CC BY
37
Естественные науки
УДК 514.753.28
НЕГОЛОНОМНЫЕ КОМПЛЕКСЫ В ЭКВИАФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Р.Н. Щербаков, Н.Р. Щербаков
Томский государственный университет E-mail: [email protected]
Продолжение начатого ранее изучения неголономных геометрических образов. Построен репер неголономного комплекса прямых. Прослеживается характерное для неголономной геометрии раздвоение понятий аффинного центра, конгруэнции W, главного регулюса.
1. Построение репера. Аффинные центры первого
и второго рода
В работе [1] построен канонический репер неголономной поверхности. Следующим этапом будет изучение линейчатых неголономных геометрических образов. Совокупность всех прямых трёхмерного пространства зависит от четырёх параметров t0, t3. Линейчатый комплекс, т.е. трёхпа-раметрическое семейство прямых в эквиаффинном трёхмерном пространстве А3, можно задать [2] одним вполне интегрируемым уравнением Пфаффа относительно этих параметров
«=0,1,2,3. (1)
Неголономный комплекс можно определить как совокупность интегральных регулюсов (линейчатых поверхностей, рассматриваемых как 1-семейства прямых [3]), одного не вполне интегрируемого уравнения Пфаффа. Впервые понятие него-лономного комплекса было введено Н.И. Кован-цовым в [4].
Деривационные формулы репера {А,еье2,е3} запишем в виде
dA=0ie¡, de¡■=0j■eí, г,7=1,2,3, 01+02+03=0, где формы Пфаффа 0=0'0, О] удовлетворяют уравнениям структуры аффинного пространства
1Ю. г=0]л0), а=0,1,2,3 (2)
и, согласно общей теории подвижного репера [3], О 'а =п'а +<,
где
пia=hia%т)dтp, а'а=Hií"(t,т)dтa, р=1,2.....12; а=0,1,2,3.
Параметры t и формы а будем называть основными (в литературе можно встретить синонимы: главные, первичные), параметры т и формы п -слоевыми (их часто называют вторичными или групповыми). За параметры т можно принять координаты векторов А, е1 репера относительно неподвижной системы координат.
Включив элемент (прямую) в репер, т.е. положив, что прямая г=А+Ае3 есть элемент комплекса, будем иметь
0'=а', 02=а2, 03=а3, 03=а3, т.е. п'=п2=п3=п3=0. Ур. (1) можно записать в виде: а1а1+ос2а>2+ ос3а>\+ а4а3=0, (3)
где ар=ap(t,т), р=1,2,3,4. При а=а2=0 получается комплекс, содержащий бицилиндрическую голо-номную конгруэнцию [3]. Его называют цилиндрическим и исключают из рассмотрения. Тогда (3) можно переписать в виде
а2=оа1+уа\+Щ. (4)
На луче неголономного комплекса можно ввести главную корреляцию точно так же, как и в случае голономного комплекса: точка <=> касательная плоскость торса, являющегося интегральным для (4) и имеющего эту точку фокусом. Получим A+te3 <=> {-(!+Х)е1+(у-Ы)е2, е3}.
Главная корреляция выродится, если стА+у=0.
В этом случае неголономный комплекс называется специальным [2]. Такие комплексы также исключаются из рассмотрения.
Дифференцируя ур. (3) с использованием (2), получаем
йо—о(ю\—ю\)—&ю\+ю\=о1в1, ёу—2уа>11—Х(о21—ау(о,1—а(ог=у1в', ^Х-Х{ю11+ю1)-(у+оХ)ю1г-ю'=Х9/,
(5)
где в1=а1, 92=ю2, 93=®3, 04=< /=1,.,4. Из (5) найдём зависимость о, у, X от слоевых (вторичных) параметров. Эта стандартная процедура описана в [3] (см. также [1]). Получаются уравнения:
ё о= о( я\-я1)+о2 тП— я\, йу=1л1—07П+Хл21+аул11, dX=X(лil+ж2)+(y+оX)лi1+л3, которые позволяют провести следующую простейшую фиксацию вторичных параметров о=0, я\=0, Х=0, п3+п1=0, у=1, п\=0.
