Структура оптимального интерполяционного пространства в интерполяционных тройках пространств p-суммируемых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2009, Том 11, выпуск 1, С. 9-21

УДК 517.982

СТРУКТУРА ОПТИМАЛЬНОГО ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПРОСТРАНСТВА В ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ТРОЙКАХ ПРОСТРАНСТВ р-СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

А. И. Ефимов

Для пространств р-суммируемых функций А, В, С, Д, Е, на которые наложены некоторые дополнительные ограничения, найден явный вид банахова пространства Е(Е) такого, что тройка пространств А, В, Е интерполяционна относительно тройки пространств С, Д, Е тогда и только тогда, когда пространство Е(Е) вложено в пространство Е.

Ключевые слова: оптимальное интерполяционное пространство, интерполяционная орбита, пространство суммируемых функций.

В настоящей статье найден явный вид банахова пространства, которое является оптимальным интерполяционным пространством, как это понимается в [1], для некоторых интерполяционных троек пространств р-суммируемых функций.

Определение 1. Пусть А, В и С, В — две банаховы пары, Е и Р — промежуточные пространства между А и В, С и В соответственно. Тройка (А, В,Е) называется интерполяционной относительно тройки (С, В, Р), если для каждого ограниченного оператора из пары А, В в пару С, В его сужение на Е является ограниченным из Е в Р.

Теорема 1 [1, с. 40]. Пусть Е — промежуточное пространство для банаховой пары А, В, а С, В — другая банахова пара. Существует промежуточное для пары С, В пространство Р(Е), обладающее тем свойством, что тройка А, В, Е интерполяционна относительно тройки С, В, Р тогда и только тогда, когда Р(Е) С Р.

Такое пространство Р(Е) называют оптимальным интерполяционным пространством.

Под пространством р-суммируемых функций будем понимать:

Определение 2. Пространством Ьр(0, р-суммируемых функций на полуоси [0, будем называть совокупность классов эквивалентности функций

1 \ р

I |/(х)|р с1х\ <

Определение 3. Пространством Ьр(а(х), (0, р-суммируемых функций на по-

луоси [0, с весом а(х) > 0 будем называть совокупность классов эквивалентности

функций

1

' \ р /(х) : ||/||ь1(о(х)>(0>+те)) = I / |/(х)|РаР(х) | <

© 2009 Ефимов А. И.

Для нахождения оптимального интерполяционного пространства воспользуемся теорией орбит, в частности, работой [3] Гуннара Спарра. Определим К-функционал так же, как ив [2]:

Определение 4. К-функционалом элемента х £ А + В, где А, В — банахова пара, называется:

К(¿,х; А, В)= (||х1|Ц + ¿||х2||в}, ¿> 0.

Определение 5. К-орбитой элемента а £ X + Х2 в У1 + У2 называется

К (¿,у; Г1,Г2)

KOrb(a; (Xi, X2) ^ (Yi, Y>)) = y G Yi + Y> : sup y' " 2' <

l t>0 K (t, a; Xi, X2)

где Xi, X2 и Yi, Y2 — две банаховы пары. При этом можно рассматривать

KOrb(a;(Xi,X2) ^ (Yi,Y>))

как банахово пространство с нормой

,, ,, K(t,y; Yi,Y>)

llyУкОгЬ(а) =s>p k(t,a; Xi, X2)'

Определение 6. Орбитой элемента a G Xi + X2 в Yi + Y2 называется Orb(a; (Xi,X2) ^ (Yi,Y>)) = {y G Yi + Y> : (3T G L((Xi,X2), (YbYi))) Ta = y} ,

где Xi , X2 и Yi , Y2 — две банаховых пары.

Замечание 1. Пусть E — промежуточное пространство для банаховой пары Xi, X2 и a G E. Тогда можно рассматривать

Orb(a;(Xi,X2) ^ (YbY>))

как банахово пространство с нормой

lly lorb(a) =inf {||T ||L((X1>X2),(Y1>Y2)) : T G L((Xi,X2), (Yi,Y2)),Ta = y||a||e } .

