Синергетическая модель системной динамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

----------------------------------- © Л.А. Бахвалов, А.Л. Робснков,

2004

УДК 53.072

Ё.А. Бахвалов, А.Ё. Робенков

СИНЕРГЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМНОЙ ДИНАМИКИ

Семинар №10

Модель системной динамики представляет собой систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику горнодобывающей промышленности России.

Представим систему уравнений, состоящую из 15 переменных, фрагмент которой представлен ниже:

с!х1/1 = - 0,45 *Х3 - 0,08 *Х5 +1,28 *Х6 -2,81 *Х8 + 4,45*Х10 - 1,53 *Х11 + 0,75 *Х15;

ах15/^= 0,298 *Х5 - 10,4 *Х8 + 52,65 *Х10 - 42,71 *Х11 - 0,110 *Х2*Х5 - 7,01 *Х2*Х10 + 7,06 *Х2*Х11 - 38,89 *Х8*Х10 + 51,35*Х8*Х11 - 12,11*Х10*Х11; где х1-х15 переменные модели: уголь,

нефть, газ, энергия и другие представлены в диссертации М. Напалковой [1].

Чтобы провести моделирование нужно интегрировать эту систему дифференциальных уравнений, получая траектории для каждой переменной. Было проведено моделирование и исследование, которое выявило тенденции влияния исследуемых переменных друг на друга и позволило выявить ситуации способствующие росту исследуемых переменных или их спаду. Исследование модели системной динамики, с данными, с графиками, по каждой из исследуемых переменных и фазовыми портретами, приведено в магистерской диссертации «Компьютерное моделирование системной динамики горнодобывающей промышленности» [2].

Первоначальная модель, разработанная Напалковой М., имела 15 переменных представленных в разных единицах измерения, они были нормированы, для того чтобы можно было проводить сравнительный анализ моделирования, и получить результаты в одном формате. Модель из-за своих размеров была сложно моделируемой и изменяемой. Для проведения моделирования дина-

мики горнодобывающей промышленности модель была скорректирована, приведена к одинаковым единицам измерения ее переменных, была перестроена корреляционная матрица и получены новые коэффициенты корреляции. Для получения более достоверных результатов и чтобы убрать отрицательное влияние на модель некоторых переменных, которые принимали в ходе моделирования не естественные значения, нужно сократить число переменных модели.

После сокращения числа переменных мы получим новую модель, построенную исходя из новых данных, с пересчитанными размерностями переменных и перестроенной матрицей корреляции и соответственно с полученными новыми коэффициентами корреляции.

Модель имеет следующий вид:

Их! Их2

= Х1+ а1*Х4; — = Х2+а1*Х3+а1*Х4 И

.= Х3+аі*Х1+аі*Х2+аі*Х4;

Х4+аі*Х2;

іх5

Х5+аі*Х2

& іх3 іг

іх4

& &

Синергетическая модель Занга

Рассмотрим синергетическую модель представленную доктором Зангом в своей книге: «Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории»[3]:

Динамика городов

сіх

— = а (%Г - аіХ)

іг 12 3

іУ

—=Сі (с2 X - С3Г) - с4 XX

іг

И

— = аху - ах

аг 1 2

Нефть

Занг описывает систему дифференциал ьных уравнений, с помощью которой можно моделировать динамику городов

Предполагается, что локационные характеристики городского пространства описываются следующими тремя переменными: Х — продукция, производимая городской системой; У — численность коренного населения; Ъ — земельная рента; а1, а и <И, -положительные параметры.

Определив необходимые и наиболее важные показатели, которые могут повлиять на динамику города, их можно свести к системе уравнений и тем самым математически представить, что в последствии поможет провести анализ, моделирование и прогноз. Соответственно, так как описываемый метод можно применить и в других условиях, то можно любую модель, приведя ее к необходимому виду, описать этой системой уравнений.

На основе выше изложенного, можно сделать некоторые выводы. Если сравнить две системы уравнений, то можно увидеть, что эти системы очень похожи дуг на друга. Они сформированы одинаковым способом, по влиянию переменных друг на друга и с

Фазовый портрет газ-нефть (единицы измерения - % прироста)

помощью каждой из этих систем можно провести моделирование в той области, что описывается в этих системах уравнений.

При таком большом сходстве, мы получаем, что система уравнений, описывающая динамику горнодобывающей промышленности, построенная по нашим алгоритмам, представляет собой синергетическую модель способную провести моделирование, анализ и позволяющая сделать прогнозы, используя методы, применяемые в синергетике. Одним из методов является фазовые портреты, которые демонстрируют динамику процессов и указывают на критические точки, в которых системы под действием внешних или внутренних факторов переходят из одного состояния в другое. Ниже представлен пример фазового портрета газ-нефть, отображающий динамику этих двух переменных модели.

Проведя исследование возможных вариантов развития событий, построив траектории исследуемых переменных модели, проанализировав их и построив фазовые портреты, можно получить достоверные данные и прогнозы и заранее предугадать возможные ситуации развития событий

Это открывает новые рубежи исследований и выявление таких свойств моделей, которые раньше не исследовались. Это позволит сделать новый шаг к комплексному моделированию динамики горнодобывающей промышленности.

-------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Напалкова М.А. Прогнозирование динамики горной промышленности России в автоматизированных информационных управляющих системах, - М., МГГУ.

2. Робенков А.Л. Компьютерное моделирование системной динамики горнодобывающей промышленности, - М., МГГУ, 2002.

3. Занг В. -Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории, - М., Мир 1999.

— Коротко об авторах-------------------------------------------------------------------------

Бахвалов Лев Алексеевич - профессор, доктор технических наук,

Робенков Александр Львович - аспирант,

кафедра «Автоматизированные системы управления», Московский государственный горный университет.