Скольжение колеса при качении Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ю(3) * =.1_С_/См! !,

тах 23 3 м до

где - длительность 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 и 11-го этапов, с; ^ - длитель -ность 3-го этапа, с; ^ - длительность 6-го этапа, с; £* - длительность 9-го этапа, с; со(3)1х, ®0) * - максимальное при разгоне и при торможе -нии значение третьей производной угловой скорости исполнительного органа механизма, рад/с4.

Полученные результаты исследований позволяют перейти к разработке задатчика интенсивности, формирующего близкую к оптимальной по быстродействию диаграмму перемещения электропривода с упру-

гим валопроводом при ограничениях по току и скорости механизма.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чистов В.П., Бондаренко В.И., Святославский В.А.

Оптимальное управление электрическими приводами постоянного тока. - М.: Энергия, 1968.

2. Петров Ю.П. Оптимальное управление электрическим приводом с учетом ограничений по нагреву. - М.: Энергия, 1971.

Кафедра электроснабжения промышленных предприятий

Поступила 11.12.06 г.

621.979

СКОЛЬЖЕНИЕ КОЛЕСА ПРИ КАЧЕНИИ

В.П. БОРОДЯНСКИИ

Кубанский государственный технологический университет

Фрикционные пары качения (колесо-основание) широко используются в технологических и транспортных машинах. Качение колеса как процесс силового взаимодействия двух тел достаточно глубоко изучен. При этом особое внимание уделено деформации в зоне контакта и связанного с ней относительного смещения точек контактирующих тел [1, 2]. Смещение тел на поверхности контакта является источником потерь на трение и причиной их износа [3, 4].

Для решения задачи определения смещения точек обода катящегося колеса относительно неподвижного основания будем считать, что в момент контакта тела являются отвердевшими [5]. Такой искусственный прием в сочетании с положением о совпадении направ -лений векторов скорости контактирующей точки колеса и равнодействующей, проходящей через эту точку, позволяет вести кинематический и силовой анализ

взаимодеиствия катящегося колеса с неподвижным основанием.

Смещение точки обода колеса относительно осно -вания определяется скоростью скольжения. Термин «скольжение» - условный. Фактически на линии поверхности контакта колеса с основанием может происходить не скольжение, а деформация контактирующих тел, поэтому, рассматривая взаимодействие колеса с основанием, определяем касательную составляющую скоростей точек обода колеса. Величина этой составляющей практически влияет на износ обода колеса как в случае скольжения, так и в случае деформации. Рассмотрим варианты качения колеса ведомого и ведущего.

Ведомое упругое колесо, нагруженное вертикальной силой Е0 и горизонтальной движущей силой Ед, показано на рис. 1.

Полагаем, что равнодействующая Р21 реакции основания 2 проходит через точку А и тогда равновесие системы будет при условии Е + Р21 = 0. Вектор У12 скорости точки А обода колеса совпадает с направлением вектора Е = Р12. Мгновенный центр скоростей (МЦС) колеса точки С будет на пересечении перпендикуляров к векторам У12 в точке А и У0 в точке О.

Положение точки С определяется расстоянием ВС = Ь. По известной величине деформации колеса, которую определяет угол Р тах на входе обода в контакт с поверхностью основания, и углу а определяем ВС:

ВС = Ь = ABtg а = гсо8Рп

(1)

Для точки А скорость скольжения У^2 (рис. 2):

V! = єіп а = юАС єіп а = ю

ВС

єіп а

єіп а = юЬ. (2)

Для любой точки обода скорость скольжения будет

такая же. Например, для точки Б скорость будет

Ь

Рис. 1

У^ = юСБ єіп а = ю-

- єіп а = юЬ.

єіп а

(3)

Рис. 2

Таким образом, любая точка на поверхности контакта колеса с основанием будет иметь скорость скольжения, с учетом зависимости (1)

V1t2 = юг cos Pm

Jg2 a.

(4)

Чем больше деформация колеса (угол Ртах) и, соответственно, угол а, тем значительнее смещение точек контакта колеса и основания.

