Сопротивление качению упругого колеса по жесткому основанию Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

3. Дьяконов В. МаІЇїсасІ 2001. Учебный курс. - СПб.: Питер, 2001. - 624 с.

Кафедра автоматизации производственных процессов

Поступила 15.03.07 г.

621.83.05

СОПРОТИВЛЕНИЕ КА ЧЕНИЮ УПР УГОГО КОЛЕСА ПО ЖЕСТКОМУ ОСНОВАНИЮ

В.П. БОРОДЯНСКИЙ

Кубанский государственный технологический университет

В технологическом оборудовании широко ИСПОЛУ зуются фрикционные механические передачи, где ведущим звеном является упругое колесо, а ведомое звено (колесо, диск, ползу н и др.) выполнено из материала, который условно можно назвать жестким, так как он деформируется незначительно в сравнении с упругим колесом.

В технологическом оборудовании часто используются рабочие органы в виде упругого колеса, передающего усилия или ограничивающего движение обрабатываемого материала (полуфабриката). При этом материал в результате контакта с упругим колесом практически не деформируется и поэтому его условно можно считать жестким.

Для проведения энергосиловых расчетов [1] необходимо знать положение точки приложения равнодействующей реакции основания на колесо.

Рассмотрим колесо, нагруженное вертикальной силой/^, в статике (рис. 1) и при движении (рис. 2), как это показано для случая контакта жесткого катка с упругим основанием [2].

Когда колесо неподвижно (рис. 1), реакция основания Р21 пропорциональна объему деформированной части колеса ОМЕ Ъ, где Ъ - ширина колеса. Если вектор Р21 разложить на два составляющих =Р" , то ОНИ будут проходить через ТОЧКИ^! и А2 (линия, проходящая через центры тяжести площадок ОБЕ и ВЕМ).

Напряжения на площадке контакта ОМ пропорциональны вертикальным отрезкам между хордой ИМ и дугой ВЕМ. Величина отрезка ВЕ пропорциональна Стах (при упругом КОЛвСе)

От

=ВЕ 1 -|10 =йцс

(1)

В точке В напряжения равны нулю. По линии контакта напряжения будут изменяться в соответствии с величиной деформации колеса. Расчеты показывают, что угол аь определяющий центр тяжести фигуры ОБЕ, может быть определен по формуле [2]

а1 = ір,

(2)

где А. = 0,375; [3 - угол, определяющий половину длины площадки контакта.

Угол (3 можно вычислить, используя зависимость [2] после преобразований (1):

вт В =1,075./—5-,

\ЬЕг

где - сила прижатия колеса к основанию (вертикальная сила), Н; Ь - ширина обода колеса, м ;Е - модуль упругости Юнга, Па; г - радиус колеса, м.

Положение векторов Р'г и Р" определится величиной а (рис. 1):

г =ОВ■ ос 1 = г совР оц.

(3)

При движении колеса (рис. 2) в результате релаксации напряжений на участке сбегающей части колеса реакция Р" уменьшится. В результате полная реакция

Рис. 3

Рп сместится относительно вертикальной осина вели-

чину к, которая определяется из уравнения

P21 ( a — ty = P// (a + fy,

(p> _p»\

\ 21 21 /

к =

{К +K )

Полагаем, что -

P" 1 21

P'

21

- — Є, или

(4)

(5)

(6)

к = а-

1— є 1+ є'

(7)

(8)

Зависимость(8) отличается величиной cos (3 от формулы, полученной для жесткого колеса и упругого основания. Практически определение величины к можно вести по любой из них, так как существенных отличий в них нет (при малых углах (3).

Если колесо нагружено только вертикальной силой (рис. 2), то момент сопротивления Мс = P2ik Если же колесо является ведущим (действует момент движущий) и имеется сила сопротивления Рс, приложенная к оси 0\ (рис. 3), то вектор Р21 будет наклонен. Момент движущий

м. =pU.

(9)

где е -коэффициентрелаксации напряжений при деформации тел в о время качения; с!!р, (Ур - средние давления на сбегающей и набегающей частях катка, Па; 5" - площадь контакта сбегающей и набегающей ветвей катка, м.

Подставляя в (5) значение Р" из (6), получаем

Если учесть, что при малых ушах tg (3 = sin (3 и tg (Xi = X tg (3, то зависимость (7) с учетом (1), (2), (3) примет вид

Чем больше величина силы сопротивления, тем больше наклон вектора и величина Р2ь соответственно увеличивается плечо d и Мс. При этом положение точки А, через которую проходит вектор Р2Ь остается неизменным. Скорость движения колеса Г о снижается при постоянной угловой скорости со, так как расстояние от оси вращения 0\ до точки С - мгновенного центра скоростей МЦС - уменьшается. При отсутствии сил сопротивления (рис. 2) МЦС находится в точке С, лежащей на линии контакта DM. В этом случае векторы относительной скорости Г’12 точек поверхности контакта перпендикулярны DM, что исключает разложение этого вектора на составляющие Г ^ и Г’", так как Vr = Р’", F = со- О С и скольжение отсутствует, Г’* = 0.

