^], Исследования, проведённые в [3], [5], [6] показывают, что при сколь угодно малом изменении параметров задачи Штурма-Лиувилля (2) (потенциала q, или констант h, Н) аппроксимативные свойства процессов (1) могут сильно измениться.

Свойства операторов интерполирования функций лагранжевого вида (1), тесно связанны с поведением синк-приближеннй

L (/ х) = ^ sin (га — кк) ^ f кж\ = ^ (—1)fc sin пх^ í kn\ ,

n ' ^ nx — kn \ n J ^ nx — kn \ n J , k=0 v 7 k=0 v 7

используемых в теореме отсчётов Уиттекера-Котельникова-Шеннона (см, [Т] [10]). Наиболее полный обзор результатов, полученных в области исследования свойств сннк-аппрокеимаций (3) аналитических на действительной оси функции, экспоненциально убывающих на бесконечности, а также большое количество важных приложений сипк-аппроксимаций можно найти, например, в [9] и [11].

Синк-приближения нашли широкое применение при построении различных численных методов математической физики и приближения функций как одной так и нескольких переменных [12]—[14] в теории квадратурных формул [9] и теории вейвлет-преобразований или всплесков [7], [8], [10],

До появления работ [15]-[21] приближение такими операторами на отрезке, или ограниченном интервале осуществлялось только для некоторых классов аналитических функций [9], [22] сведением к случаю оси с помощью конформного отображения, В [21] установлена оценка сверху наилучшего приближения непрерывных функций линейными комбинациями синков.

Из результатов исследований в [23] видно, что при попытке приближения негладких непрерывных функций значениями операторов (3) возможно появление „резонанса", приводящего к неогранченному росту погрешности аппроксимации па всём интервале (0 ,ж). В [24]-[27] предложены различные модификации сипк-приближепий (3), позволяющие аппроксимировать непрерывные функции на отрезке [0 ,ж]. Исследование полноты системы синков (3) в [26] в пространствах С[0 , ж] и С0[0 ,ж] = {/ : f Е С[0 , ж], f (0) = f (ж) = 0} позволяет сделать вывод о тщетности попыток построить оператор в виде линейных комбинаций синков, допускающий возможность равномерной аппроксимации произвольной непрерывной функции на отрезке.

Изучение операторов Лагранжа-Штурма-Лиувилля (1) также тесно связано с исследованием аппроксимативных свойств операторов интерполирования, построенных по решениям задач Коши с дифференциальными выражениями второго порядка [28]. Операторы, предложенные в [28] являются обобщением операторов Лагранжа-Штурма-Лиувилля (1) и классических сипк-приближепий (3). В [29] приводится ряд приложений результатов работы [28] к исследованию аппроксимативных свойств классических алгебраических интерполяционных многочленов Лагранжа с матрицей узлов интерполирования, каждая

строка которой состоит из нулей многочленов Якоби с параметрами, зависящими

от п.

В монографии [4] приведены более подробные доказательства и исправлены опечатки, обнаруженные в некоторых формулах более ранних публикаций,

В настоящей работе, используя концепции исследований в [30]—[37] получены достаточные условия равномерной внутри интервала (0,ж) сходимости интерполяционных процессов (1), построенных по решениям задачи Штурма-Лиувилля (2) в терминах односторонних модулей непрерывности и изменения.

2. Основные результаты

непрерывной функцией ограниченной вариации на [0,ж]. Договоримся также, что собственная функция будет нормирована условием ип(0) = 1, Рассматриваем краевые условия (2) третьего рода, из которых исключены условия типа Дирихле, т.е. к = Н = Для люб ых 0 < а < Ь < ж, 0 <е< (Ь — а)/2 индекс ы р\, р2, т\ ъ т2 определим с помощью соотношений

ХР1,п < а + £ < Xp^+1,'п, Хр2,п < Ь £ < Xp2+1,п,

< а <Хк! (4)

т1

h 2

+ 1, т2

h 2

после добавления к множеству нулей х\,п < х2п < ■ ■ ■ < хПуП п—й собственной функции Un точек х0п = 0 и хп+1,п = ж. Здесь [z] обозначает целую часть числа z, Если не оговорено иное, штрих у суммы в этой работе означает отсутствие слагаемого со знаменателем равным нулю.

Обозначим Q множество всех действительнозначных, неубывающих, выпуклых вверх на [0,6 — а], исчезающих в нуле функций ш. Пусть С (ш1, [а, 6]) и С (шг, [а, Ь]) есть множества элементов пространства С [а, Ь] таких, что для произвольных х и х + h (а < х < х + h < b) имеют место неравенства

/(х + h) — /(х) > — Kfu(h) или /(х + h) — /(х) < Kfu(h), (5)

соответственно, где ш G Здесь выбор положительной константы Kf зависит только от функции f. В этом случае функцию u(h) называют, соответственно, лево- или правосторонним модулем непрерывности.

