Ранжирование альтернатив в задачах многокритериальной оптимизации с качественными критериями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теперь (10) есть результат применения следствия 1.

Утверждение доказано.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1301-00238).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Korovkin P. P. Linear Operators and Approximation Theory, Delhi : Hind, Publ, Сотр., 1960. -222 p.

2. Коровкин П. П. О сходимости линейных положительных операторов в пространстве непрерывных функций // Докл. А.И. СССР. 1953. Т. 90, JV2 5, С, 961-964,

3. Shisha О., Mond В. The degree of convergence of linear positive operators // Proc, Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1968. Vol. 60. P. 1196-1200.

4. Gonska H. H. Quantitative Korovkin type theorems on simultaneous approximation // Math. Z. 1984. Vol. 186. P. 419-433.

5. Knoo H. В., Pottinger P. Ein satz vom Korovkin-typ fur Ck raume // Math. Z. 1976. Vol. 148. P. 23-32.

6. Muñoz-Delgado F. J., Ramirez-González V., Cárdenas-Morales D. Qualitative Korovkin-Type Results on Conservative Approximation // J. of Approx. Theory. 1998. Vol. 94. P. 144-159.

7. Sidorov S. P. On the order of approximation by linear shape-preserving operators of finite rank // East J. on Approx. 2001. Vol. 7, № L P. 1-8.

УДК 519.8

Д. С. Смирнова

РАНЖИРОВАНИЕ АЛЬТЕРНАТИВ В ЗАДАЧАХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ С КАЧЕСТВЕННЫМИ КРИТЕРИЯМИ

Будем рассматривать задачу многокритериальной оптимизации по качественным критериям в виде

С = (А, ), (1)

где А - непустое множество допустимых альтернатив, ^)jeJ - критерии оценки этих альтернатив. Качественный критерий qj характеризуется тем, что шкалой для его измерения служит некоторое линейно упорядоченное множество (цепь) (Cj, ; формально qj■ представляет собой отображение qj : А ^ Cj. Каждой альтернативе а е А сопоставляется вектор q(a) = ^(a))jеJ, называемый векторной оценкой альтернати-а

в теоретическом анализе сравнение альтернатив заменяется сравнением их векторных оценок.

Иногда на отображение д : А ^ П С накладывают дополнительное

з ез

условие:

(Vз е J)дз(ах) = д3(0,2) ^ ах = а?. (2)

Заметим, что условие (2) позволяет отождествить альтернативу с ее векторной оценкой.

Обозначим через К класс моделей многокритериальной оптимизации вида (1) с дополнительным условием (2).

К

блема состоит во введении понятия оптимальной альтернативы и изучении свойств множества оптимальных альтернатив. Вторая проблема это ранжирование множества альтернатив от наихудшей к наилучшей. Под ранжированием объектов обычно понимают их расположение в цепочку по возрастанию их ценности, важности, пригодности и т.п. - от самого «плохого» к самому «хорошему». Ранжирование допускает наличие одинаковых по ценности объектов.

В данной статье рассматривается вторая проблема.

А

задано отношение предпочтения между объектами в форме произвольного рефлексивного бинарного отношения. Нас будут интересовать ранжирования, согласованные с имеющимся отношением предпочтения. Основная задача, как определить согласованность ранжирования с

А

ношенеи предпочтения р. Будем предполагать, что структура предпочтения (А, р) нетривиальна, то есть содержит хотя бы одну пару элементов, для которых выполнено ах <р а2.

А

р

ние р структуры предпочтений (А, р) в некоторую цепь натуральных чисел С = {1 < 2 < ... < р}, т.е. отображение р : А ^ С, удовлетворяющее условию:

а <р а'^ р(а) < р(а'). (3)

Из определения 1 следует импликация

а а' ^ р(а) = р(а'). (4)

Ранжирования могут быть нескольких типов.

Определение 2. Ранжирование р называется собственным., если функция р отлична от константы.

Определение 3. Ранжирование р называется строгим, если выполнена следующая импликация: а <р а' ^ р(а) < р(а').

Определение 4. Ранжирование р называется взаимно однозначным, если отображение р является взаимно однозначным. Замечание 1.

1. Строгое ранжирование является собственным.

2. Взаимно однозначное ранжирование является строгим. Докажем второе утвеждение.

Доказательство. Рассмотрим два элемента а, а' е А, для которых выполнено а <р о0 . По определению (3) вы полнено р(а) < р(а'). В силу инъективности отображения р, р(а) = р(о0) влечет а = а', а это противоречит тому, что а <р а'. Таким образом, получаем, что р(а) < р(а'). Что и требовалось доказать.

(А, р)

личной, если для любого натурального п = 2,3,... и любых а1,а2, ...,ап е е А выполняется импликация

01 <р а? <р ... <р Оп <р ах ^ ах = а? = ... = Оп.

Это условие означает отсутствие в графе отношения предпочтения циклов длины п > 2.

(А, р)

бо ацикличной, если для любого натурального п = 2,3,... и любых ах, а2, ... , ап е А

01 <р О2 <р ... <р Оп <р 01 ^ 01 ~ О2 ~ ... ~ Оп.

На языке теории графов это условие означает, что в графе такой структуры предпочтения все циклы являются циклами безразличий.

Возникает вопрос, каким должно быть отношение предпочтения для того чтобы оно допускало собственное, строгое или взаимно однозначное ранжирование. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

(А, р)

А

(А, р)

ственное ранжирование, необходимо и достаточно, чтобы она не сводилась к единственному циклу.

(А, р)

гое ранжирование, необходимо и достаточно, чтобы она была слабо ацикличной.

3. Для того чтобы структура предпочтений (А, р) допускала взаимно однозначное ранжирование, необходимо и достаточно, чтобы она была ацикличной.

Докажем утверждение 3.

(А, р)

структура предпочтений. Отношение достижимости (р является отноше-

р

всякий порядок можно продолжить до линейного. Пусть 6 - это линейное продолжение порядка £р, тогда выполняется следующее включение р С 6, это значит, что для любых а, а' е А, выполняется импликация а <р а' ^ а <6 а'. Известно, что всякое конечное линейно упорядоченное множество изоморфно цепи натуральных чисел, поэтому существует изоморфизм ^ линейно упорядоченного множества (А, р) в цепь натуральных чисел {1 < ... <р}, где р = |А|. Имеет место следующая импликация

а <р а' ^ р(а) < а'),

следовательно, отображение (р устанавливает ранжирование структуры предпочтений (А, р). А так как отображение р инъективно, то получаем доказательство достаточности теоремы.

Необходимость. Пусть (А, р) - структура предпочтений, функция р взаимно однозначное ранжирование. Рассмотрим цикл

ах <р а2 <р ... <р ап <р ах. Тогда по определению (3) получаем

ф(ах) < <р(а2) < ... < ч>(ап) < ф(а{),

отсюда получаем

<(ai) = <р(а,2) = ... = <(av) = <(ai),

а так как по условию функция < ннъектнвна, то а1 = а2 = ... = ап, то есть структура иредпочтиний (A, р) является ацикличной. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Скорняков Л. А. Элементы теории структур. М, : Наука, 1970. -148 е.

2. Розен В. В. Принятие решений по качественным критериям. Математические модели. Saarbrucken : Palmarium Academic Publishing, 2013. 284 с.