CC BY
10
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
1970
Том 184
ШЕСТИПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ СЕМЕЙСТВО КОНИК в Р3
В. И. МАТВЕЕНКО
(Представлена кафедрой высшей математики)
В настоящей статье "продолжается исследование шестипарамет-рических семейств кривых второго порядка (коник) в трехмерном проективном пространстве (см. [4] ). Рассматривается семейство /С(3,6)— шестипараметрическое семейство невырожденных коник С, плоскости которых образуют трех'параметрическое семейство. Получен основной объект [1]. Найдены и геометрически охарактеризованы относительные; и абсолютные инварианты. Построен канонический репер, рассмотрены некоторые подмногообразия семейства К (3,6), некоторые геометрические образы, ассоциированные с семейством К(3,6), и некоторые классы этого семейства. Обозначения и терминология соответствуют принятым в [1] — [5]. Индексы принимают, следующие значения: /, у, к, g, t = 1,,2; i ф j\ k ф t; m, n, r = 1, 2, 3; m ф n\ m Ф г; пфг\ a, p, T - I, 2, 3, 4; X = 1, 2, 3, 4, 5, 6; a = i + 3; * = /4 3. По ¿, j, g, r, a не суммировать!
Поместим вершины A^ и A2 подвижного репера {Ла1 в различные точки коники С, вершину Аг — в полюс прямой А1А2 относительно коники С, вершину Л4 — в произвольную точку проективного пространства, не1 лежащую в плоскости коники. Деривационные формулы репера {Аа} имеют вид:
¿м« = о)!Мз, (i)
где < — формы Пфаффа, удовлетворяющие уравнениям структуры проективного пространства
DœÊ=K<o?]. (2)
Уравнения коники С относительно этого репера имеют вид:
(л3)2 - 2pxix2 = О, х4 = 0, р ф 0. (3)
Произведем частичную нормировку вершин репера |Ла}, положив /7=1. ФорМЫ
4 j j 3 k о 3 со„, а/3 — 0)f, COfe — 2(1)3
являются главными формами. Выберем из них за базисные
,4 j k о 3
Остальные главные формы выразятся через них в виде:
— со? = С} (ох. (4)
12. Заказ 7028
17"
Из этих уравнений обычным путем [1] получается следующая система дифференциальных уравнений внутренне^* фундаментального
объекта С2 {С*}:
oCf = Cf(4 + 4 - т4 - Ц) + cf+3*43-* -
k
+ IUI sc? = dl (^4 - + 2cW - 4 - (5)
— 2 + ял — 3Ct 2 c^*>
k k
scf+3 = Cf+3 [4 - «{+ 2SJ (*{- 2^)1 -
— ^Ь/ Lk ^k ~ ¿Li "k ~r T '7/j
k k
оС/ = Сг (^з — rf) — 2 CkC^'T,^ -f- щ — 3Ci 2 Ct~k-
к k
Так как эта система уравнений алгебраически разрешима относительно всех независимых вторичных форм 4 = 4 — то объект Сг является основным [1]. Система уравнений (5) дает возможность произвести следующую фиксацию репера:
С] = Ct = 0. (6)
Формы (о? и о>з становятся главными и можно записать их разложение по базисным формам в виде
3 /->ЗХ i ./о/Х
(Ol = Сi 0)3 = С3 (ох. (7)
Выясним геометрический смысл фиксации (6). Голономный комплекс коник (Dj = ш2 = (Ь3 = 0 геометрически характеризуется тем, что для него плоскость коникй неподвижна. Среди подмногообразий Wx [5J коник
Ш1 = = = О» ш4: w5: = : : (8)
принадлежащих этому комплексу, существует в общем случае сорок восемь таких подмногообразий коник, для каждого из которых коника С имеет две двухкратные характеристические точки Ми (и = 1, 2, 3, ..., 48). Это предложение вытекает из рассмотрения системы уравнений
(х3)2 — 2ххх2 = 0, xi — 0, jC4« = 0,
(9)
xlx*wG
+ 2 [(**)?0>*+з + (С£х - cf) сох] = О
для определения точек пересечения исходной и смежной коник семейства К{3,6). При фиксации (6) вершины Л1 репера \А0} помещаются в точки м[. Подмногообразие ЧТ? коник «>/ = ш2 = т3 = ш4 = = ш- = 0 геометрически характеризуется тем, что для него плоскость коники неподвижна, а точки А-ь являются двухкратными характеристическими точками коники С. Обозначим через С* конику, проходящую через точку Л3 и характеристические точки коники С, соответствующие подмногообразию х¥* коник со, = ш2 = (о3 = = = Подмногообразие гГ[ коник геометрически характери-
зуется тем, что для него плоскость коники неподвижна, точки Ах
и Л2 полярно сопряжены относительно дополнительной коники С/, а точка А} является точкой, огибающей семейства прямых (ЛуЛ3), Используя систему уравнений (9), получаем уравнения коники с\
(х1)2 + Скхкх* = 0, х4 = 0.