Классический модуль непрерывности функции f G С [а, Ь] будем обозначать как обычно ш(f, £) = sup |/(х + h) — /(х)|. Модуль непрерывности f G С[0, ж], в случае а = 0,

Щ<6;х,х+ке[а,Ь]

b = ж обозначим wi(f, 5)= sup |/(х + h) — /(х)|,

[ а, ]

аргумента

п— 1

v^^ я = sup V1 f(t k+i) — f(t к )1,

Т —

1п к=0

где Тп = {а < t0 < t1 < t2 < ■ ■ ■ < tn—1 < tn <b},n G N. Возьмем неотрицательную, неубывающую выпуклую вверх функцию натурального аргумента v(n). Если модуль изменения функции f на интервале [а, Ь] такой, что v(n, f) = 0(v(n)) при п ^ то, то будем говорить, что f принадлежит классу V(v). Здесь выбор константы равномерности в о-еимволике

По аналогии с положительным (отрицательным) изменением функции будем называть положительным (отрицательным) модулем изменения функции f на отрезке [а, Ь], соответственно, функции натурального аргумента

п—1 п—1

v+(n, f) = sup£(f(tk+1) — f(tk)) + и v-(n, f) = inf f(tk+1) - f(tk))

rrl J-n

k=0 k=0

где = a z- = и Tn = {a < t0 < h < t2 < ••• < tn-1 < tn < b}, n E N. Будем говорить, что f принадлежит классу V V- (v), если существует константа Mf,

n

V+(n, f) < MfV (n) или V- (n, f) > -MfV (n)

соответственно.

Теорема 1. Пусть 0 < а < b < -, 0 < е < (b — а)/2. Если неубывающая вогнутая функция натурального аргумента v(n) и функция ш E О такие, что

!т Л k2-ki-1 /, ч ^

шГ-)^ 1 + £ =0- (6)

\nJ k ^ к2

k=1 k=m+1 )

где k1 и к2 + 1 — номера наименьшего и наибольшего из нулей собственной функции Un, попадающих в отрезок [а, Ь\, то для любой функции f E С(ш1 [а, 6]) П V-(v) (f E С(шг [а, 6]) П V+(v)) выполняется соотношение

lim \\f — LSnL(f, •)\\c[a+£,b-£] = 0, (7)

где оператор Лагранжа-Штурма-Лиувилля LnL(f, •) определён в (1). Замечание 1. При этом, на, множестве [0,-] \ [а, Ь] соотношение

lim |f(x) — LsnL(f,x)l = 0

может вовсе не выполняться, (см., например, [2], [3] и [4]J.

В следующей теореме получена точная по порядку оценка сверху скорости роста последовательности норм операторов и функционалов Лагранжа-Штурма-Лиувилля (1), действующих из С[0,-] в С[0,-] и из С[0,-] в R соответственно. Такие последовательности носят название последовательностей констант и функций Лебега, От их поведения существенно зависят аппроксимативные свойства операторов Лагранжа-Штурма-Лиувилля (1) в смысле равномерной и поточечной сходимости соответвеппо.

Теорема 2. Пусть Un— собственная, функция, соответствующая собственному значению Xn, регулярной задачи, Штурма-Лиувилля (2). Тогда, существуют константы С1; С2 и С3 (выбор которых обусловлен только параметрами задачи, Штурм,а-Лиувилля) такие, что для, всех x E [0,-] и всех n = 2, 3,4,... для, функций и констант Лебега интерполяционных процессов (1) справедливы, неравенства

n

LiL(x) = £ ПП(х)| < ^|Un(x)| lnn + С3, (8)

k=1

LlL = max LlL(x) < С2 lnn. (9)

Замечание 2. Точность по порядку оценок (8) и (9) следует из теорем,ы, 2 и результатов работы, [2, Лемма 2] или [4].

Доказательства этих утверждений приведём в параграфе 4,

3. Вспомогательные утверждения

Прежде чем доказывать эти теоремы убедимся в справедливости ряда вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Пусть Un— собственная функция, соответствующая собственному значению Ап, регулярной задачи, Штурма-Лиувилля, (2). Через 0 < x\,n < х2,п < • • • < хПуП < ж обозначим, нули, функции Un. Тогда, имеют место следующие асимптотические формулы:

Р (Х)

Un(x) = cos пх +--sin пх + 0(п-2), (10)

п

U'n(х) = — п sin пх + Р(х) cos пх + 0(п-1), (11)

и'П(х) = — п2 cos пх — пр(х) sin пх + 0(1), (12)

ип(хк,п) = (—1)кп + 0(п-1), (13)

2к — 1 2о (2 к — 1 \ _ з, „ п

хк,п = ^2>пг* + п-2/Ч^Гж) + 0(п ), (14)

УлП = п + 0(п-1), (15)

где Р(х) = —сх + h + 1 q(r) dr, с= 1 (h + Н + 1 f^ q(r) dr^j , а, оценка остаточного члена, во всех формулах (10)-(14) равномерна по х Е [0,ж] или 1 <к < п.

Доказательство леммы 1. По поводу доказательства (10), (11) и (15) смотрите, например, [39], Убедимся в справедливости (14), Пусть хк,п — k-й пуль собственной функции ип. Из асимптотической формулы (10) получаем соотношение | cos пхк,п +

sin пх&п I = 0(п-2). Положи в cos аьп := ¡ п„ получим асимптотиче-

п *,п 1 V ' Vп2 +Р2(Хк,п) "

скую формулу sin(| + пхи,п — о.к,п) = 0(п-2). Следовательно, имеем соотношение

12 + пхк,п — о.к,п — жк| = 0(п-2). Но функция Р, по крайней мере, один раз непрерывно дифференцируема, поэтому имеет место асимптотическая формула

2к — 1 2о f 2 к — 1 \ 3N хм = ж + п-2р( -п +0(п-3).

Формула (12) следует из (10) и (2), а (13) из (11) и (14), Лемма 1 доказана.

Замечание 3. Из асимптотической формулы (10) видно, что выбранная нормировка собственных функций ип обеспечивает их ограниченность в совокупности,. Обозначим

M = sup^U^)^ Е [0,ж],п Е N} < то. (16)

Пусть р\ = о(t^v) при А ^ +то. Считаем, что значения функции h(A) Е R для про-

Лп л /

извольного неотрицательного А, Обозначим через произвольную функцию из шара Урх [0, ж] радиус а р\ в пространстве функций ограниченной вариации, исчезающих в нуле, то есть

[дх] < рх, рх = , при л ^ ^(0) = 0- (17)

Для произвольного потенциала Е УРх [0,ж], при А ^ +то, нули решения задачи Коши

у" + (А - дх(х))у = 0, ( .