Теперь главная корреляция примет простейший вид
А+1е3 <=> |/е1-е1,е3|, что и характеризует геометрически проведённую фиксацию:
А<=>{е1,ез}, А„<=>{е\,ез|, А±ез<=>{е1-(±е1),ез}.
Здесь А - несобственная точка луча. Начало репера А ещё не фиксировано. Уравнение комплекса (4) принимает вид
ю2=®3, (6)
а формулы (5) можно переписать в виде ю2=Лю1+Вю13+Сю2+& 2ю\=Eюl+Fюl3+Ою23+n9, ю3+ю1=Ню1+К®3+Рю3+С9, где для удобства положено 9=ю2-ю13 (тогда при 9=0 получаем значения левых частей вдоль регулюсов нашего неголономного комплекса).
Простейшим однопараметрическим подмногообразием комплекса является цилиндр. Он имеет уравнения ®3=®3=0 уже после включения элемента в репер. Поэтому его касательную плоскость можно определить, пользуясь исходным уравнением комплекса (4). Бивектор этой плоскости имеет вид
(7)
{е3, ¡А]
Ю = 0
= {е3,ю1е1 + ою1е2],
Точка прикосновения основного цилиндроида, т.е. точка г=А+1е3, в которой касательная плоскость торса, имеющего эту точку фокусом, совпадает с касательной плоскостью основного цилиндроида в этой же точке, имеет радиус-вектор
в
С, = А +-е3
1 2 А 3
(8)
и называется аффинным центром первогорода.
Инфлекционный центр определяется как точка 1=А+1е3 луча, через которую проходит торс, выродившийся в плоскость, и имеющий точку В особой точкой плоского ребра возврата. Торсы, имеющие фокусом точку В, можно задать так:
ю1 :ю1:ю2 = t: (-1): .
3 3 ^ +1
Из условия (е3,йе3,с!2е3)=0, означающего обращение торса в плоскость, и условия особенности точки В, т.е. йРВ=0, находим уравнение для определения координат инфлекционных центров 7|=А+/;е3 относительно нашего репера:
ЛМВ-Е^+(С-И^+(0+Х)-Р=0. (9)
Их центр симметрии называется аффинным центром второго рода и имеет радиус-вектор
^ л в -Е
С2 = А +-е3.
2 4 А 3
(10)
откуда сразу видно, что фиксация формы ж\ привела к совмещению плоскости {А, еь е3} репера с касательной плоскостью цилиндра.
Следующим по значению в аффинной теории комплекса является другое однопараметрическое подмногообразие - основной цилиндроид, т.е. регу-люс, состоящий из прямых, параллельных касательной плоскости цилиндра. Это подмногообразие впервые рассмотрено в [5, 6] с целью построения канонического репера комплекса (см. также [1. С. 136]). Его дифференциальные уравнения получаются из условий (е3,йе3,й2е3)=0, {е3,^е3}||{еье3} и могут быть записаны в виде
ю3=0, ю\=АюЧВю3=0.
Мы обнаружили первое «расщепление». Зависимость коэффициентов Л,...,Р от слоевых параметров находится обычным путём:
дЛ=Лп33, 5В=-5Е=1Лп1, 5С=-Сж33+Яж1+ж3, 8О=-2Оn\-(2C-F)^6l, дН^НП+ЕП-П SK=-2Kж33+(2H+F)П1, (11) 8F=-Fnl2+2(E-B)^¿í+2wl, 5Р=-3Вж33+(О+КК Из этих формул следует, что А есть относительный инвариант. Обращение его в нуль влечёт превращение одного из инфлекционных и обоих аффинных центров в несобственную точку луча. Этот случай мы будем исключать из рассмотрения, положив А^0.
Далее рассмотрим величины
ЫС+Н, ШК-О, И=Б+Е. (И)
Из (11) следует, что
8^тд-Ьл\, 5И=-2Иж33+2Zж1, 8Ы=0. (13) Поэтому совокупность величин Ь, И, N образует тензор, который называется тензором неголоном-ности, так как условие Ь=И=^0 является необходимым и достаточным условием вполне интегрируемости уравнения ю2-ю3=0, то есть условием голо-номности комплекса.