Далее будем рассматривать орбиту как банахово пространство с нормой || ■ ||orb(a)-Определение 7. К(Р1Р2)-функционалом элемента x G A + B, где A и B — банахова пара, называется:

K(pi,p2)(t,x) = K(pi>p2)(t,x; A, B) = _inf {|xi|A1 + t||x2||£}, t> 0.

X—X1 ~~p X2

В работе [3] было доказано:

Теорема 2 [3, с. 240-244]. Если Lp1a(X,^), Lp2b(X,^) и Lp1C(X,v), Lp2d(X, v) —две банаховых пары, где 1 ^ pi, p2 < и x G Lp1a (X, + LP2b(X,ß), то

y G Orb(x; (Lp1a(X,^), Lp:ib(X,^)) ^ (Lp^(X,v), LP2d(X,v)))

тогда и только тогда, когда

y G KOrb (x; (Lp1a(X, Lp2b(X, ^ (Lp1c(X, v), Lp2d(X, v))),

где

Lpa (X,^) = <

/ (x) : У/II Lpa (X,^)

|f (x)|pap(x) I <

vX

Лемма 1 [3, с. 236-237]. Пусть Ai, A 2 и B\, B2 —две пары банаховых пространств, тогда для любых 0 < pi, Р2 < выполняется

K(p pn) (t, x; Ai, A2) K(t,x; Ai, A2)

sup ^ /-^—;тт < ^ sup ^ <

t>o ^pi^)^y;BbB2)

t>0 K(t,y;Bi,B2)

Для доказательства основного результата настоящей статьи нам потребуется несколько вспомогательных утверждений:

Лемма 2. Для любых чисел а, в и любых положительных чисел 7, 5 справедливо неравенство

/а 7\ а + 7 /а 7\

т1п о>Т -тах -БА • (1)

\в 5/ в + 5 \в 5/

Лемма 2 тривиальна. В частности, справедливость леммы очевидна, если неравенству (1) придать механический смысл. Пусть ^, ^ — координаты точек на числовой прямой, а в, 5 — массы этих точек. Тогда будет координатой центра масс системы данных точек.

Лемма 3. Пусть а(х) > 0 Vх £ (0, р > 0. Для Ь > 0 введем множества

Qi(t) Н x > 0 : ap(x) ^ 7 !> , Q2W = (0, \ Qi(t).

t

Тогда, если существуют интегралы

J |/(x)|p dx и J |/(x)|pap(x) dx, Qi(t) Q2(t)

то

K(p,p)(t,/(x);Lp(0, +^),Lp(a(x), (0, +то))) = J |/(x)|pdx +1 J |/(x)|pap(x) dx.

Qi(t) Q2(t)

< Непосредственно из определения следует K(p,p) (t, /(x); Lp(0, Lp(a(x), (0, +то)))

inf ! I |/(x)|p dx + t I |/(x)|pap(

f (x)=fi(x)+f2(x)

Э +TO 1

|/(x)|p dx +1 J |/(x)|pap(x) dx.

o

o

Легко заметить, что при этом инфимум будет достигаться на следующем разложении / (х) = / (х) + /2(х):

/i(x) =

/(x) Vx : ap(x) ^ i, 0 Vx : ap(x) < i

Го Vх: .-и > 1,

^^ 1/(ж) Vж : аР(х) < 1.