*
Из этих уравнений следует, что коника С/ проходит через точку Л;- и, кроме точки Л3, пересекает прямую Л/Л3 еще в точке £)1 = С*Л/—Л3. Выбором базисные форм о>х исключаются случаи,-когда размерность многообразия плоскостей коник меньше трех,, когда характеристические точки коники С подмногообразия ста;-новятся неопределенными и случаи прохождения коник С1 через точки Л/.
Из системы уравнений (7) обычным путем получается следующая система дифференциальных уравнений внутреннего продолженного фундаментального объекта С2{СиСТ, Сзх} [1]:
ОСI =С1 (7Ц- + --Щ + С/ - 0/114,
ъс? = С? - 2*з + 4) 4- 2сГ = С? («5 + 4) + + сЫ,
оСз3 = С1з{щ — + 2С'ъЩ — Щ, (11)
8С^+3 = - 2тг| + 8С? = СГ (4 - «{).
зс^+3 «с8,**3 (2*1=1 «С? = С?6 Ы -
Из систем уравнений (5) и (11) непосредственно замечаем, что ве-Сз , С, , Сд. являются относительными инвариантами. Условие С* = О характеризует семейство коник, для которого точки,
Дг и Л3 полярно сопряжены относительно коники С* Условие С*.=О
1 з
характеризует семейство коник, для которого точка А] является двухкратной характеристической точкой коньки С подмногообразия Ч^. Условие С'з'п+3 0 характеризует семейство коник, для которого касательная /"+3 к линии (Лз)й)1ВаШ8вй)3=«,/й+совпадает
с прямой Л3Лу-. Условие С?6 = О [С3х — 0] характеризует семейство коник, для которого точка Л/ неподвижна для подмногообразия ЧГ? [1Г{]. Условие С3а — 0 характеризует семейство коник, для которого касательная I] к линии (Л^)Ш|^Ш2=зШз=Шх совпадает с прямой А1А2.
Величины ■ .
Ь2 01 Су
СО <3
,, , ..... .. , Н = Су С £, О* = -—
С^Сз2а
являются абсолютными инвариантами. Геометрически они характеризуются через сложный отношения четверок точек следующим образом:
Л = (А1А2; Ж?2513), В1~(А1А3; Е1=Л-(А1А3; Я^Д //| = — 2 (Лг/!3; (12)
Сг = — (Л1Л2; 5*з<2з/), Г2* 179
где £¿3 — точка пересечения прямой ЛХЛ2 с полярой точки Л3 от-
Э|Е W
носительно коники С/, Si — точка пересечения прямой ,Л;Л3 с полярой точки Di относительно коники С, М\2 [М%] — точка огибающей семейства прямых (^1^a)»i-c0a-a,e-®4-«06-t)[(i4ii43)(0iea)a-co3-mx-a,e-o]^ QsmlQi] — -точка пересечения прямой АгА2 [Л;Л3] с. касательной к линии
-о], S1 — точка пересечения
прямой AtAz с полярой точки Л/ относительно коники с].
Используя выражения (12), получаем следующие равенства:
(А,А,; M%Q3H) = ~\, (Л,Л3; SlDi) =
{АХАЪ- S2M4^) - (Л,Л3; - (Л2Л3; S,Ml) - (Л2Л3; Q,D2).
