CC BY
54
УДК 681.51
О.И. АТРОЩЕНКО
СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
Рассматривается применение метода АКАР (Аналитическое конструирование агрегированных регуляторов по заданным инвариантным многообразиям) синергетической теории управления для синтеза законов управления нелинейными распределенными объектами управления. Объектом управления выбран водоносный горизонт центрального участка Кисловодского месторождения минеральных вод. Ключевые слова: коэффициент фильтрации, граничные условия, математическая модель, водоносный горизонт, фазовое пространство, инвариантное многообразие, переходной процесс, управляющее воздействие, фазовый процесс.
Введение. Водоносный горизонт - это объект с распределенными параметрами, поведение такого объекта существенно зависит не только от времени, но и от пространственных координат [2, 4]. На центральном участке Кисловодского месторождения расположены пять эксплуатационных и пять контрольных скважин; эксплуатируется Валанжинский водоносный горизонт [2].
Постановка задачи. Имеется математическая модель системы управления, необходимо определить законы управления методом АКАР, обеспечивающим минимальное истощение эксплуатационных запасов подземных вод, т.е. снижение уровня водоносного горизонта [2].
Методы испытаний. Нелинейная математическая модель системы управления в переменных состояния имеет вид [2]:
х2 - х1 А х ;
х1 = - + k2d1x2 - ^2х1 + k6d2х6 - к^3х1 + ^^зх11 - ^0 - sin(х1))
х2 = - 2k2d1x2 + - k2d2х2 + k7d2х7 - k2d3х2 + ^^зх12 -
- (^ - 8Ш(Х2));
А X
Хз = k2dxX2 - 2kъdlXъ + k4dlX4 - kъd2Х3 + k8d2х8 - kъdъхъ + Х13 -
- (Fo - sin(Х3));
А X
Х4 = kзdlXз - 2kdlXA + k5dlX5 - k4d2Х4 + k9d2х9 - k4dзХ4 + ^^3Х14 -
- (Fo - sin(Х4));
А X
Х5 = kAdxxA - k5dlХ5 - k5d2Х5 + klod2Хю - k5dзХ5 + kl5dзХ15;
х - X
Х6 = - k6d1x6 + ^d1x1 + ^2х1 - 2k6d2х6 - k6d3х6 + зх16 - (F0 - sin(х6)) —-- ;
А х
Х7 = k6d1x6 - 2k1d1x1 + k8d1x8 + k2d2х2 - 2k7d2х7 - k1d3х7 + k17d3x17 -
- (Fo - яп(х7));
Ах
X - X
- (F0 - 8Ш( Х8)) -X9-—8 ;
А X
- (Fo - аш(X,)) Х'°- Х°
X кХ ^
X11 — - + k12d1x12 - k11d2х11 + k16d2х16 + х1 - k11dзх11 -
- (^ - яш(Хц))Х12А=-Х11;
А X
Х12 — kll Й^1 ^11 2kl2dlXl2 + klзdl Xlз kl2d2 ^^12 + kl7d2 X17 + k'2 dз X*2 kl2^dз X12
(F0 - sin(^2))
1з 12
А X
X13 — kl2dlXl2 2klзdlXlз + k^l4^dlXl4 klзd2 ^1з + kl8d2 •Xlg + ^^"3 ^^^з Xз ^^"13 ^^^з ^1з
-(Fo- аш( *3)) ;
А X
^&14 — klзdlXlз 2k^l4^dlXl4 + k^l5^dlXl5 kl4d2 •^ід + ^^"19 2 X*!, + k^4 dз X, kl4^dз ^14
X,. - X.,
^0 - sin(^д))
15 14 .