Тогда

к(р,р) (¿, /(х); Ьр(0, Ьр(а(х), (0, +то)))

|РаР(х) ях — / /(х) IР ях + Ъ / /(х) |РаР(

— / |/1(х)|Р^х + ^ |/2(х)|РаР(ж) йх — I |/(ж)|Р йх + Ъ I |/(х)|РаР(х) йх. > 0 0 Огф

Следствие 1. Пусть функция а(х) > 0 монотонно убывает для любого х £ (0, Тогда, если для любого положительного значения переменной х выражение ¿аР(х) принимает значение меньше 1, то

К(р,р)(Ъ, /(х); £р(0, ¿р(а(х), (0, +то)))

— * / |/(х)|РаР(х) йх — Ъ||/(х)УРр(в(х),(о>+те)) 0

и

в 1( 4Р ) +ГО

К(Р,Р)(Ъ,/(х); £р(0, ¿р(а(х), (0, +&>)))— J |/(х)|Рйх + Ъ J |/(х)|РаР(х) йх

0 в-1( £)

в противном случае.

Следствие 2. Пусть функция а(х) > 0 монотонно возрастает Vх £ (0, Тогда,

если для любого положительного значения переменной х выражение Ъ ■ аР(х) принимает значение больше 1 , то

К(р,р)(Ъ,/(х); ¿р(0, +^),Ьр(а(х), (0, +^))) — | |/(х)|Рйх — ||/(х)^^)

0

и

в 1( )

К(р,р)(¿,/(х); £р(0, +то),Ьр(а(х), (0, +то))) — J |/(х)|Р йх + Ъ J |/(х)|РаР(х) йх

в-1 (£) 0

в противном случае.

Лемма 4. Пусть Е — промежуточное пространство для банаховой пары А, В, а С, О — другая банахова пара. Тогда пространство

^(Е)— У ОгЬ(а; (А, В) ^ (С, О))

вее

обладает тем свойством, что тройка (А, В, Е) интерполяционна относительно тройки (С, О, ^) тогда и только тогда, когда ^(Е) С ^ (т. е. ^(Е) — оптимальное интерполяционное пространство) .

и

< Обозначим ОгЪ(а) := ОгЪ(а; (А, Б) ^ (0,0)).

Пространство Е(Е) содержит все элементы вида Тх, где х £ Е и Т £ Ь(АБ,СП). Значит, тройка (А,Б,Е) является интерполяционной относительно тройки (С,0,Е(Е)) и, если Е(Е) С Е, то тройка (А,Б,Е) интерполяционна относительно (С,0,Е). По построению пространство Е(Е) состоит из элементов вида

У = ^ У*> Е 1М1огЬ(а4) < Уг = Т(Ч, Т £ Ь(АБ,СВ).

г а^Е

При этом будем считать, что ||аг||Е = 1. Этого всегда можно добиться, так как из уг = Т*а* следует уг = Тгаг, ||аг||Е = 1, где аг = ц^ц^а* и Тг = ||а*||Е ■ Т*. Покажем теперь, что если тройка (А, Б, Е) интерполяционна относительно тройки (С, О, Е), то Е(Е) С Е. По определению нормы в ОгЪ(аг) найдется оператор Тг £ Ь(АБ,СП) такой, что

||Тг^ЦАВСБ) ^ ||Уг|ОгЪ(а4) + ^.

Поэтому

Е = ^ ЦТагУ ^ ЦЩе^р ЫЬ = ^ ЦЩе^р

г г г г

< С ^ ЦТг ЦцАВ,СВ) < С ^ ^ЦУг ||огЪ(а4) + = ^ 1 + Е Ьг ИогЪ(а4^ <

и, следовательно, У £ Е. Таким образом, Е(Е) С Е.

Лемма 5. Пусть Х\, Х2 и У\, У2 — две банаховых пары и а £ Х\ + Х2, а = 0, У £ У + У2, У = 0. тогда следующие утверждения равносильны: К (г, у; УьУ,) ^

(1)8Л К^^Х2) <

(2)^ щОХ^ < +- и Н5Т < +«,

г^о К (г, а; Хг,Х2) г^+ж К (г, а; Хг,Х2)

< Так как, согласно [2], К-функционал представляет собой положительную и непрерывную функцию переменной г > 0, то функция

/ К (г, У; Уг,У2)

K(t, a; Xi,X2)

также будет непрерывна для любого t > 0. Из сказанного следует, что на любом отрезке [ti,t2], 0 < ti < t2, функция f (t) является ограниченной.