У(0, А) = 1, у'(0, А) = ЦА), {Щ

или, при дополнительном условии Н(А) = 0

У0п[дх] < Рх, РХ = , ПРИ А ^ то, дх(0) = 0, к(А) = 0, (19)

{

задачи Коши

у"+{Л - ях(х))у = 0, У(0,Л) = 0, у'(0, Л) = ВД,

попадающих в отрезок [0,к], пронумеруем следующим образом

0 < Хо,Х < Х1,х < ... < хп(Х),х < к (х-1,х < 0,Хга(Л)+1,Л > к).

(21)

(Зесь х-1,х < 0, апс1 хп(х)+\,х > к обозначают нули какого-либо продолжения решения задачи Коши (18) или (20) при сохранении ограниченности вариации потенциала дх вне [0, к]). В [28], [4] описано множество непрерывных на отрезке [0, к] функций /, допускающих равномерную внутри интервала (0,к) аппроксимацию значениями операторов следующего вида. Обозначим оператор, построенный по решениям задачи Коши (20) или (21), и ставящии в соответсвие каждой конечнозначнои на множестве {хкух}к'=0п=1 непрерывную функцию по правилу

п у(х Л) п

^ у'(хк,х, Л)(х - хк,х) ^

к=0

(22)

к=0

Очевидно, что значение оператора (22) интерполирует функцию / в узлах {хк,х}к=0.

Обозначим Со[0,к] = : $ Е С[0,к], /(0) = ¡(и) = 0}. При приближении с помощью операторов (1) функций $ Е С[0, к]\С0[0, к] вблизи концов отрезка [0,к] возникает явление Гиббса (см., например, [25, Теорема 2], [4]), Эта проблема решается с помощью обобщения оператора (22), предложенного в [28, формула (1.9)], [4], вида

Тх(/,х) =

( х, Л)

к=0

у'(хк,х)(х - хк,х)

|/(Х»,А) - ^^х„Л - /«»}+

/М - /(0)

ж

х + /(0),

(23)

где у(х, Л) - решение задачи Коши (18) или (20) и хк,х - нули этого решения.

( х, Л)

или (20), и предположим, что в случае задачи Коши (18) выполняются условия (17), а в случае задачи, Коши (20) — условия (19). Если f Е С0[0,ж], то равномерно на, [0,к] справедливо соотношение

1 п—1

Н^ /(х) - /,х) - 2 (хк+1,х) - ¡(хк,Х))зк,Х(х)^ = 0.

(24)

к=0

Замечание 4. Из предложения 1 следует, что значения предложенных в [28], [4] операторов

1

п— 1

Ах( ¡,х) = 1^2(1(хк+1,х ) + !(хк,х)) 8к,Х(х)

к=0

В\ (/,х) = (хк-1,\) + ¡'(хк,Х))8к,Х(х)

к=1

или

п—1

СХ(¡,х) = 1 (хк—1,Х) + 21(хк,Х) + ¡(хк+1,Х)) 8к,Х(х)

к=1

равномерно на, всём, отрезке [0,к] аппроксимируют произвольный элемет пространства С0[0,к].

Лемма 2. Пусть ип— собственная функция, соответствующая собственному значению \п, регулярной задачи Штурма-Лиувилля (2). Тогда, существует константа С4 зависящая только от д, к, Н такая, что для, всех х Е [0, ж] и всех п = 1, 2, 3,... справедливо неравенство

ип(х)

\1 кл(х)\

ип{хк,п){х хк,п)

< СА.

(25)

Доказательство леммы 2. Если для каких либо 1 < к < п и п Е N окажетея х = хк,п, то \11ьп(х)\ = 1, Рассмотрим теперь случай х = хк,п, Пусть сначала 0 \>х хк п

< п ,

х Е [0,ж], тогда по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа из (12) и (13) следует неравенство

\1 ЬкЬп(х)\ <

ип(хк,п)(х - хк,п) + и'п(Ск,п)(х - хк,п)2/2

1 +

0(п2) 1

п + 0(п-1) п

- < С.1

п (хк,п)(х хк;п)

для некоторой константы СЛд, выбор которой зависит только от параметров задачи Штурма-Лиувилля д, к и Н. Осталось рассмотреть случай \х — хк,п\ > п-1, х Е [0,ж], В силу асимптотических формул (10) и (13) существует константа С4,2, для которой справедливо неравенство

\IкЬп(х)\ < п

ип(х)

и,п(хк,'п)

<

сов пх + ^п^ вт пх + 0(п 2)

п + 0(п-1)

п < С л 2.

Положив С4 = тах(С4д, С4,2), убедимся в справедливости леммы 2, Далее нам потребуется доказательство теоремы 2

Доказательство теоремы 2. Возьмём произвольное х Е [0,ж]. Обозначим через к0 номер х

них, например, левый. Функцию Лебега интерполяционного процесса Лагранжа-Штурма-Лиувилля (1) представим в виде трёх слагаемых

ко—3

ко+2

Ькь(х) = 5] \1 кьп(х)\ \1 ккьп(х)\ + Е \ 1ккьп(х)\.