А X
^&*15 — ^^"14^^^1 ^^14 kl5dlXl5 kl5d2Xl5 + ^^"202*^20 + ^^"5^^^зX. ^^"15^^^зXl5 ;
:&'і6 — - k16d1X16 + ^7^^1 ^"іТ + k11d2*1 - 2k16d2X16 + k6d3^6 - k16d3X16 -
X - X
- (^ - ап ^)) - «1;
А X
X - X
- (^ - аш^))-18-—17- «2;
А X
X - X
- (^ - аш( X18)) -^-^ - «з;
А X
X - X
- - аш^))-20—19- «4;
А X
Система (1) является многомерной, нелинейной, многосвязной пространственно-неинвариантной моделью, имеющей пять каналов управления. Коэффициенты фильтрации К- ^0 зависят от пространственных координат, скорость движения водоносного горизонта F — F0 - єт(xi) является нелинейной величиной, ^ — 1-5 м/сут.
В систему (1) входят следующие параметры и коэффициенты: X- X2o - переменные состояния, физический смысл которых - понижение уровня водоносного горизонта в точках дискретизации распределенного объекта управления. Состояния X- X определяют понижение уровня водоносного горизонта в контрольных скважинах, а состояния x15 - x20 озна-
чают понижение уровня водосного горизонта в точках расположения эксплуатационных скважин; и1 - и5 - водозабор (дебит) из эксплуатационных скважин, физический смысл которого - управляющее воздействие на объект управления; у - коэффициент упругоемкости коллектора в 1/м.
1 л 1 л 1
«1 = ——г, «2 = —г^, "з = —т^; А *, АУ, А г - шаги дискретизации по осям
у А х у А у у А г2
Х , У , г .
Согласно методу АКАР, необходимо синтезировать законы управления и!, иг, из, и ^, и5 как функцию координат состояния объекта и( х), обеспечивающие минимальное понижение уровня в контрольных скважинах на один метр [2, 5]:
Х = х0 = - 1, х2 = х2 = - 1, х3 = *3 = - 1, х4 = х0 = - 1, х5 = х0 = - 1. (2)
В соответствии с числом независимых каналов управления может быть назначено пять инвариантов (стабилизация понижения уровня в точках расположения контрольных скважин х1, х2, х3, х4, х5). Исходя из поставленной задачи (2), целесообразно выбрать параллельную совокупность внешних инвариантных многообразий:
¥ т (х1,-> х15) = 0, т = 1,->5;
¥ 1 = х1б +91; ¥ 2 = х17 +9 2; ¥ з = х18 +9 з;
¥ 4 “ х19 + 9 4 ; ¥ 5 “ х20 + 9 5 . (3)
Инвариантные многообразия (3) должны удовлетворять решению системы функциональных уравнений АКАР [1]:
Ту х(1) +¥ 1 = 0 ; Т¥ 2« + ¥ 2 = 0; Тз¥3(0 + ¥ з = 0;
Т,¥' 4 (^) + ¥ 4 = 0; Ту 5 (^) +¥ 5 = 0 . (4)
При попадании изображающей точки системы на пересечение