Пусть выполняется первое утверждение. Предположим, что при этом не выполняется второе. Не нарушая общности рассуждений, можно считать

limfт = ш K((ш= +»•

t^oJKJ t^o K (t, a; Xi,X2)

Отсюда следует, что существует монотонно убывающая последовательность положительных чисел {un}~=i такая, что

lim f (un) =

Поэтому

(3 n G N) f (un) > sup-K (ty; YiY2)

t>0 K(t, a; Xi,X2)'

что является невозможным, т. е. предположение о несправедливости второго утверждения привело нас к противоречию.

Пусть теперь выполняется второе утверждение, покажем, что тогда выполняется и первое. Обозначим

— K(t,y; Yi,Y2) , R ^ K(t,y; YbY>) ^

A = lim -tt--^ ^ ч < B = lim -—-^ ^ ч <

t^o K(t, a; XbX2) K(t, a; XbX2)

тогда для фиксированного e > 0 существует h > 0 такое, что для любого t £ (0, h) выполняется f (t) < A + e и для того же самого e существует l > 0 такое, что при любом t G (l, выполняется f (t) < B + e. Кроме того, как сказано выше, 3 C > 0 : V t £

[h, l], f (t) < C. Таким образом,

SUP KУ; З1, < max (A + e, B + e, C) < t>o K(t, a; Xi,X2)

что и завершает доказательство. >

Кроме того, так как функционал K(pi,p2) также представляет собой положительную и непрерывную функцию переменной t > 0, то дословно повторяя выкладки предыдущей леммы получим:

Следствие 3. Пусть Xi, X2 и Yi, Y2 — две банаховых пары и a G Xi + X2, a = 0, y £ Yi + Y2, y = 0. Тогда следующие утверждения равносильны:

m K(Pi,P2)(t,y;Yi,Y2) ^

(1) suP k—(t a; X X) <

t>0 K(pi,p2)(t, a; Xi,X2l

-— K(pi,p2) y; Yi, l — K(pi,p2)(t,y; Yb ^ ^

(2) lim тт^-77-^ „ ч < и lim —^---<

K(pi,p2) (t, a; Xi, X2) K(pi,p2)(t, a; Xi, X2)

Лемма 6. Пусть f (x) > 0, g(x) > 0, h(x) > 0 при любом x > 0, и функции f (x) и g(x) интегрируемы по Лебегу на интервале (0, v) для любого v > 0, а функция h(x) непрерывная и монотонно убывающая на (0, Если существует D > 0 такое, что для

любого v > 0

v v

/ f (x) dx ^ D g(x) dx,

то

J f (x)h(x) dx ^ D J g(x)h(x) dx (V v > 0). 0 0

< Обозначим

A+(v) := {x G (0, v] : D ■ g(x) - f (x) ^ 0}, A-(v) := {x G (0, v] : D ■ g(x) - f (x) < 0}.

Можно представить множества A+(v) и A-(v) в виде следующих объединений измеримых множеств

A+(v) = (UA+(v)j UB+(v) и A-(v) = (UA"(v)j UВ

где

(V i) sup A+ (v) ^ inf A- (v)

V

V

И.

I (Dg(x) - f (x)) dx > I (f (x) - Dg(x)) dx,

A+(v) Ar (v)

а множества B + (v) и B-(v) имеют нулевую меру. Тогда

h(sup A+(v)) J (Dg(x) - f (x)) dx ^ h(inf A-(v)) J (f (x) - Dg(x)) dx ^

A+(v) Ar (v)

J (Dg(x) - f (x))h(x) dx ^ J (f (x) - Dg(x))h(x) dx ^

A+(v) Ar (v)

J (Dg(x) - f (x))h(x) dx ^ J (f (x) - Dg(x))h(x) dx ^

A+(v) Ar(v)