к=1

к=ко — 2 к=ко+3

Если к0 = 1, 2, 3, то в представлении отсутствует первое слагаемое, если же окажется, что к0 = п — 2,п — 1, ил и п, то нет третьей суммы. Не более пяти слагаемых, входящих во вторую сумму, оценим с помощью леммы 2, Тогда, воспользовавшись (11), (13) и формулой конечных приращений Лагранжа, оценим функцию Лебега следующим образом

ко—3

Е

к=1

ьпь(х) <

\ад\

\ип(х)\ ^о—3 1

п

/ко—3 £

4 к=1

+ Е

1

\х хк,п\ к=ко+3 \х хк,п\

)

+ 5 Сл+

\ип (х)\

\ССп(х к,п)\\х хк,п \ п\х хк,п\

¡"ко-3 1

+ Е

к= ко+3

\ип(х)\

\ип(х)\

п

ко—3 £

к=1 п

5 Сл + ^

/ко — 3 4 к=1

+

\Сп(хк,п)\\х хк,п\ п\х хк,п\ 1

<

\х хк,п\ к=ко+3 \х хк,п\

)

+

ип(х)

х — хк,

п — (п + 0(п 1))

\ ад\ /Ч- 1

+ Е

п(п + 0(п—1))

1

\ х — хк, п\ к= к +3 \ х — хк, п\

)

+ 5 С4 + 0(п—1)

Из асимптотической формулы (14) для нулей собственных функций ип находим номер п0, выбор которого зависит только от параметров задачи Штурма-Лиувилля, начиная с которого будет выполняться неравенство

min lxk+i,n -хк,п1>—,

1<к<п-1 2п

а, следовательно, и соотношение

|х - Хко±2,п| > min |хк+1,п - Хк,п1 > —.

, 1<к<п-1 , , 2п

(26) (27)

В силу (26) и (27) функции Лебега интерполяционного процесса Лагранжа-Штурма-Лпувнлля (1) равномерно на всём отрезке [0,—] могут быть оценены таким образом

Lf (х) <

1^п(х)|

ко-3

п

/ко-з v к=1

1

хк+1,п хк,1

Zfc+1,,

dt

х

Е

к=ко+3

хк, п - хк 1,

х

)

+ Сз,с <

^2 In п - 2In 2 +ln |х(х -п)^ +С3,о.

(28)

Из того, что шах^1п |х(——х)|,х Е (0,—= 21п | и асимптотической формулы (10) следуют

(8) и (9) в случае п > п0. Чтобы оценки (8) и (9) остались верными для всех п = 2, 3, 4,... положим, например,

Сэ = шах(Сз;с, Ць, Ць, ЬП0_1,), С2 = С1М + Сз/ 1п 2,

где константа М определяется в соотношении (16), Теорема 2 доказана. Для любых 0 < а < Ь < —, 0 <е< (Ь — а)/2 обозначим

Яп( f, [а, b], е) := max

P1<P<P2

m,2

E'

m=mi

/(х2т+1,п) - f (х2т,п)

p - 2m

Предложение 2. Если функция f E С[0,п], то из соотношения

lim Яп(f, [а, Ь], е) = 0

X—>оо

(29)

(30)

следует утверждение (7).

Доказательство предложения 2. Введём обозначение

фк,п = ¡(хк+1,п) — !(хк,п) 1 <к<п — 1; п Е N. (31)

Учитывая, что f Е С[0,—] и (14), убедимся, что существует константа С5 такая, что справедлива оценка

1Фк,п1 < С5ш^¡, для всех 1 < к < п — 1; п Е N. (32)

Заметим, что из (31), (11) и (13) вытекает равномерная на всём отрезке [0,—] оценка к2 к2 /

Y^ (1(хк+1,п) - f (хк,п)) ©х) -Y1 ^к

(-1)кип(х)

к= к1 к2

Y1 №к,п1

к= к1

к= к1

п( х - хк, п)

<

и,п(х)

( х - х к, п)

(-1)кп -ип (хкп)

пип(хк,п)

Ч/,п)°(п-1).

(33)

1

Рассуждая как при доказательстве теоремы 2, в силу (31) и (32) умножив \ип(х)1 на

/, ^ в (28) и удалив го суммы в (28) слагаемые с номерами к\ < к < к2, убедимся

в существовании константы Сб и номера щ Е N независящих от функции $ Е С[0,п], 0 < а < Ь < п и 0 <е< (Ь — а)/2 таких, что для произвольных х Е [а + £,Ь — е] и п > п0 справедливо неравенство

ке[1,п-1\\[к1,к2\

<

f>D Е 1€(х)|<

ke[i,n-i\\[kltk2\

C6u\ (f, ln—. V П/ £

(34)

Положив в случае задачи Коши (18) Л = Лп, где Лп — собственное значение задачи Штурма-Лиувилля (2) получим тождество Un(x) = у(х, Лп), Следовательно, значения опе-

Л = Лп Л = Лп

1 п-1

lim (/(х) - LsnL(f,x) - - Е(/(хк+щ) - 1(хк,пМЬп(х)) =

к=0

lim (/(х) - Lf(/,х) - - £ фк,п Ш )

2 к~кх П^х - хк,п) )

0.

(35)

Зафиксируем произвольное х Е [а + £,Ь — е]. Выберем индекс р = р(х,Х) такой, что х Е [хр,п, хр+1,п), Тогда х = хр,п + а(хр+1,п — хр,п), вде а = а(х, А) Е [0,1)

_ = р — к + а + @к,п

х хк,п п •

п

В силу (14) равномерно по всем 1 < к < п и х Е [0,п] справедлива оценка

/к,п = /к,п(х) = 0(п-1).