многообразий ¥ 1 = 0, ¥2= 0, ¥3= 0, ¥4= 0, ¥5= 0, согласно принципу «расширения — сжатия фазового пространства», происходит декомпозиция исходной системы (1), и динамика системы описывается системой дифференциальных уравнений пониженного порядка [1, 5]:
х1¥ “ - ^1«1х1¥ + ^2«1х2¥ - ^1«2х1¥ + ^б«2хб¥ _ ^1«3х1¥ + ^11«3х11¥ _
- (^ - 8Ш(х1¥ )) х2^1^ ;
Ах
х2¥ ~ ^1«1х1¥ - 2^2«1х2¥ + ^3«1х3¥ - &2«2х2¥ + ^7«2х7¥ ~ ^2«3х2¥ + ^12«зх12¥ -
- (Fo - 5ш(х2¥))х3¥ - х2¥ ■
х3¥ “ ^2«1х2¥ 2^3«1х3¥ + ^4«1х4¥ ^з«2х3¥ + ^8«2х8¥ ^з«зх3¥ + ^1з«зх13¥
хл™ хъ,
- (Fo - sin(хз¥ ))-^-----------¥
Ах
х4¥ “ ^3«1х3¥ - 2^4«1х4¥ + ^5«1х5¥ - ^4«2х4¥ + ^9«2х9¥ _ ^4«3Х4¥ + ^14«3х14¥
- (^ - sin(х4¥)) х^; х5¥ “ ^4«1х4¥ - ^5«1х5¥ - ^5«2х5¥ + ^10 «2х10¥ _ ^5«3х5¥ + ^15«3х15¥ ;
хб¥ ^б«1хв¥ + ^7«1х7¥ + ^1«2 х1¥ 2^6«2 хб¥ ^6«3 хб¥ ^1в«з9 1
х - х
- (^ - ап(хб¥)) -¥—¥;
Ах
х7¥ “ ^6«1хб¥ - 2^7«1х7¥ + к%«1хЩ + ^2«2х2¥ - 2^7«2х7¥ "" ^7«3х7¥ _ ^17«3^ 2 -
- (^ - sin(х7¥))х8¥ А- х7¥ ;
А х
х8¥ “ ^7«1х7¥ _ 2^8«1х8¥ + ^9«1х9¥ + ^з«2х3¥ _ 2^«2х8¥ _ ^8«зх8¥ - ^18«3^ 3 -
- (Fo - ап(х8¥)) х¥—^;
А х
х9¥ “ ^8«1х8¥ - 2^9«1х9¥ + ^10«1х10¥ + ^4«2х4¥ _ 2^9«2х9¥ _ ^9«3х9¥ "" ^19«3^ 4 -
- (Fo - яп(х9¥)) х10¥А- х9¥ ;
А х
х10¥ = ^9«1х9¥ - ^10«1 х10¥ + ^5«2х5¥ _ 2^ю«2х10¥ _ ^10«3х10¥ _ ^20«з9 5 ; (5)
х11¥ “ - ^11«1х11¥ + ^12«1х12¥ _ кц«2х11¥ - ^1б«2^ 1 + ^1«3х1¥ _ ^11«3х11¥ _
- (Fo - sin(хП¥)) х12¥А-х11¥ ;
А х
х12¥ = ^11«1х11¥ - 2^12«1 х12¥ + ^13«1 х13¥ _ ^12«2х12¥ _ ^17«2^ 2 + ^2«3х2¥ _ ^12«3х12¥ _
- (^ - sin(х12¥))х13¥ А- х12¥ ;
А х
х13¥ “ ^12«1х12¥ - 2^13«1х13¥ + ^14«1х14¥ - ^13«2х13¥ _ ^18«2|? 3 + ^з«зх3¥ - ^1з«зх13¥ -
- (Fo - sin(х13¥)) х14¥А-хх13¥ ;
х14¥ “ ^13«1х13¥ - 2^14«1х14¥ + ^15«1х15¥ - ^14«2х14¥ _ ^19«2^ 4 + ^4«зх4¥ - ^14«3х14¥ _
- (Fo - sin(х14¥)) х15¥А"х14¥ ;
А х
х15¥ = ^14«1х14¥ - ^15«1х15¥ - 2^15«2х15¥ _ &20«2|? 5 + ^5«3х5¥ - ^15«3х15¥ ';
неизвестные функции 91 , 9 2 , 9 з , 9 4 , 9 5 - «внутренние» управления.
На втором этапе синтеза для поиска внешних управлений вводится вторая группа «внутренних» инвариантных многообразий по числу каналов внутренних управлений:
¥ т(хь-^) = 0 , т = 6....10 ;
¥ 6 = х6 +9 6; ¥ 7 = х7 +9 7; ¥ 8 = х8 +9 8;
¥ 9 = х9 + 9 9 ; ¥ 10 = х10 + 9 10 , (6)
где 9 6 - 910 - неизвестные «внутренние» управления, которые необходимо доопределить в процессе синтеза.