J f (x)h(x) dx + J f (x)h(x) dx ^ J Dg(x)h(x) dx + J Dg(x)h(x) dx ^

Ar(v) A+(v) A+(v) Ar(v)

v v

J f (x)h(x) dx ^ D J g(x)h(x) dx. > 0 0

Сформулируем основной результат работы и проведем его доказательство. Теорема. Пусть a(x), b(x), d(x) — дифференцируемые монотонно убывающие на [0, +<) функции такие, что

lim a(x) = 0, lim b(x) = 0, lim d(x) = 0

ж^+те ж^+те ж^+те

a(0) = 1, b(0) = 1, d(0) = 1

и для каждого x ^ 0 справедливо b(x) ^ d(x) ^ 1. Обозначим c(x) = d(b-1 (a(x))). При p ^ 1 тройка пространств

(Lp(0, +<x>), Lp(b(x), (0, +<)), Lp(d(x), (0, +<)))

является интерполяционной относительно тройки

(Lp(0, +<), Lp(a(x), (0, +<)), F)

тогда и только тогда, когда

Lp(c(x), (0, +<)) С F,

где F — банахово пространство. Т. е. пространство Lp(c(x), (0, +<)) является оптимальным интерполяционным пространством.

< Согласно лемме 4, оптимальное интерполяционное пространство можно рассматривать как сумму орбит

Orb(g(x) : (Lp(0, +<),Lp(b(x), (0, +<))) ^ (Lp(0, +<),Li(a(x), (0, +<))))

элементов g(x) пространства E = Lp(d(x), (0, +<)), которое для краткости обозначим

U Orb(g(x)) с нормой || ■ Ну Orb(g(x)).

g(x)eE

Возьмем f (ж) G Lp(c(x), (0, +ro)) и покажем, что существует /(ж) G Lp(d(x), (0, +ro)) такой, что f (ж) принадлежит орбите

Orb(g(x) : (Lp(0, +то), Lp(b(x), (0, +то))) ^ (Lp(0, +то), Lp(а(ж), (0, +то)))).

В качестве такого /(ж) положим //(ж) = f (а-1(6(ж))) ((а-1(6(ж)))')p , тогда, так как lim а-1(6(ж)) = и lim а-1(6(ж)) = 0, то

ж—+те ж—+0

1

' +те \ p

yg(x)yLp(d(x),(0,+^)) = I J |5(ж)Г d (x)dx^

)

1

+те \ p

J |f (а-1 (b(x)))|p |(а-1(6(ж)))'| dp(x) dx 0

i

' +те \ p

-1

|f (t)|pdp(b (a(t))) dt I = f (ж)УЬр(с(ж),(о>+те)),

0

т. е. //(ж) G Lp(d^), (0, +го)). Рассмотрим предел

+те +те

/ |f (ж)|paP(ж) dж - |f (a-1(6(i)))|p6p(i)(a-1(6(i)))' dt

V— a i(b(v)) -p— v

lim —-- = lim ---

v—>те +те v—>те + те

/ |</(ж)|pbp(ж) dж / ^(ж^Ь^ж) dж

vv

А для предела

a-1(b(v)) a-1(b(v))

f |f (ж)|p dж f |f (ж)|p dж lim —-= lim ——0-= 1.

v—те v v—те a 1(b(v))

Л^Ж dж f |f (t)|p dt

00

Согласно следствию 1

K(p,p)(t, f (ж); Lp(0, +ю), Lp(afo), (0, +ю)) t—K(p,p)(t,¿т(ж); Lp(0, +ro),Lp(&(ж), (0, +то))

a -(tp) +те

/ |f (ж)^ dж + t / |f (ж)|pap(ж) dж

о a-i( i)

v— a (tp )

= lim

v—

те b-L(tp) +те

/ |^(ж)|p dж + t / ^(ж^б^ж) dж 0 b-1(tp)

a-1(b(v)) +те

/ |f (жЖ dж + / |f (жЖа^ж) dж

-- 0 v0(v) a-1(b(v))

= lim -.

