CC BY
11
УДК 681.51
СИНТЕЗ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДЕБИТОМ ВОДОЗАБОРНЫХ СКВАЖИН МИНЕРАЛЬНОЙ ВОДЫ
АТРОЩЕНКО О.И., асп.
Рассмотрен переход от системы дифференциальных уравнений в частных производных к нелинейной системе дифференциальных уравнений в форме Коши. Приведена методика синтеза управлений методом АКАР для нелинейной системы управления с распределенными параметрами; построены переходной процесс, пересечение поверхностей и фазовые траектории в фазовом пространстве.
Ключевые слова: математическая модель, гидродинамический режим, объект управления, управляющие воздействия.
SYSTEM SYNTHESIS OF DEBIT MANAGEMENT OF MINERAL WATER SUPPLY WELL
O.I. ATROSHCHENKO, Post-Graduate Student
The author considers transition from differential equation system with quotient derivatives to a non-linear differential equation system in Cauchy form. The method of management synthesis with AKAR method for nonlinear equation system with distributed constants is given. The transition process, intersection of surfaces and phase trajectory in phase space are plotted.
Key words: mathematical model, hydrodynamic mode, object of management, control impacts.
Основным негативным воздействием условий разработки месторождений является истощение эксплуатационных запасов ввиду чрезмерных водоотборов, существенно превышающих объемы природного инфильтрационного питания горизонтов. Дисбаланс выражается в том, что в процессе эксплуатации происходит систематическое снижение динамических уровней и осложняются как условия разработки месторождения, так и общая экологическая ситуация в районе. По этой причине основной задачей исследований являлось обоснование оптимальных гидродинамических режимов эксплуатации водозаборных сооружений , обеспечивающих минимальное истощение эксплуатационных запасов подземных вод.
Имеются пять водозаборных скважин центрального участка Кисловодского месторождения, из которых откачивается минеральная вода «Нарзан», и пять контрольных скважин. Центральный участок месторождения размещается в долине, сформированной слиянием рек Березовая и Оль-ховка, непосредственно в центре города. На участке эксплуатируется один водоносный горизонт.
Требуется разработать систему управления расходом (дебитом) минеральной воды из скважин, обеспечивающую заданное понижение уровня минеральной воды Б водоносного горизонта в контрольных скважинах [2].
Математическая модель системы управления представлена в виде дифференциального уравнения в частных производных и запишется следующим образом [3]:
S = -п
d2S ----2
дх
, d2S
к--------
ку ду2
- FS dx
(1)
-S(t) х8( х, у, z),
где S - понижение уровня, м; кх, ку, kz - коэффициенты фильтрации по соответствующим осям, м/сут.;
П - коэффициент упругоемкости коллектора; Р -скорость движения водоносного горизонта; ¿(^) -управляющее воздействие.
Исток водоносного горизонта находится в гористой местности, формирование водного баланса которого подчинено сезонным природным условиям. В весеннее и летнее время, когда происходит обильное таяние снега, давление возрастает (уровень понижения имеет отрицательный знак), как следствие, возрастает и скорость течения в водоносном горизонте (рис. 1). В осеннее и зимнее время скорость течения падает, т.к. падает пластовое давление (уровень понижения имеет положительный знак). Исследования, проведенные геологической службой ЗАО «Нарзан», показывают, что эти сезонные колебания скорости связаны с уровнем понижения давления в пласте (переменным состоянием) следующей зависимостью:
Р = Р -Р1, Р = 15, Р = а = 0,5. (2)
Рис. 1. Зависимость скорости течения F от понижения уровня S
Конструктивные параметры объекта.
Конструктивные параметры объекта управления следующие:
1. Длина центрального участка составляет XL = 1080 м, ширина участка - YL = 270 м, глубина скважин - ZL = 165 м.
2. Число точек дискретизации по осям х:
i = 1,7 ; у: j = 1,4 ; х: k = 1,4 [3].
3. Определение шагов дискретизации Дх, Ду, Дz по осям прямоугольной сетки, исходя из соотношений
XL 1080 ...
Дх = —^ =------= 180,
1 -16 (3)
. У, 270 7, 165 сс у ’
Ду = —^ =-= 90, Дх = —^ =----------= 55.
у -1 3 к -13
4. Понижение уровня Б-,^ в точках объекта с координатами = 0,8,у = 0,5, к = 0,5 выходит за границы сетки дискретизации и в расчет не берется [2]. Понижение уровня Бу к будет изменяться только во внутренних точках объекта - , = 2,...,6, у = 2,3, к = 2,3 . Таким образом, система дифференциальных уравнений в форме Коши - 5x2x2 = 20 порядка.