х Е [ + , — ] п 1 < < п — 1

имеет место неравенство | /Зк,п1 < 1, справедлива оценка

(—1)к Фк,п

у ,

kk^; Р -к + а + ßk,n k:k^kr Р -к

р-к |>3; |p-k|>3;

sr^ а ___/ „ Ж

П

^ (-1)к Фк,п

<

C" №) Е

k:ki <к<к 2; | р-к |>3;

|р-к|(|р-к|- 2)

<

3 C5^( f,n ).

(36)

Учитывая обозначение (31) преобразуем сумму в (35) следующим образом

-

к

Е (¡(хк+1,п) - 1(хк,п)) IЙ(х)

к=к\

1 Е Фк,п&х) + - Е Фк,п&х).

2 ^ ■ 2

k:k^<k<k2; k:k^ < k<k2; |р-k |>3; |р-k| <3

(37)

Теперь из неравенства треугольника, (31), (36) и (35) равномерно по х Е [а + £,Ь - е] получаем оценку

1

к

ип(х) А'(-1)кфк,

Е (1(хк+1,п) - ¡(хк,п)) IП^(х)

к=к1

2и р — к

к=к1 1

<

2

2

1 2—

^ (—1)к Фк,п

^ (—1)к Фк,п

р — к + а ^ р — к

к:\р-к\>3 к:\р-к\>3

+

1 2—

^ Фк,пI!ьп(х) +2— ^ '

к,п \

\р—к\

0(1).

к:\р-к\<3 к:\р-к\<3

Из (38) и (35) равномерно по х Е [а + £,Ь — е] следует соотношение

(

11ш 1/(х) — Ь8пь(/,х) —

ип(х) А '(—1)кфк,п \

¡и р—к )

2 —

к=кх

0.

(38)

(39)

Оценим последнее слагаемое в (39) с помощью (16), (10), (32) и неравенства треугольника

и.п(х) (—1)кфк,п / о М ^ ' ф2т,п

2— ^ р — к к=кх 1

2

Е';

2— р — 2т

т=т\

+

М

2 —

к=кх 1

[0 , —]

ность натуральных чисел {/п}^=1 такую, что

— 1

1п = о(п), 11ш 1п = то, 11ш Ш1 ( /, — )/ Т = 0.

п^те л^те V п/ ^—' к

к=1

Теперь оценим вторую сумму в (40)

1 фк,п

2— ^ р — к к=кх 1

<

1 2—

Е '

Фк-,

к:\р-к\<1 п

—

+

1 2—

Е '

к:\р-к\> 1п

—

(41)

(42)

Из неравенства (32) следует

1 2—

Е '

—

1

< — < 2—

Е '

р—к

< - )Е 1.

— п

к=1

(43)

к:\р-к\< 1п к:\р-к\< 1п

Вторая сумма в (42) после преобразования Абеля в случае к Е [/с1, к2] : \р — к\ > 1п, может быть оценена таким образом

1 2—

^ ' фк,п ^ 4\\1\\с[а,Ь] , ^и ^

к:\р-к\> 1Г

1

п+1

к(к + 1)'

Следовательно, из (41), (42) и (43) равномерно по х Е [а + £,Ь — е] имеем соотношение

М Л' фк,

Е-

2— р—к

к=к! 1

= 0(1).

(44)

Из (39), (40), (44) и неравнства треугольника получаем оценку

Пх) — Ь^(/,х)

<

/(х) — Ь8пь(/,х) —

к2

Е'

и*(х) ("1)кФк,,

М ' ф

Е';

2т,п

— — 2 т

т=т\

+

2— ^ р—к к=кх 1

М А' фк,п

2— ^ р — к к=кх 1

+

+ 0(1) <

М^(I, [а, Ь], £) + о(1). —

Следовательно, из выполнения условия (30) следует равномерная сходимость (7), Предложение 2 доказано.

Для произвольных 0 < а < Ь < 0 <е< (Ь — а)/2 обозначим

Qn(f,[а, 6]>£) := У2

rt-i <rt<rtn < ■

Р1<Р<Р2

m=mi

2 '' f(x2m+1,n) — f(x2m,n) /д^

р — 2m

Следствие 1. Если функция f Е С[0,ж], то из соотношения,

limQn(f, [а, b], е) = 0 (46)

вытекает (7).

Доказательство. Условие (46) обеспечивает выполнение условия (30), которое, в свою очередь (в силу предложения 2), гарантирует истинность (7),

Замечание 5. Предложение 2 и следствие 1 являются, а,налогами, известных признаков A.A. Привалова равномерной сходимости, тригонометрических интерполяционных полиномов и классических интерполяционных многочленов Лагранжа по матрице узлов интерполирования П. Л. Чебышёва, [30].

4. Достаточное условие равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля внутри интервала (0,ж)

Теперь можно приступить к доказательству сформулированной ранее теоремы 1, Доказательство теоремы 1 Пусть функции v и ш удовлетворяют условию (6) и f Е С (ш1 [a, b]) lV -(v). Покажем, что выполняется соотношение (46), В силу равномерной непрерывности функции f на отрезке [0, ж], для любого положительного t существуют натуральные числа v и п1 такие, что для всех п > п1 (п Е N) одновременно справедливы два неравенства

ш(ПШ < 6

v / k=1

и

24||/||сМ] <ы (48)

Пусть п > щ. Найдём индекс ро, зависящий от п, а, Ь, £ и f на котором достигается максимум в соотношении (45)

m2

Qn( f, [а, b], £)= £ '

m= m1

Обозначим

f (x2m+1,n) — ( X2 m, n)

Ро — 2 m

Qn*(f, К Ь], £) :=

k2 ■ f(Xk+1,n) — f(Xk,n)

Ро — k

к=кх

Так как ^п*(I, [а, Ь],£) получается из $п(/, [а, Ь], е) добавлением неотрицательных слагаемых, то справедливо неравенство