При движении по жесткому основанию ведущего упругого колеса, нагруженного силами Е0, Ес и моментом М (рис. 3), вектор равнодействующей Р12 наклонен в сторону движения колеса. Мгновенный центр скоростей оказывается выше линии контакта ЕБ. Поэтому проекция вектора У12 (скорость скольжения К12) на линию контакта будет направлена в сторону противоположную движению, в отличие от направления проекции вектора Р12 при движении ведомого колеса (рис. 2).

Величина отрезка ВС = Ь аналогично варианту качения ведомого колеса.

Рис. З

Таким образом, для ведомого и ведущего упругого колеса скорость скольжения постоянна по всей площади контакта при наличии силы движущей Fa и сопротивления Fc.

При движении ведущего упругого колеса, нагруженного только вертикальной силой F0 и моментом М (рис. 4), вектор равнодействующей будет проходить через точку А вертикально. Величина момента M = F0 h Мгновенный центр скоростей будет в точке В, находящейся на линии контакта DЕ. В результате вектор V12 будет направлен перпендикулярно DЕ, поэтому V12 = 0. Так как в данном варианте движения колеса отсутствует сила сопротивления Е;, то ф = 0. Тогда зависимость (7) преобразуется

V12 = Wr cos Р max tg a tg 0 = 0

BC = b = AB tg ф = OB tg a tg ф =

= rcos pmax tg a tg ф ;

V12 =V12 sin у.

(З)

Для любой точки на линии контакта БЕ величина скорости скольжения У?2 будет одинакова. Например, для точки А

V12 = V sin ф = ю AC sin ф = ю

Для точки D

BCsin ф = ю---------- = юЬ.

sin ф

b sin у

(б)

V12 = V12 sin у = юЕЮ sin у = ю----------- = юЬ.

sin у

После подстановки (З) в (б)

V12 = юГ cos Pmax tg a tg ф-

(7)

R?=F,

Рис. 4

Рис. 5

что подтверждает отсутствие скорости скольжения при качении упругого колеса, нагруженного только вертикальной силой F0 и моментом М.

Ведомое жесткое колесо, катящееся по деформируемому основанию, нагружено вертикальной силой F0 и движущей силой F9.

Полагаем, что точка А (угол а), через которую проходит вектор равнодействующей P12, известна (рис. 5). Так как по этому же направлению проходит вектор V12, то МЦС будет в точке С (пересечение перпендикуляров к векторам V0 в точке О и V12 в точке А).

Определим скорость скольжения Vjt, для произвольной точки D (угол b) на дуге контакта колеса 1 с основанием 2.

Vt =VU cosy, (8)

т. DE r sin b

V12 = wDC = w----------------------= w- , (9)

cosg cosg

y = 90-b# g = 90-(b-g). (10)

Определим угол g

11

CE OC -OE

tg у=—=----------=

DE r sin b cos a sin b tg b

Подставляем (9) и (10) в (S):

------^ (11)

V12 =V12 cos[9C-(b-у)] = V12 sin(b - у) :

wr sin b(sin bcos у - sin у cos b)

cos у

(12)

V1t2 = W

1 -

cos b

cos a

(13)

При Ь < а направление К12 изменяется на противоположное. Скорость скольжения находится в прямой зависимости от размеров колеса и угловой скорости.

Ведущее жесткое колесо (рис. 6), нагруженное вертикальной силой Е0, силой сопротивления Ес, движется с угловой скоростью ю при действии момента М.

Полагаем, что точка А, через которую проходит вектор равнодействующей Р12, известна.

Тогда направление векторов Р12 и Р21 (реакция основания на колесо) будет под углом ф к вертикали, так как на колесо действуют силы Е0 (прижатия колеса к основанию) и Ес (горизонтальная сила сопротивления). Угол ф между равнодействующей Е (Е = Е0 + Ес) будет увеличиваться при возрастании сил сопротивления Ес. Если угол между Р12 и нормалью к поверхности колеса в точке А окажется больше угла трения фтр, то колесо будет «буксовать»: ф + а > фтр - условие проскальзывания контактирующей поверхности колеса.