5. Б,,к - это дебит (водозабор из скважин).
Физический смысл Б,,!к - входное (управляющее) воздействие на объект управления, приложенное в точках дискретизации: Б2д3 = и1, Б3,33 = и2,
~ ~ = и4, Б63,3 = и5. В этих точках
43,3
= из
5б,3,3
8(х,у,х) = 1. В остальных точках 8(х,у,х) = 0 .
6. Коэффициент упругоемкости коллектора П - параметр, характеризующий перетекание воды из одного водоносного горизонта в соседний. Если такое перетекание мало, то коэффициент выбирают близким к нулю. Принят постоянным П = 2х10-7 1/м [2].
7. Коэффициент фильтрации по пространственным координатам к,,к количественно характеризует водопроницаемость горных пород (способность пропускать через себя воду). Значения коэффициента составляют 0,2 до 0,45 м/сут (известняк) [2].
8. Соотношение Р = (Р0 - аэт(Б)) - нелинейная величина, определяющая скорость движения водоносного горизонта.
Граничные условия объекта управления. В рассматриваемом случае граничные условия по координатам х, у, г имеют следующий вид [3]:
дБ( х = 1, у, г, і)
= 0,
дх
Б( х, у = 1, г, і) = 0; дБ(х, у = 4, г, і)
дБ( х = 7, у, г, і) дх
= 0;
= 0;
= 0 дБ( х, у, г = 4,і) = 0
(4)
(5)
(6)
(7)
ду
дБ( х, у, х = У)
дх ' дх
Граничные условия (4), (6), (7) второго рода (постоянство производной на границе) и говорят о том, что падение уровня Б на границе равно понижению уровня в точке, находящейся рядом с границей [3].
Граничное условие (5) первого рода (постоянное, установившееся значение функции на границе) и говорит, что мощность поступающего потока в граничные точки извне такова, что понижение уровня во внутренних точках не влияет на понижение уровня на границе (5).
Построение модели системы управления. Проведем конечномерную аппроксимацию дифференциального уравнения в частных производных (1) методом конечных разностей [3]:
6 1 1,\ Б'-1.Ук - 2Б1,у,к + Б/+1,ук
, У ,к = _ х к,, У к I ~2
П I Дх2
1 .
-х к, і ,к П
+ _ х кі, і ,к П
■V+1, і, к
Бі, і-1,к 2Бі, і ,к + Бі, і+1,к
Ау 2
Бі, і ,к-1 - 2Бі, і ,к + Бі, і к+1
\
Аг2
(Р -авіпБк));
~ Бі, і,і
Ах
- Б/, і к (і) х§( х і, у,■, гі).
(8)
Для перехода к системе дифференциальных уравнений в форме Коши вводим следующие переменные состояния и обозначения:
Б2,2,2 = х1 , Б3,2,2 = х2 , Б4,2,2 = х3 , Б5,2,2 = х4 ,
Б6,2,2 = х5 , Б2,3,2 = х6 , Б3,3,2 = х7 , Б4,3,2 = х8 ,
Б5,3,2 = х9 , Б6,3,2 = х10 , Б2,2,3 = х11, Б3,2,3 = х12
Б4,2,3 = х13 , Б5,2,3 = х14 , Б6,2,3 = х15 , Б2,3,3 = х16
Б3,3,3 = х17 , Б4,3,3 = х18, Б5,3,3 = х19 , Б6,3,3 = х20
д = 1 д = 1 д = 1
пАх2 , д2 * 2 , пАу 2 3 пАг2
С учетом граничных условий (4)-(7) и введенных обозначений модель системы управления в форме Коши представляется в виде многомерной системы:
Рис. 2. Схема дискретизации объекта
х1 = -к1д1х1 + к2д1х2 - 2к1д2х1 + к6д2х6 - к1д3х1 + к1 1д3х11 -
-(Р - аэ1п(х^)-
Дх
х19 = к18 д1х18 - 2к19д1х19 + к20д1х20 + к14д2х14 - к19д2х19 +