I, [а, Ь], е) <Я*п*(I, [а, Ь], е). (49)

Разобьём Яп*(/, [а, Ь], е) на два слагаемых

•О** / <• г 7] \ \ л '/(хк+1,п) — I(хк,п) ^ (/, Ь], ^=2. -^--

к2

2 -г:—□-= Мр0) + ь2(ро),

к=к\

1ро - к1

(50)

где два штриха означают, отутетвие в сумме неотрицательных слагаемых и слагаемого с = 0

Сначала займёмся оценкой первой суммы. Для чего представим её в виде

= Е

к : к Е [ кь к2 ], 0 < | р0 - к1 < V

!(хк+1,п) - ¡(хк,п)

1ро - к

Е

к : к Е [кь к2], 0 < | р0 - Ц> V

!(хк+1,п) - ¡(хк,п)

1ро - к1

= 51Д(РО) + Я1,2(ро).

(51)

В случае {к : к Е [к1, к2], 0 < |р0 - к1 > и} = 0 считаем второе слагаемое равным нулю. Из неравенства (47) для всех п > п1 имеем соотношение

131Л(ро)1 < 2ш ( -п

(п) £

4 7 к=1

1 г к< з.

(52)

Теперь оценим ¿^(р^, Еслир0 удовлетворяет соотношению к1 < р0 - и < р0 < р0 + и < к2, то имеют место неравенства р0 - к1 > и и к2 - р0 > и. Используем (48) и после преобразования Абеля получим оценку

1^1,2(Р0)1 <

ЛХк+1,п) - ¡(Хк,п)

к=к1

Ро - к

+

к2

Е

к=р0+и

¡(Хк+1,п) - ¡(Хк,п)

- 0

<

ро-и-1

Е

к=кх к2-1

Е

к=ро

1(хк+1,п) - 1(хк1,п)

(ро - к)(ро - к- 1)

1(хк+1 ,п) /(хро

+

f(хр0-и+1,п ) f(хкl,п)

( к - ро)(к + 1 - ро)

ро - к1

/(хк 2 ,п) /(хро+У,п )

к2 - Ро

+

<

„им, ^ 1 , 4\\ ¡\\с[д,Ь] ^ Ш\\с[а,Ь] г Ч}\\С [а,Ь] > ■ - + - < - < "

г (г + 1)

V

з

(53)

Точно также доказывается (53) в ситуации, когда индекс р0 удовлетворяет одному из соотношений р0 - и < к1 < р0 < р0 + и < к2 или к1 < р0 - и < р1 < к2 < р0 + и. Из возможных вариантов остался случай, когда р0 - и < к1 < р1 < к2 < р0 + и. В этой ситуации 151^(^)1 = 0,

Из (51), (52) и (53) для всех п > п1 имеем оценку

151(Ро)1 < 2г.

(54)

Перейдем к изучению свойств суммы Б2(р0). Возьмём произвольное целое т :1 < т < к2 - ^ - 2 ж представ им Б2(р0) в виде

"/(хк+1,п) - ¡(хк,п)

0 < ^Ы = -2 Е

к : к Е [к1, к2], 1р0 - к1 < т

[ро - к

■Ь

2 Е

к : к е [h, к2],

"f(Xk+l,n) - f(xk,n) \ро - к\

\ро — к\ > m

S2,i(po) + £2,2 (ро). (55)

Выберем достаточно большой номер п2 > п1, зависящий только от параметров задачи Штурма-Лиувилля, начиная с которого в силу (14) будут выполняться неравенства max \xk+l>n — xk,n\ < 2П- Функция f е С(ш1 [а, Ь]), следовательно, согласно определению

l<k<n ' ' 2n

п2

Поэтому,

f(xk+l,n) — f(xk,n) > —10 Kfu(n).

"f(Xk+l,n) — f(Xk,n)

(56)

0 <^2ДЫ = —2

к : к е [ kl ,к2] \р0 — к\ <m

\ро — к\

<

m

10K> ш(П) е1

п/ z—' к

k=l

(57)

Далее оцепим сумму S2,2(p0).

0 < S2,2(po) = —2

к : к е [kl ,к2], \р0 — к\ > m

"f(Xk+l,n) — f(Xk,n) \ро — к\

<

2 Р0 l — (f(xk+l,n) — f(xk,n))-k=ki

k2

„ к + 2 Е к V

Ро — к , , , к — Ро

к=ро +т+1

Если р0 — т < к^и р0 + т > к2, то в (58) исчезает соответственно первое или второе слагаемое, В случае р0 — т< к1 < к2 < р0 + т, суммы Б2,2(р0) в (55) вообще нет. Принимая во внимание то, что f Е V(у), с помощью преобразования Абеля и (56) оценим (58)

0 < 5*2,2(Ро) <

— (f(xk+l,n) — f(xk,n)) —

(58)

(

ро—m—l ро—m—l

Е — ( /(xk+l,n) — f(xk , n — р — m— l Е — ( f(xj+l,n) — f(xj,n)) — k=ki + ^^ j=k +

Ро — kl

k=k1+l

(Ро — к)(ро — к + 1)

k2 k

Е —( f(xk+l,n) — f(xk,n))— k2 — l Е —(f(xj+l,n) — f(xj,n))—'

k=Po +m+l + ^^ j=Po+m+l | <

k2 — Ро

k=po +m+l

(Ро — к)(ро — к— 1)

((pо — fcl) — m — 1)2, 5K/W(n)

р — m— l

Ро — kl

((k2 — ро) — m — 1)2, 5Kfw(l)

+ Mf y.

k=ki+l k2 —l

у(ро — m — k) (ро — &)(ро — fc + 1)