Исключая из рассмотрения случаи обращения в нуль относи-
36
тельных инвариантов С) осуществим следующую фиксацию репера:
n3Qn3i ^16^23 ^26^13 п />i//V?6 n&r&J 1
Ц/ W .— Li Lj = Оз Ьз — из Сз = и, из Ь/ — С3 С/ = 1,
('3,
сГ ф о, 2 CM (cfcf+3 - cf ср+3) # 0. k
Учитывая еще условие эквипроективности (Л1Л2Л3Л4) = 1, получаем, что все вторичные параметры зафиксированы и репер jАа] становится каноническим. Выясним геометрический смысл фиксации (13). Обозначим через
Щ = М/. CfAj + (cfcf - cfcf) л3,
(14)
{cfcf — CfCf) Л3 + Су6Л4} касательную плоскость к неголономной поверхности (ЛЛ0.=0>,=ш =(оз_0
J 3 X j ,
а через
= С5%, CfAk + At) (15)
касательную плоскость к неголономной поверхности (Л3)и)[^^=а)4=О).=0 . Неголономное подмногообразие [5] коник = ш3 = шх = шу = 0 геометрически характеризуется тем, что для него точка Aj неподвижна, а прямая Л;Л3 является характеристикой плоскости коники. Неголономное подмногообразие Т2
коник = со2 = 0)4-= = 0 геометрически характеризуется тем, что для него точки Л/ являются характеристическими точками прямых Л,Л3.
, Характеристическим элементом плоскости [прямой линии] F подмногообразия [5] плоскостей [прямых линий] (F) назы-
вается такая прямая линия [точка] /, первая дифференциальная окрестность которой для всех подмногообразий Wu принадлежащих подмногообразию гГх~ь не выходит из плоскости [прямой линии] F.
Из выражений (14) и (15) следует, что при фиксации (13) вершина Л4 репера {Аа} помещается в точку пересечения плоскостей аг.
При этом исключается случай принадлежности всех плоскостей аг одному пучку плоскостей. ,При фиксации
clJc?-cfc¥= 1
исключается случай прохождения касательной к линии
через точку Л*. Неголономное подмногообразие Т5 коник = 0 геометрически характеризуется тем, что для него точка Ла является
характеристической точкой плоскости ЛаЛтЛр. (а, р, т, ¡х = 1, 2, 3 4; а Ф р, ъ р Ф н-; * Ф р)-^ Деривационные формулы построенного канонического репера имеют вид:
йА1 == С|ха>хЛ* + + С?\охЛ3 +
<16)
йАг ~ С?\охЛя + %Л4, ¿Аа = С^шхЛр,
где
СрХ = О, С^х — 2СзХ = 8е.
Уравнения структуры (2) приводят к системе внешних квадратичных дифференциальных уравнений, совместность которой непосредственно следует из теоремы (2) работы [6]. Решение этой системы зависит от двух функций шести аргументов, что соответствует тому геометрическому факту, что семейство коник /С (3, 6) существует с произволом двух функций шести аргументов.
Из систем уравнений (9), (10) и формул (16) вытекают следующие предложения:
1) Неголономная конгруэнция (подмногообразие Т2) коник соI — ш3 — ша = со0 = 0 геометрически характеризуется тем, что для нее фокусы коники С совпадают с точками ее пересечения с коникой Су. Для этой конгруэнции точка Л/ является трехкратным фокусом ко-, ники С и "характеристической точкой прямой Л,Л3. Остальным фокусам коники С соответствует строенное фокальное семейство = 0. Причём, фокальные линии о>у- = 0 являются плоскими линиями, расположенными в плоскостях коник С.
2) Неголономная конгруэнция коник = ш3 = шх = ш0 = 0 геометрически характеризуется тем, что для нее фокусами коники С являются точки ее пересечения с коникой С* и точка Л*. Причем, точка Л/ является двухкратным фокусом, которому соответствует фокальное семейство <оа = 0. Остальным фокусам соответствует счет-'веренное • фокальное семейство ш,. = 0. Прцчем, фокальные линии ■ " шу = 0 являются плоскими линиями, расположенными в плоскостях коник С.