Инвариантные многообразия (6) должны удовлетворять решению системы функциональных уравнений АКАР:
Т¥' 6« + ¥ 6 = 0; Т¥' 7« + ¥ 7 = 0;
Т8¥ 8 (^) + ¥ 8 = 0 ; Т9¥ 9 (^) + ¥ 9 = 0 ; Т10¥ 10 (^) + ¥ 10 = 0 . (7)
На пересечении совокупности внутренних инвариантных многообразий ¥ 6 = 0, ¥ 7 = 0, ¥ 8 = 0, ¥ 9 = 0, ¥ 10 = 0 динамика системы определяется декомпозированной системой пониженного порядка:
Х1у к1Й1Х1у + к2Й1Х2у к1й2Х1у к6й2у 6 к1йзХ1у + кпйз
- (^ - 8Ш(Хху )) -2У—^ ;
Д х
Х2у = к1Й1Х1у - 2к2Й1Х2у + кзЙ1Хзу - к2й2Х2у _ к7й2у 7 - к2йзХ2у + к12йзХ12у _
х - х
- (Fo - 8Ш(Х2у)) -3у--2^; (8)
ДХ
Х3у - к2Й1Х2у - 2кзЙ1Хзу + к4Й1Х4у _ кзй2хзу - к8й2у 8 - кзйз —зу + ^1зйзХ13у -
- ^ - 8Ш(Хзу )) ;
ДХ
Х4у - кзЙ1Хзу - 2к4Й1Х4у + к5Й1Х5у - к4й2Х4у - к9й2$ 9 - к4йзХ4у + ^14йзХ14у _
- (^ - яп(Х4у)) Х5уд-Х4у ;
Д х
Х5у = к4Й1Х4у - к5Й1 Х5у - к5й2Х5у - к10й2у 10 - к5йзХ5у + ^15йзХ15у .
На третьем этапе декомпозиции для поиска «внутренних» управлений вводится вторая группа «внутренних» инвариантных многообразий У11 = 0, у 12 = 0, у 1з = 0, у 14 = 0, у 15 = 0 по числу каналов с внутренними управлениями [1]:
у 11 - Х1 - Х1 - 0 ; у 12 - Х2 - Х2 - 0 ; у 1з - хз - хз - 0 ;
у 14 - Х4 - Х4 - 0 ; у 15 - Х5 - Х5 - 0 ■ (9)
Инвариантные многообразия (9) должны удовлетворять решению системы функциональных уравнений АКАР:
Тпу 11 +у 11 = 0; Т12у 12 +у 12 = 0; Т1зу 1з +у 1з = 0;
Т14у 14 + у 14 = 0 ; Т15у 15 + у 15 = 0 ■ (10)
В обратном порядке, совместно решая системы уравнений (8), (9), (10), определяем группу «внутренних» управлений у 6, у 7, у 8, у 9 ,у 10. После этого из совместного решения систем уравнений (5), (6), (7) определяем группу «внутренних» управлений у1, у 2, у з, у 4, у 5, а из совместного решения систем уравнений (1), (3), (4) находим неизвестные внешние управления и1, и2, из, и4, и5.
Результаты моделирования. Численное моделирование проводилось при следующих параметрах настройки регулятора: Т = 0.8; Т2 = 0.9 ;
Тз = 0.7 ; Т = 0.8 ; Т5 = 0.9 ; Т6 = 0.8; Т7 = 0.7 ; 78 = 0.6 ; Т = 0.9 ; Ты = 0.8 ;
Т11 = 0.9 ; Т12 = 0.8; Т1з = 0.9; Т14 = 0.8; Т15 = 0.8, а также следующих парамет-
рах объекта управления: У= 0.000004 1/м; Дх = 250 ; Ду = 166 ; Дг = 40; к1 = 0.05 ; к2 = 0.06 ; кз = 0.06 ; к4 = 0.07 ; к5 = 0.07 ; к6 = 0.08 ; к7 = 0.02 ;
к8 = 0.05 ; к9 = 0.01; к10 = 0.01 ; к11 = 0.01; к12 = 0.12 ; к1з = 0.02 ; к14 = 0.09 ;
к15 = 0.07; к16 = 0.07; к17 = 0.02; к18 = 0.01; к19 = 0.11; к20 = 0.0з м/сут; F4 = 2.5 ■ Начальные условия по переменным состояния были выбраны нулевыми: отсутствие внешнего воздействия.