--те

0 |¿/(ж)|p dж + / ^(ж^ж) dж

Далее, используя неравенство леммы 2

. а 7\ а + 7 /«7

тш 77, т ^ ^-7 ^ тах —, Т

1чв ¿/ в + § \в §

получаем

1 = тш

( а-1(Ь(^)) 1 +ж \

/ I/(х)|р ¿х -^ЗК^Г (х)|РаР(х) ^

- 0 -р— У а-1(5(^)Г

--; 11т —

Ит

— — ж

/ |д(х)|р ^х

+ж

-ф^ — |5(х)|р№(х) ^х

^ 11т

——ж

V

а-1(Ь(—)) +ж

/ I/(х)|р ¿х + / |/(х)|рар(х) ¿х

0 а-1(Ь(р))

/

+ж

0 |^(х)|р ¿х + / |5(х)|рьр(х) ¿х

< тах

следовательно,

а-1(Ч—)) З --ж \

I |/(х)|р ¿х ТЩ / |/(х)|РаР(х)

V— 0 -л— у а 1(ь(р))

11т ---; 11т

——ж — , , ч , ——хж

V

/ |#(х)|р ^х

--ж

-ф) — |5(х)|рбр(х) ¿г

= 1,

/

_ К(р,р) (Ь, /(х); ¿р(0, +ю), ¿р(а(х), (0, +ю)) = 1 +ж К(р>р)(^,5(х); ¿р(0, +^),Ьр(6(х), (0, +го)) '

Если же Ь стремится к нулю, то — К(р,р) (Ь,/(х); ¿р(0, +^),¿p(а(x), (0, +^)) =цтЬ|/|Ьр(а(х),(0,+ж)) = ||/|Ьр(а(х),(0,+ж))

11т

0 К(р,р)5(х); ¿р(0, ¿р^х^ (0, +^)) Г—0(Ь(х),(0,+ж)) Тогда, согласно следствию 3,

К(р,р) (Ь, /(х); £р(0, +го), Ьр(а(х), (0, +го))

_(а(х)_

|5|Ьр(Ь(х),(0,+ж))

вир

¿>0 К(р,р)(Ь,5(х); ¿р(0, +^),Ьр(6(х), (0, +го))

а по лемме 1

8и К(¿, /(х); ¿р(0, +ю), ¿р(а(х), (0, +ю)) <

Это означает, что /(х) является элементом К-орбиты д(х), а по теореме [3] и элементом орбиты д(х).

Покажем теперь, что норма пространства и ОгЪ(#(х)) мажорируется нормой прочее

странства ¿р(с(х), (0, +го)).

Возьмем произвольный элемент

/(х) £ и ОгЪ(#(х))

——ж

5(х) = / (а-1(6(х)))((а-1(6(х)))')р • Рассмотрим оператор Т : д(х) ^ / (х), где /(х) — такая функция, что

£(х) = / (а-1(6(х)))((а-1(6(х)))')р • Так как для норм выполняются следующие равенства:

ИТяМН^,^) = [ |/(х)|р¿х = / |/(а-1(6(х)))|р(а-1(6(х)))'^х = Н^х)^,^)

11Т£(х)1ГМа(*),(0,+^) = / |/(х)|РаР(х) ^х

0

-1(Ь(х)))1 Р(а-1

= |/(а-1(6(х)))|р(а-1(6(х)))'6Р(х) ¿х = У5(х)УРЬр(Ь(х);(0)+те))

х), 0

то оператор Т является непрерывным как действующий из банаховой пары Ьр(0, Ьр(6(х), (0, в банахову пару Ьр(0, Ьр(а(х), (0, с нормой равной единице.