3) Для неголономной конгруэнции коник = о)3 = о)4 — ш5 = О фокусы коники С совпадают с точками Ак. Причем, точка Л* является четырехкратным фокусом, а точка Л;—двухкратным фокусом, которому соответствует фокальное семейство = 0. Касательная плоскость к фокальной поверхности (Л;-) совпадает с плоскостью Л;-Л3Л4, а фокальные линии шу =^0 на поверхности (Л;) являются плоскими лициями, расположенными в плоскостях коник С. Для этой конгруэнции коник точка Л/ является характеристической точкой прямой Л/Лз.
4) Для неголономной( конгруэнции коник с^ о)2 = (о4 = о>5 = О точки Л/ являются трехкратными фокусами коники С и характеристическими точками прямых А(А3.
5) На неголономной поверхности (Л3) -«,3=Ш4=й>5-о асимптотические линии совпадают с линиями ш/ш3 =0. Причем, касательная к линии о)з = 0 совпадает с прямой АгА^.
6) ДЛЯ НеГОЛОНОМНОЙ КОНГруЭНЦИИ ПРЯМЫХ (Л^з)ш/=а)3=ш4 = ш5 = 0
фокусы луча совпадают с точками Л; и Л3, а торсами являются линейчатые поверхности «)*о)з = 0. Причем, торсы щ = 0 вырождаются в плоскости коник С, а касательные плоскости к фокальным поверхностям (Л;) совпадают с плоскостями Л/Л3Л4.
7) Для неголономной конгруэнции прямых (Л^Ц^^^ один из фокусов луча совпадает с точкой Л3, а линейчатые поверхности («¿ш^ = 0 являются торсами. Причем, торсы = 0 вырождаются в плоскости коник С.
8) Для неголономной конгруэнции прямых фокусы луча совпадают с точками Аь и Л3, а торсы — с линейчатыми-поверхностями («¿а^ — 0. Причем, торсы = 0 вырождаются в плоскости коник С.
9) Для неголономной конгруэнции прямых (ЛгЛ4)0)/=0^=Ша=а) =0 (й =у, 3; г = х, 6) один из фокусов луча совпадает с точкой Л/, а торсами являются линейчатые поверхности = 0. Причем, торсы со? — 0' вырождаются в конусы с вершинами в Л/. Для этой конгруэнции точка Л/ является характеристической точкой прямой Л/Л3.
Рассмотрим два класса семейств /С(3,6). Семейства коник /С/(3,6), характеризуемые натуральными уравнениями Сз6 = 0, существуют и определяются с произволом одной функции шести аргументов. Они имеют следующие характеристические свойства- линия (Л3)(Ц1=Ша-о является прямой линией, совпадающей с прямой Л3Лу-; линия (Лу)ш1=о^=а)3=(и,—ш5=о вырождается в точку; конгруэнция коник ш2 = (1>3 = со5 = = 0 является голономной конгруэнцией; неголономная конгруэнция прямых (ЛуЛ3)ш;=,Шз=Ш4=а>5=о вырождается в линейчатую поверхность, касательные плоскости к которой в точках Л;- и Лч совпадают с плоскостями Л;-Л3Л4 и А1А2АЯ соответственно.
ЛИТЕРАТУРА
1. Г. Ф. Лаптев. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий Труды Моск. матем. общества, 2, 1953, 275—382.
2. С. П. Фиников. Метод внешних форм Картана. ГИТЛ, М.-Л., 1948.
3. В. С. Малаховский. Невырожденные конгруэнции кривых второго порядка в трехмерном проективном пространстве. Геометрический сборник, вып. 3 (Труды Томского ун-та* 168), 1963, 43—53.
4. В. И. Матвее н ко. Дифференциальная геометрия шестипараметрического семейства невырожденных коник, плоскости которых образуют двухпараметрическое семейство. Третья Прибалтийская геометрическая конференция. Тезисы докладов. Пала ига, 1968, 114—115.
5. Р. Н. Щербаков. О методе подвижного репера и репеража подмногообразий. Геометрический сборник, вып. 6 (Труды Томского ун-та, 191), 1967, 179—194
6. В. В. В а с е н и н, Р. Н. Щербаков. О системах внешних квадратичных, дифференциальных уравнений. Сибирский матем. журнал.