Вектор скорости У12 точки обода А совпадает с вектором Р12 и поэтому МЦС будет в точке С на линии ОВ. Скорость поступательного движения колеса У0 = юОС меньше скорости обода колеса ¥л = юг

Смещение (касательная составляющая скорости точки обода) точек обода, контактирующих с основанием, будет в сторону противоположную движению колеса. Величина этого смещения зависит от 1/1т2, которая минимальна в точке В и максимальна в точке Б (начало контакта колеса с основанием).

Для определения величины К12 необходимо знать положение МЦС (точка С)

ОС = ОМ-СМ

или

H = OC = rcos a - r sin a tg ф = = r(cos a - sin a tg ф).

(14)

После подстановки значения tg у (11) и упрощений получим

Анализ (13) показывает, что V12 = С при b = a.

Рис. б

Тогда для любой точки на дуге контакта (например, точки В) скорость смещения ее относительно основания КД

V1t2 =V12 cos у = wDC cos у

(15)

Используя теорему синусов, определяем угол у и DC (рис. б)

H

sin у sin(lSC-b- у) После проведения преобразований

tg у =

Hcosb. r - sin b

DC = Я5ілр.

sin у

В (15) подставляем значения (1S), (14) и (17):

(1б)

(17)

(1S)

H sin b

cos у = w

H sin b

sin y tg y

= wr(l-cos a cos b# sin a tg jcos b).

Частные случаи.

а) скорость скольжения в точке А при a = b:

V12 = wr(sin2 a# si

sin a cos a

tg ф).

б) скорость скольжения в точке В (b = 0) V1t2 = wr(l-sin a # sin a tg ф).

(19)

(20)

(21)

M = P12 h,

(22)

V12 = wr(l-sin acosb).

(23)

Ведущее жесткое колесо (рис. 7) нагружено вертикальной силой Е0 и движется с угловой скоростью ю при действии момента М.

Направление вектора Р12, проходящего через точку А обода, будет параллельным вектору Е0. Величина момента

при этом Р12 = Е0 и угол между Р12 и радиусом ОА такой же, как и угол а, определяющий положение точки

А. _

Определим для произвольно выбранной точки Б на ободе колеса 1, контактирующей с основанием 2.

Движение жесткого колеса по деформируемому основанию, нагруженного Е0 и М (рис. 7), является частным случаем движения колеса, нагруженного Е0, Ес и М (рис. 6). Поэтому зависимость (19) при ф = 0 преобразуется

Таким образом, и в данном варианте качения жесткого колеса по деформируемому основанию по всей поверхности контакта будет происходить скольжение: в начале контакта У^2 максимальна, а на выходе из контакта обода с основанием - минимальна.

Рис. 7 ВЫВОДЫ

1. Качение колеса по неподвижному основанию сопровождается явлением скольжения по поверхности контакта. Величина и направление векторов скорости скольжения точек поверхности контакта колеса зависят от внешней нагрузки, приложенной к колесу, и характера деформации колеса и основания.

2. Упругое колесо, катящееся по жесткому основанию, на поверхности контакта имеет одинаковую скорость скольжения любой точки. Жесткое колесо, катящееся по деформируемой поверхности, имеет на поверхности контакта переменные скорости скольжения точек.

3. Задача определения кинематических характеристик может решаться при известном положении точки на ободе колеса, через которую проходит вектор равнодействующей. Определить положение этой точки можно с использованием опытных данных (см. в литературе значения коэффициента трения качения), либо решая конкретную задачу определения напряжений на поверхности контакта.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вирабов Р.В. Тяговые свойства фрикционных пере -дач. - ММашиностроение, 1982. - 263 с.

2. Андреев А.В. Передача трением. - М.: Машгиз, 1978. -176 с.

3. Трение, изнашивание и смазка. Кн. 2. / Под редакцией И.В. Кригельского и В.В. Алисина. - М.: Машиностроение, 1979. -358 с.

4. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. - М.: Машиностроение, 1988. - 256 с.

5. Пинегин С.В. Трение качения в машинах и приборах. -М.: Машиностроение, 1976. - 264 с.

Кафедра машин и аппаратов пищевых производств

Поступила 05.12.05 г.

r