Так как Тс/(х) = / (х), то д(х) £ Е. Тогда

II/(х)Уи ОгЪ(я(х)) < II/(х)||ОгЪ(а(*))

ж),(0,+го))),(Ьр(0,+го),Ьр(а(ж),(0,+го))))

1 \ р

Е =

|/(а-1(6(х)))|р(а-1(6(х)))'^р(х) ^х I = НДх)^^^)).

Тем самым, доказано вложение Ьр(с(х), (0, в оптимальное интерполяционное

пространство.

Покажем теперь, что сумма орбит

ОгЪ(#(х) : (Ьр(0, Ьр(6(х), (0, +то))) ^ (Ьр(0, Ьр(а(х), (0, +то))))

по всем #(х) £ Ьр(^(х), (0, вложена в пространство Ьр(с(х), (0, +го)). Покажем, что

для любой функции

#(х) £ Ьр(^(х), (0, +го))

орбита

ОгЪ(д(х) : (¿р(0, Ьр(6(х), (0, +то))) ^ (¿р(0, Ьр(а(х), (0, +то)))) вложена в Ьр(с(х), (0, +го)). Возьмем функцию /(х), принадлежащую орбите

ОгЪ(д(х) : (Ьр(0, ¿р(&(х), (0, +то))) ^ (Ьр(0, Ьр(а(х), (0, +то)))), и сначала докажем, что /(х) £ Ьр(с(х), (0,

и

и

Так как

su K(t, f (x); Lp(0, +ю), Lp(a(x), (0, +ю)) <

то

lim K(p,p)(t, f (x); Lp(0, +re), Lp(a(x), (0, +ю)) K(p,p) (t, g(x); Lp(0, +^),Lp(6(x), (0, +ro))

a-1(b(v))

/ |f (x)|p dx + / |f (x)|pap(x) dx

"Л 0_Vb(v) g-1(b(v))_

= lim --- <

v—ж v

0 |g(x)|p dx + / |g(x)|pbp(x) dx

0

Далее, используя, как и выше, неравенство

/а y\ а + Y /а Y

mm т ^ ^-г ^ max —, т

Ve в + ^ \в 5

справедливое для положительных чисел, приходим к выводу, что сходится, по крайней мере, один из двух пределов

a-1(6(v))

f |f (x)|p dx I |f (x)|pap(x)dx

T.— 0 T.— a-1(b(v)) lim --- и lim

у^ж " у^ж +ж

] |#(ж)|р ^ж / |#(ж)|р№(ж) dж

0 у

В первом случае получаем (3 Б > 0) (3 ад > 0) (V V > ад)

у у

У |/(а-1 (6(ж)))|р(а-1(6(ж)))' dж < а У |5(ж)|р йж. 00

Увеличив константу Б1, можно добиться чтобы неравенство было верно для любого положительного V. Тогда, так как й(ж) монотонно убывает и положительна, то согласно лемме 6 получаем V V > 0

у у

У |/(а-1(6(ж)))|р(а-1(6(ж)))'#(ж) йж < |5(ж)|р^р(ж) ^ж 00

или, переходя к пределу при V ^ то,

11/(ж) Иьр(с(ж),(0,+ж)) ^

Во втором случае

о"1(Ь(«))

/ |/(ж)|рар(ж) ^ж

о-1(Ь(у))

lim lim

v—«—ж

/ |g(x)|pbp(x) dx

Следовательно, (3 В2) (3 п0) (V п> у > п0)

и и

I /(а-1^)))^^)^-1 (Ь(х)))/ЬР(х) йх < В2 У |д(х)|РЬ^х) йх.

V V

Тогда, для любого измеримого множества А С (по, +ж) получаем

У |/(а-1(Ь(х)))|РЬР(х)(а-1 (Ь(х)))'ЬР(х) йх < В^ |д(х)|РЬ^х) йх.