При действии сил сопротивленияРс (рис. 3) вектор относительной скорости f ’i2 не перпендикулярен линии контакта DM и поэтому ^ О.Чем больше сопро-

тивление, тем дальше от линии контакта точка С (МЦС), тем больше скорость скольжения Fp, так как уменьшается Г о при со = const. Когда угол\|/ между Р// и P2i превысит угол трения ф, то начнется буксование. Для предотвращения буксования необходимо либо уменьшить силу сопротивления Fc, либо увеличить нормальную нагрузку Р0. В последнем случае увели-

/ у / / / А / Р:; ( У- 1 Ми rJ^k' N. / ■ А / \ і Д О: ' ґ\ 1

1 Р;', 1 Л: L .■1 ч і і {•■ 1 лл

V////////Z 2-/ у. в ////, МУ/

ІЇ ;---t а ЬЧ

г і

s

-р

s

чится угол (3 и, соответственно, угол а, т. е. величина плеча к (коэффициент трения качения) возрастет.

При контакте с жестким основанием пневматического колеса существенное отличие последнего от упругого металлического или сплошного резинового колеса состоит в том, что напряжения, возникающие на поверхности контакта колеса с основанием, можно принимать постоянными по всей длине контакта. Кроме этого, деформация колеса большая и размеры колеса значительные. При увеличении вертикальной нагрузки F0 напряжения растут незначительно, но увеличивается площадка контакта.

Методика определения величины к такая же, как и выше рассмотренная для упругого (металлического) колеса. В статике (рис. 4) пневмоколесо имеет две равные реакции/^' иР", отстоящие от вертикальной оси на расстоянии а (так как о = const и эпюра напряжений - прямоугольник): а = 1/4, где I - длина площадки контакта, м.

Равнодействующая давления набегающей ветви Р'21 при качении колеса будет больше Р2" , ввиду релаксации напряжений что учитывается коэффициентом

восстановления напряжении є =

P 1 21

P'

1 91

Положение равнодействующей Р21 определится (рис. 5) из уравнения

P'

L-k

4

= P'

— +k 4

С учетом (6) коэффициент трения качения /(1-е)

к =

4(1+!

(10)

(11)

что аналогично (7), так как а = 1/Л.

Величину 1/4 легко определить, допуская что давление р, действующее на площадку контакта, постоянное и во всех точках одинаковое:

F0 = Ibp,

(12)

где ^о- вертикальная нагрузка на ось колеса, Н; / - длина площадки контакта, м;р - давление в пневмоколесе, Па.

Отсюда

/=^.

ъР

(1З)

Рассмотрим пример. Колесо диаметром сі = 0,8 м (г = 0,4 м), ширина обода Ъ = 0,2 м, давление р = = 0,3 МПа, вертикальная нагрузка/^ = 2 -104 Н, коэффициент релаксации напряжений є = 0,95. Для определения к и мощности М, необходимой для качения колеса при скорости У =72 км/ч, по (13)

2-104

Ър 0,2-0,3-106

- = 0,3333 м;

по (11)

/(1-е) 0,3333(1-0,95)

к = —-------------{ =-^-г—- = 0,002136 м.

4(1+е) 4(1+0,95)

Момент сопротивления

мс = Р0А;=2-104-2,136 10 3 = 42,72 н-м.

Мощность, необходимая на преодоление сопротивления при У=20 м/с:

Ы = Мс(й=Мс-■

Г

N = 42,72-— =2136 ет.

0,4

выводы

1. Качение упругого колеса по жесткому основанию сопровождается его деформацией, при которой средние напряжения на набегающей ветви больше средних напряжений на сбегающей ветви из-за релаксации напряжений. При этом возникает сопротивление качению. Релаксацию напряжений следует считать основным фактором сопротивления качению упругого колеса по гладкой жесткой поверхности [3].

2. Теорема Герца о контактных напряжениях позволяет определить площадку контакта и максимальные напряжения, возникающие от вертикальной нагрузки на колесо, а величину момента сопротивления можно определять, сравнивая набегающую и сбегающую части колеса.

3. Плечо равнодействующей давления основания (коэффициент трения качения к) возрастает при увеличении коэффициента релаксации напряжений е. При е= 1 колесо абсолютно упругое и£ = 0. Прие = 0 колесо пластичное и к = а = 1/4.

4. Момент сопротивления качению пневматического колеса можно определить по аналогии с упругим колесом, но с допущением, что давление на площадке контура для данной нагрузки постоянно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вирабов Р.В. Тяговые свойства фрикционных передач. -М.: Машиностроение, 1982.-264 с.

2. Бородянский В.П. Определение вектора равнодействующей давления упругого основания на жесткий каток при его качении// Изв. вузов. Пищевая технология. - 2007. - № 5-6. - С. 83-86.

3. Пинегин С.В. Трение качения в машинах и приборах. -М.: Машиностроение, 1976. -264 с.

Кафедра машин и аппаратов пищевых производств

Поступила 02.02.07 г.