- и4;
+к9д3х9 - к19д3х19 - (Р - аэ1п(х19))х20 х19
х2 — к1д1х1 — 2к2д1х2 + к3д1х3 — 2к2д2 х2 + к7д2х7 — к2д3х2 +
+к12д3х12 - (Р0 - авт(х2))-
Дх
х3 = к2д1х2 - 2к3д1х3 + к4д1х4 - 2к3д2х3 + к8д2х8 - к3д3х3 +
+к13д3х13 - (Р - аэ1п(х3)) х4Дхх3;
х4 = к3д1х3 - 2к4д1х4 + к5д1х5 - 2к4д2х4 + к9д2х9 -
-к4д3х4 + к14д3х14 - (Р0 - аэ1п(х4))-
Дх
х5 = к4д1х4 - к5д1х5 - 2к5д2х5 + к10д2х10 - к5д3х5 + к15д3х15 ; х6 = -к6д1х6 + к7д1х7 + к1д2х1 - к6д2х6 - к6д3х6 + к16д3х16 -
- (Р - аэ1п(х6)) х7Дхх6;
х7 = к6д1х6 — 2к7дх + кдд1х8 + к2д2х2 — к7д2х7 — к7д^х7 +
+к17д3х17 - (Р - аэ1п(х7)) х8Дхх7;
х8 = к7д1х7 - 2к8д1х8 + к9д1х9 + к3д2х3 - к8д2х8 - к8д3х8 +
+к18д3х18 - (Р - авт(х8))-
Дх
х9 = к8д1х8 - 2к9д1х9 + кюд1хю + к4д2х4 - к9д2х9 -
-к9д3х9 + к19д3х19 - (Р - авт(х9))-
Дх
х10 = к9д1х9 - к10д1х10 + к5д2х5 - к10д2х10 - к10д3х10 + +к20д3х20 ;
хц = —кцд1х11 + к12д1х12 — 2кцд2х11 + к16д2х16 + к1д3х1 —
-кцд3хц - (Р - авт(хц)) х12Дхх11;
.х12 = кпдх1 — 2к12д1х12 + к13д1х13 — 2к2д2х12 + к17д2х17 + +к2д3х2 - к12д3х12 - (Р - авт(х12)) х13Дхх12;
-х13 = к12д1х12 - 2к13д1х13 + к14д1х14 - 2к13д2х13 + к18д2х18 +
+к3д3х3 - к13д3х^ - (Р - аэ1п(х13)) х14Дхх13 ;
.х'14 = к13д1х13 — 2к14д1х14 + к15д1х15 — 2к14д2х14 + к19д2х19 +
+к4д3х4 - к14д3х14 - (Р - а эт(хи))-
Дх
х15 = к14д1х14 - к15д1х15 - 2к15д2х15 + к20д2х20 + +к5д3х5 - к15д3х15 ;
х16 = -к16д1х16 + к17д1х17 + к11д2х11 - к16д2х16 + к6д3х6
-к16д3х16 - (Р - аэт(х16))
х17 - х16
Дх
- и1
х17 = -к16д1х16 - 2к17д1х17 + к18д2х18 + к12д2х12 - к17д2х17 +
+к7д3х7 - к17д3х17 - (Р0 - аЗ'п(х17))
х18 - х17
Дх
- и2
х18 = к17д1х17 - 2к18д1х18 + к19д1х19 + к13д2х13 - к18д2х18 +
+к8д3х8 - к18д3х18 - (Р - а э1п(х18)) х19Дхх18 - и3;
Дх
х20 = к19д1х19 - к20д1х20 + к15д2х15 - к20д2х20 + к10д3х10 --к20д3х20 - и5 .
(9)
Ставится задача синтеза управлений и-ь и2, и3, и4, и5, обеспечивающих перевод объекта (10) из произвольного начального состояния в некоторой области фазового пространства в заданное состояние и стабилизацию состояний к постоянному значению х1 = х° , х2 = х° ,
х3 = х0, х4 = х0, х5 = х° [5].
Макропеременные ут (х1,..., хп) должны удовлетворять функциональному уравнению [3] Т'тМ'т (^) + Ут (^) = 0 (10)
на траекториях движения замкнутой системы.
В соответствии с числом независимых каналов управления, для рассматриваемого объекта может быть назначено пять инвариантов. Анализируя математическую модель, можно отметить, что управляющие воздействия и-ь и2, и3, и4, и5 входят в правые части дифференциальных уравнений, отражающих динамику изменения переменных х16, х17, х18, х19, х20, т.е., при векторном управлении сначала используем параллельную совокупность многообразий по числу каналов управления, а затем осуществляем последовательный перевод ИТ от одного притягивающего многообразия к другому в соответствии с процедурой синтеза скалярного управления.