А А

Следовательно, почти всюду на интервале (по, +ж) выполняется

|/(а-1(Ь(х)))|РЬР(х)(а-1(Ь(х)))'Ьр(х) < В2|5(х)|РЬР(х) ^ |/(а-1(Ь(х)))|РЬР(х)(а-1(Ь(х)))/ < В2|д(х)|р ^ |/(а-1(Ь(х)))|Р(а-1(Ь(х)))/йР(х) < В2|д(х)|рйр(х).

Из этого следует, что

и и

У |/(а-1(Ь(у)))|Р(а-1(Ь(у)))/йР(у) йу < В^ |д(у)|рйр(у) йу,

ио ио

о-1(Ь(и)) и

У |/(х)|рсР(х) йх < В^ |д(у)|рйр(у) йу,

vо ио

где уо = а-1(Ь(по)) и, переходя к пределу при п ^ ж, получим

|РСР(

vо

|/(х)|рср(х) йх < В2 I ш^^^) йу < В2||д|кр(ф!)>(0>+<»)) <

ио

А для интеграла

vо vо vо

У |/(х)|рср(х) йх ^ |/(х)|р йх = ^У |/(х)|рар Ы йх

0 0 0

vо

1 / 1

^ орЫ У|/(х)|Ра (х) йх ^ ОрЫ ||/||ьр (о(х).(0,+~)) < 0

Это означает, что /(х) £ Ьр(е(х), (0, +ж)). Покажем теперь, что норма орбиты д(х) мажорируется нормой пространства Ьр(е(х), (0, +ж)), т. е.

3 С > 0 : Н • |ОгЪ(а(ж)) ^ С У • |Ьр(с(ж),(0,+^))-

Предположим, что это не так, тогда существует последовательность элементов

пространства Ьр(е(х), (0, +ж)) такая, что

|| || ОгЪ(д(ж)) ^ 2П ||Ьр(с(ж),(0,+те)) •

Обозначим

|Уп1

f = £

\\yn\\Lp (ф),(0,+те)) и проверим, что f является элементом орбиты

||f| . ^ \\yn\\orb(fl(x)) , ^ 1 1

\\f \\orb(g(x)) < iiy и ,,,,—г ^ = 1-

n=1 \\yn\\Lp(c(a)>(0>+~)) ra=1 2

При этом,

L(()(0+ )) = I [y ,, ulyn(x)l-1 ^ (x) dx

Lp(c(x)'(0'+~)) 0 \n=i \\yn\\Lp(c(x),(0,+~))) { 1

> eT,, ,Jyn(x)|p— <?(x)dx = E \^(c(x)'(0'+-)) = E1 = +-,

n=1 0 \yn\Lp(c(x),(0,+^)) n=1 \yn\Lp(c(x),(0,+^)) n=1

т. е. f не является элементом пространства Lp(c(x), (0, +—)). Что противоречит доказанному выше. Следовательно,

3 С > 0 : \\ ■ \\orb(g(x)) ^ С\\ ■ \кр(ф),(0,+те)).

Поэтому справедливо вложение орбиты элемента g(x) в пространство Lp(c(x), (0, +—)). Тогда, согласно [1, с. 29-31], сумма орбит

Orb(g(x) : (Lp(0, +-),Lp(b(x), (0, +-))) ^ (Lp(0, +-), Lp(a(x), (0, +-)))),

по всем g(x) £ Lp(d(x), (0, +—)) вложена в пространство Lp(c(x), (0, +—)). >

Литература

1. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семёнов Е. М. Интерполяция линейных операторов.—М.: Наука, 1978.-400 с.

2. Берг Й, Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства.—М.: Мир, 1980.—264 с.

3. Sparr G. Interpolation of weighted Lp spaces // Studia Math.—1978.—Vol. 62.—P. 229-271.

Статья поступила 19 августа 2008 г.

Ефимов Анатолий Иванович

Южный федеральный университет,

ст. преп. каф. теории функций и функцион. анализа,

РОССИЯ, 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8-А;

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А,

ст. науч. сотр. лаб. вещественного анализа

E-mail: [email protected]