На рис. 1 представлены результаты моделирования: переходные процессы переменных состояний х1, х2, хз, х4, х5 по каждой контрольной скважине, стабилизирующихся к установившемуся значению (2). На рис.2. изображены изменения (стабилизация) во времени управляющих воздей-
ствий и1, и2, из, и4, и5 по каждой эксплуатационной скважине. На рис.3 дана проекция фазового пространства на координаты Х1 - Х2 - Хз , фазовый портрет, пересечение внешних инвариантных многообразий у 1 = 0, у 2 = 0 в трехмерном фазовом пространстве, в котором фазовые траектории, стартуя из произвольных начальных условий, под действием управлений попадают на пересечение многообразий, а затем движутся к установившемуся состоянию. На рис. 4 изображены переходные процессы дебитов эксплуатационных скважин в м3 /сут.
М 2,5 5.0 т ЙМ
Рис. 1. Переходный процесс переменных состояний
01,02,03,04,05
Рис. 3. Фазовое пространство
Рис. 4. Дебит эксплуатационных скважин
Выводы. Синтезированные нелинейные законы управления и1, и2, из, и4, и5 методом АКАР обеспечивают асимптотическую устойчивость движения в целом замкнутой системы относительного заданного состояния, определяемого требованиями процесса управления. Для того чтобы забрать из эксплуатационных скважин 1, 2, 3, 4, 5 мз /сут необходимо понизить уровень водоносного горизонта в эксплуатационных скважинах на 0.1-1,0 м. На рис.1 видно, что стабилизация переходного процесса (понижение уровня в
контрольных скважинах) произойдет примерно через 9 суток после начала действия возмущающего воздействия.
Библиографический список
1. Атрощенко О.И. Основные положения синергетического подхода. Постановка нелинейной проблемы аналитического конструирования агрегированных регуляторов / О.И. Атрощенко // Сб. науч. тр. Сев.-Кав. гос. техн.ун-та. - 2008. - № 4. - С.16-19.
2. Атрощенко О.И. Синергетический синтез системы управления дебитом водозаборных скважин методом АКАР / О.И. Атрощенко // Вестник Сев.-Кав. гос. техн. ун-та. - 2008. - № 2(15). - С.53-57.
3. Малков А.В. Синтез распределенных регуляторов для систем управления гидролитосферными процессами / А.В. Малков, И.М. Першин.
- М.: Научный мир, 2007.
4. Першин И.М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами / И.М. Першин. - Пятигорск: Рекламно-информационное агентство на КМВ, 2007.
5. Современная прикладная теория управления: Синергетический подход в теории управления; под ред. А.А. Колесникова. - Ч.11. -Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000.
Материал поступил в редакцию 4.07.08.
O.I.ATROSHCHENKO
SINERGETICHESKY SYNTHESIS OF MANAGEMENTS FOR THE NONLINEAR SPATIALLY-NOT INVARIANT OBJECT OF MANAGEMENT
Application of method АКАР («Analytical designing of the aggregated regulators on the set invariant varieties») sinergetics theories of management for synthesis of laws of management by spatially-nenvariantnym nonlinear distributed object of management is considered. The object of management chooses water hori-zont the Central site of the Kislovodsk deposit of mineral waters.
АТРОЩЕНКО Олег Игоревич (р.1983), аспирант кафедры «Управление и информатика в технических системах» Пятигорского государственного технологического университета. В 2005 г. окончил Кисловодский гуманитарнотехнический институт
Область научных интересов: управление, математическое моделирование, автоматика, системы управления с распределенными параметрами.
Автор шести научных статей.