Анализируя математическую модель (9), можно заметить, что управляющие воздействия и - и5 входят в правые части дифференциальных уравнений, отражающих динамику изменения состояний х16 - х20. Следовательно, согласно методу АКАР, может быть назначено пять инвариантов (стабилизация понижения уровня х-ь х2, х3, х4, х5). Целесообразно выбрать параллельную совокупность инвариантных многообразий следующего вида [4]:
4*1 = х16 + Ф1,
^2 = х17 + Ф2 ,
У3 = х18 + ф3 , (11)
У 4 = х19 + ф4 ,
У5 = х20 + ф5 .
Инвариантные многообразия (11) должны удовлетворять решению системы функциональных уравнений АКАР:
Т1Ч/1(^) + 4*1 = 0
Т2Х^ 2(^) + ^2 = 0
Т3Ч/3(^) + ^3 = 0 (12)
Т441 4(^) + У4 = 0,
Т5Ч/5(^) + ^5 = °.
Структура многообразий (11) определяется необходимостью выполнения инвариантов [4]:
(13)
х1 -х° = 0, х2 -х20 = 0, х3 -х30 = 0, х4 - х0 = 0, х5 - х° = 0, где х°, х20, х30, х°, х50 - заданные значения переменных состояния.
При попадании изображающей точки системы на пересечение многообразий у = 0, у2 = 0,
у3 = 0, у4 = 0, у5 = 0, согласно методу «расширения - сжатия фазового пространства», происходит декомпозиция системы (10) и динамика системы описывается следующими уравнениями:
х1у = -к1д1х1у + к2д1х2ц> - 2к1д2х1у + к6д2х6 - к1д3х1у +
+к11д3х11ш-(Р0 - а 5'П( х1ш))
X2v х1у.
Ах ’
•х2^ = к1д1х1ц, - 2к2д1х2ц, + к3д1X3v - 2к2д2^ + к7д2^ '
~к2д3х2¥ + к12д3х12¥ - (Р0 - а5'П(х2¥))
х3у х2у.
Ах ’
^ = к2д1х2ц> - 2к3д1X3v + к4д1х4¥ - 2к3д2х3¥ + к8д2х8¥ '
~к3д3х3¥ + к13д3х13¥ - (Р0 - а5'П(х3¥))
х4^ х3^. Ах ’
-к4д3х4¥ + к14д3х^ - (Р - авіп(х4^))
х5^ X4v.
Ах ’
х5ці - к4д1х4ці - к5д1х5ці - 2к5д2х5ці + к10д2х10^ - к5д3х5ці +
+к15д3х15^ ; х6 ^ = -к6д1
+к1бд3Ф1 - (р - авіп(хб¥))
х6V = -к6д1х6^ + к7д1X7v + к1д2х% - к6д2х6^ - к6д3х6^ +
х7^ - х6^ .
Ах
х7^ = к6д1х6^ - 2к7д1х7ці + к8д1х8^ + к2д2х2у - к7д2х7^ -
~к7д3 х7\у + к17д3Ф2 - (Р - аїіп(х7¥))
х8у X7v,
Ах ’
-х8^ = к7д1х7V - 2к8д1х8^ + к9д1х9^ + к3д2х3^ - к8д2х8^ '
-к8д3х8¥ + к18д3Ф3 - (р - авіп(х8¥))
X8v ■
Ах ’
X9v = к8д1X8v - 2к9д1-*^ + к10д1х^ + к4д2-^ - к9д2X9v '
к9д3 +
к19д3Ф4 - (р - аїіп(х9¥))
X10v ■
Ах ’
х^ = к9д1X9v - к10д1х^ + к5д2- к10д2х^ --к10д3х10¥ + к2д3ф5 ;
х1% = -к11д1х1% + к12д1 х12V - 2к11д2х11V + к16д2ф1 + +к1д3 х% - кид3 х11¥ - (Р0- а їіп( х11¥)) х12^хх1%;
'X12v = к11д1х11¥- 2к12д1х12V + к13д1х^ - 2к12д2х^ + +к17д2ф2 + к2д3X2v - к12д3х^ -
-(Р - авіп(X12v))- Ах .
х^ = к12д1х12V - 2к13д1х^ + к14д1х14V - 2к13д2X13v + +к18д2ф3 + к3д3X3v - к13д3X13v -
X13v - X12v .