+

k2 — Ро

+ Mf У v(k — Ро — m) l<

fk=P2+m+i (p о — fc)(p о —1)

2 Mf

(Po—ki —l

E

k=m+l

г>( к — m) ^ l v(fc — m) ^ ^

fc( fc + 1) ^ k(k + 1)

. k=m+l ' k=m+l v '

) + 10 MП) <

к2—ki — 1 ч

4M, £ f + ш(

Отсюда, (55), (57) и (58) имеем

k=m+1

m 1 к2 — ki-1 ,, )

0 SSMft) < 10А>(п) £ 1 + 4M, Л ™ +10^).

Условие (6) за счет неотрицательности обоих слагаемых эквивалентно

m .. k2 — ki — 1 /, s

1 Г /^А 1 v(k)

lim min max< ш — > — , > , „ } = 0.

п^те Km^Q-fo- 1 {. \п/ к

к=1 k=m+1

Поэтому существует номер п3 Е N, п3 > п2, такой, что для произвольного п > п3 найдётся m : 1 < m < к2 — к1 — 1 для которого справедливо неравенство

0 < S2(po) < 3. (59)

Из (49), (50), (51), (54) и (59) получаем, что для произвольного t > 0 существует помер п3 Е N такой, что для всех п > п3 найдётся m : 1 < m < к2 — к1 — 2, для которого справедливы неравенства

QXf, [а, b], е) < Q*n*(f, [а, b], е) <t.

Теперь теорема 1 (в случае f Е С (ш1 [а, Ь]) П V —(v)) следует из предложения 1,

Для доказательства теоремы 1 в случае f Е С(шг[а, b]) nV +(w) достаточно заметить, что если f Е С (шг [а, 6]) П V+(w), то —f Е С (ш1 [а, 6]) П V— (v) и оператор ЬПь( f, ■) — линейный. Теорема 1 доказана.

Замечание 6. В случае когда, f Е С (ш1 [а, Ь]) П V (v) или f Е С (шг [а, 6]) П V (v) (v есть

( п, )

условия (6) для, равномерной сходимости тригонометрических интерполяционных полином,ов и алгебраических интерполяционных многочленов Лагранжа в случае матрицы узлов интерполирования П. Л. Чебышёва.

В статье [31] установлена равномерная сходимость классических тригонометрических рядов Фурье для 2ж—периодических, функций из класса, f Е С (и [а, Ь]) П V (v), где функции и и v являются, классическими модулем непрерывности, ш( f, $) и модулем из-( п, )

Замечание 7. Из теорем,ы, 1 следует, что если, функции f1 Е С(ш\[а,Ь]) П V+(v 1) и f2 Е С(и12[а, Ь]) П V—(v2), а, пары функций (шг), где г = 1, 2, удовлетворяют соотношению (6), то, несмотря на то, что линейная комбинация f = af1 + ßf2 может не принадлежать ни одному из этих классов, интерполяционный процесс Лагранжа-Штурм,а,-

Замечание 8. Каждый из классов функций: Дини-Липшица lim ш(f, 1/п)1пп = 0

п^-те

(см,., [1]J и Крылова, (непрерывные функции ограниченной вариации) являются, собственным, подмножеством функционального класса, определяемым соотношением (6).

Замечание 9. Если f Е С[0,^], то имеют место двусторонние оценки

У+(п, f) < ь(п, f) < 2 (у+(п, /) + || fWc^]) ,

—V —(п, f) < у(п, f) < 2 — —(п, f) + W fWc[0,.]) .

Следствие 2. Из теоремы 1 следует, что любое из условий lim ш1 (f, 1/п) 1пп = 0 или,

п^-те

lim шг (f, 1/п)1пп = 0 гарантирует справедливость соотношения, (7).

п—>оо

ко,я, что

Е ^ < («о)

k=l

то для любой функции f е С[0,^] П V±(v) справедливо соотношение (7).

последовательности натуральных чисел {mn}^c=l одновременно удовлетворяющей двум условиям lim mn = то и lim ш( f, n/n)lnmn = 0, Следовательно, сходимость ряда (60)

n—^^о n—^^о

классов С[0,^] П V+ (и^и С[0,^] П V —(v). Следствие 3 доказано,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Натансон Г.И. Об одном, интерполяционном процессе // Учён, записки Ленинград, пед. ин-та им. А.И. Герцена. 1958. Т. 166. С. 213-219.

2. Трынин А.Ю. О расходимости интерполяционных процессов Лаграмжа, по собственным функциям задачи, Штурма-Лиувилля // Известия высш. уч-ых заведений. Математика. 2010. № 11 . С. 74-85.

3. Трынин А.Ю. Об отсутствии устойчивости интерполирования по собственным функциям задачи, Штурма-Лиувилля // Известия высш. уч-ых заведений. Математика. 2000. № 9(460) . С. 60-73.

4. Трынин А.Ю. Теорем,а, от,счёт,ов на, отрезке и, её обобщения. LAP LAMBERT Academic Publishing RU. 2016. 479 с.

5. Трынин А.Ю. Дифференциальные свойства нулей собственных функций задачи, Штурма-Лиувилля // Уфимск. матем. журн. 2011. Т. 3, № 4. С. 133-143.

6. Трынин А.Ю. Об одной, обратной, узловой задаче для оператора Штурма-Лиувилля 11 Уфимск. матем. журн. 2013. Т. 5, № 4. С. 116-129

7. Кашин Б.С. , Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: Изд-во АФЦ, 1999.

8. Новиков И.Я. , Стечкин С.Б. Основы, теории, всплесков // Успехи математических наук. 1998. Т. 53. № 6(324). С. 53-128.

9. F. Stenger Numerical Metods Based on Sine and Analytic Functions . N.Y. : Springer Ser. Comput. Math., 20 Springer-Verlag, 1993.

10. Добеши И. Десять лекций, по вейвлетам. Ижевск: «Регулярная и хаотическая динамика». 2001.

11. P.L. Butzer A retrospective on 60 years of approximation theory and associated fields // Journal of Approximation Theory. 2009. Vol. 160. P. 3-18.

12. M. Richardson, L. Trefethen A sine function analogue of Chebfun// SIAM J. SCI. COMPUT. 2011. Vol. 33. No. 5. P. 2519-2535.

13. E. Livne Oren, E. Brandt Achi MuST: The multilevel sine transform // SIAM J. on Scientific Computing. 2011. Vol. 33. № 4. P. 1726-1738.

14. Marwa M. Tharwat Sine approximation of eigenvalues of Sturm^Liouville problems with a Gaussian multiplier // Calcolo: a quarterly on numerical analysis and theory of computation. 2014. Vol. 51. Issue 3. September. P. 465-484.

15. A.Yu. Trvnin, V.P. Sklyarov Error of sine approximation of analytic functions on an interval // Sampling Theory in Signal and Image Processing. 2008. T. 7. № 3, Sep. P. 263-270.

16. Трынин А.Ю. Об оценке аппроксимации, аналитических функций интерполяционным оператором по синкам // Математика. Механика. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та. 2005. Т. 7. С. 124-127.

17. Трынин А.Ю. Оценки функций Лебега, и, формула Нева,и, для sine-приближений непрерывных функций на отрезке // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48. № 5. С. 11551166.

18. Трынин А.Ю. Критерии поточечной и равномерной сходим,ост,и, синк-приближений непрерывных функций на отрезке // Математический сборник. 2007. Т. 198. № 10. С. 141-158.

19. Трынин А.Ю. Критерий равномерной сходимости sine-приближений на отрезке // Известия высш. уч-ых заведений. Математика. 2008. № 6. С. 66-78.

20. Трынин А.Ю. Необходимые и достаточные условия равномерной на отрезке синк-аппроксимации функций ограниченной вариации // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. 16:3. С. 288-298.

21. V.P. Sklyarov On the best uniform sinc-approximation on a finite interval // East Journal on Approximations. 2008.14(2). P. 183-192.

22. A. Mohsen, M. El-Gamel A sine-collocation method for the linear Fredholm integro-differential equations // Z. Angew. Math. Phvs. 2007. Vol. 58. № 3. P. 380-390.

23. Трынин А.Ю. О расходимости синк-приближений всюду на, (0,^) // Алгебра и анализ. 2010. Т. 22. № 4. С. 232-256.

24. Умаханов А.Я., Шарапудинов И.И. Интерполяция функций суммами Уиттекера и их модификациями: условия равномерной сходим,ост,и // Владикавк. матем. журн. 2016. 18:4. С. 6170.

25. Трынин А.Ю. О некоторых свойствах синк-аппроксимаций непрерывных на отрезке функций, Уфимский математический журнал. 2015. 7, № 4. С. 116-132.

26. Трынин А.Ю. О необходимых и достаточных условиях сходим,ост,и синк-аппроксимаций// Алгебра и анализ. 2015. 27:5. С. 170-194.

27. Трынин А.Ю. Приближение непрерывных на отрезке функций с помощью линейных комбинаций синков // Известия высш. уч-ых заведений. Математика. 2016. № 3. С. 72-81.

28. Трынин А.Ю. Обобщение теоремы от счёт ов Уиттекера-Кот ельникова-Шеннона для непрерывных функций на отрезке // Математический сборник. 2009. Т. 200. № 11. С. 61108.

29. Трынин А.Ю. Об операторах интерполирования по решениям задачи Коши и многочленах Лагранжа, Якоби // Известия Российской Академии Наук. Серия математическая. 2011. Т. 75. № 6. С. 129-162.

30. Привалов A.A. Теория интерполирования функций. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1990.

31. Z.A. Chanturiva On uniform convergence of Fourier series // Math. USSR-Sb. 1976. vol. 29. issue 4. P. 475-495.

32. Голубов Б.И. Сферический скачок функции и средние Бохнера-Рисса сопряженных кратных рядов и интегралов Фурье // Матем. заметки. 2012. 91(4). С. 506-514.

33. Голубов Б.И. Об абсолютной сходим,ост,и кратных рядов Фурье // Матем. заметки. 1985. 37:1. С. 13-24.

34. Дьяченко M.II. Об одном, классе м,ет,одов суммирования кратных рядов Фурье // Математический сборник. 2013. 204:3. С. 3-18.

35. Скопина М.А., Максименко И.Е. Многомерные периодические всплески // Алгебра и анализ. 2003. 15:2. С. 1-39.

36. Дьяченко М.И. Равномерная сходим,ост,ь гиперболических частичных сумм кратных рядов Фурье ff Матем. заметки. 2004. 76:5. С. 723-731.

37. Иванникова Т.А., Тимашова Е.В., Шабров С.А. О необходимом условии минимума квадратичного функционала, с интегралом Стилтьеса и нулевым коэффициентом при старшей производной на, части интервала // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. 13:2(1). С. 3-8.

38. Фарков Ю.А. О наилучшем линейном приближении голоморфных функций // Фундамент, и прикл. матем. 2014. 19:5. С. 185-212.

39. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. \!.. 1953. Т. 1,2.

Александр Юрьевич Трынин,

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, ул. Астраханская, 83 410012, г. Саратов, Россия E-mail: [email protected]