-(Р - авіп(х^))
х14у х13у,
Ах ’
X14v = к13д1X13v - 2к14д1X14v + к15д1х15\у - 2к14д2X14v ' +к19д2ф4 + к4д3X4v - к14д3X14v -
-(Р - авіп(X14v))
X15v х14у,
Ах ’
X4v = к3д1X3v - 2к4д1X4v + к5д1х5у - 2к4д2X4v + к9д2X9v -
X15v = к14д1 х14V - к15д1х15V - 2к15д2X15v + к20д2ф5 +
+к5д3х5ц1 - к15д3х15у ,
(14)
где неизвестные функции ф1, ф2, ф3, ф4, ф5 -«внутренние» управления.
На втором этапе синтеза для поиска «внутренних» управлений вводится группа внутренних инвариантных многообразий у6 = 0, у7 = 0, у8 = 0, у9 = 0, у10 = 0 по числу внутренних управлений [4]:
У6 = ^^1 + х1 — х1 = 0,
^7 = х^2 + х2 — х2 = 0,
У8 = х3 + х3 - х3 = ^ (15)
^9 = х4 + х4 — х0 = 0,
Ч'ю = •х5 + х5 - х5 = °.
Инвариантные многообразия (15) должны удовлетворять решению системы функциональных уравнений АКАР:
Т6^¥ 6({) + ^6 = 0,
Т7417^) + У7 = 0,
Т8Х\18(^) + ^8 = ^ (16)
Т9Х^9(^) + ^9 = ^
Т10'+/10(^) + ^10 = °.
Совместно решая системы уравнений (14), (15), (16), определяем внутренние управления ф-ь ф2, ф3, ф4, ф5, после этого из решения (9), (11), (12) находим неизвестные внешние управления и-ь и2, и3, и4, и5 [5].
Параметры объекта управления следующие: коэффициент упругоемкости коллектора - п = 0,000002; коэффициенты фильтрации по пространственным координатам -к1 = 0,2, к2 = 0,2, к3 = 0,2, к4 = 0,25, к5 = 0,25, к6 = 0,25, к7 = 0,3, к8 = 0,3, к9 = 0,3, кю = 0,35, к— = 0,35, к12 = 0,35, к13 = 0,4, к^4 = 0,4, К15 = 0,4, к16 = 0,45, к17 = 0,45, к18 = 0,45, к19 = 0,45, к20 = 0,45; коэффициенты нелинейности - а = 0,5, Р0 = 1,5. Параметры настройки регулятора следующие: Т = 0,5, Т2 = 0,1, Т3 = 0,5, Т4 = 0,4, Т5 = 0,6, Т6 = 0,5, Т7 = 0,1, Т8 = 0,5, Т9 = 0,4, Тю = 0,6.
На рис. 3 представлены результаты моделирования - стабилизация состояний х-ь х2, х3, х4, х5 к установившемуся значению х° , х° , х), х°°, х) [1]. На рис. 4 изображены изменения во времени управляющих воздействий и1, и2, и3, и4, и5 в зоне расположения 1-й скважины в метрах. На рис. 5 изображен фазовый портрет, пересечение внешних инвариантных многообразий у! = 0, у2 = 0 в трехмерном фазовом
пространстве х! - х2 - х3: фазовые траектории, стартуя из произвольных начальных условий, под действием управления попадают на пересечение многообразий, а затем движутся к установившемуся состоянию.
1
00 2.5 5.0 7.5 ю1
Рис. 5. Пересечение ИМ, ФТ
Заключение
Рис. 3. Переходной процесс
[
0 2 4 6 8
Рис. 4. Управляющие воздействия
Синтезированные законы управления u1, u2, u3, u4, u5 обеспечивают асимптотическую устойчивость движения замкнутой системы относительного заданного состояния, определяемого требованиями технологического процесса, устойчивый переходной процесс, который говорит о том, что через 8 суток произойдет стабилизация понижения уровня в контрольных скважинах к заданному значению S = -1.
Список литературы
1. Дьяконов В. MAPLE 7: Учебный курс. - СПб.: Питер, 2002.
2. Михайлов Л.Е. Гидрогеология. - Л.: Гидроме-теоиздат, 1985.
3. Першин И.М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами. - Пятигорск: Рекламноинформационное агентство на КМВ, 2007.
4. Современная прикладная теория управления: Синергетический подход в теории управления / Под ред. А.А. Колесникова. Ч. II. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000.
5. Современная прикладная теория управления: Новые классы регуляторов технических систем / Под ред. А.А. Колесникова. Ч. III. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000.
Атрощенко Олег Игоревич,
Пятигорский государственный технологический университет, аспирант,
телефон (4932) 26-97-57.