Величина N=B+E является инвариантом. Обращение её в нуль характеризует совпадение аффинных центров первого и второго рода, как это сразу следует из (8) и (10).
Что касается тензора неголономности, то, записав его в виде
^Ни, -Ь=Н11=Н11, И=Н11
и учтя, что для инвариантности (относительно замены слоевых параметров) точки r=A+tei необходимо, чтобы имело место ¿й=-П33, получим, что в силу (13) инвариантным будет и уравнение
где №=1. Определяемые этим уравнением точки известны под названием «точек неголономности» (см. о них [7-9]).
Канонизации репера по формулам (11) можно производить различными способами. Мы проведём прежде всего фиксацию
Р=0, П=0, G*KM, (14)
которая помещает начало репера в инфлекцион-ный центр (не кратный в силу G+K^0), как это сразу видно из (9).
Теперь для фиксации п3 можно взять любую комбинацию 8С, 8Н, 8¥, кроме 8(С—Н—Р)=0, так как С—Н—¥, как и все коэффициенты ур. (9), стали инвариантами. Мы проведём фиксацию
H+F=0, п?=0, (15)
при которой не накладывается никаких ограничений в виде неравенств и упрощается уравнение ин-флекционных центров. Оно принимает вид
Af-(B-F)HCf+(G+K)t=0. (16)
Нормировку вектора е3, т.е. фиксацию формы п33, можно проводить по разному. В частности, можно потребовать, чтобы точка А+е3 стала ин-флекционным центром (тем самым предполагается наличие минимум двух различных действительных инфлекционных центров), то есть потребовать, чтобы ур. (16) удовлетворялось при ¡=1. Эта фиксация имеет вид
A-(Б-E)+C+G+K=0, п33=0, А-С-2(0+К)*0. (17) Теперь все коэффициенты А,Б,С,Е^=-Н^,К стали инвариантами.
Оставшуюся вторичную форму п23 можно зафиксировать лишь на следующем этапе канонизации репера. Это приведёт к аннулированию какого-нибудь из коэффициентов формул
где
ю1=даюа, со\=расоа, со\=гасоа, ю-Н^соа,
й)'=со', ю2= со3, со3=со2, со4=6, а=1,2,3,4.
Основная система внешних дифференциальных уравнений принимает вид
ДАл со '+ДБл со 3+ДСл со 2+Д£л6=0,
АЕлсо 1+ДFл со 13+ДGлю3+Дnл6'=0, (18)
ДНл со 1+ДКл со 3+Д^л 6=0,
Дqал со а=Драл со а=Дгал со а=Дsал со а=0. (19)
Мы не будем выписывать точные значения выражений ДА^.Да так как и без этого легко устанавливается стандартность системы (18, 19). В силу (15) и (17) можно считать ДА и ДFлинейно-зависи-мыми от остальных векторов ДБ,...,Д£системы (18). Поэтому уравнения (18) образуют стандартную подсистему, не влияющую на старший характер всей системы. В четырёх уравнениях системы (19)
за счёт последней фиксации (форма п23) снизится на единицу старший характер системы, т.е. х,=3.
Таким образом, после проведения последней фиксации, система (18, 19) будет иметь решение, зависящее от трёх функций четырёх аргументов. Это соответствует трём функциям, фигурирующим в ур. (4) и определяющим произвол задания него-лономного линейчатого комплекса в трёхмерном пространстве.
Что касается геометрического значения инвариантов, а также фиксации (15), то для части из них оно очевидно из предыдущего, для других может быть найдено при исследовании других ассоциирующихся с неголономным комплексом геометрических образов. В частности, п и £ являются инвариантами регулюсов, сопряжённых (в соответствии с теорией И.А. Печникова [10]) с рассматриваемым неголономным комплексом. Такой регулюс геометрически характеризуется тем, что все точки его произвольного луча являются точками прикосновения, т.е. касательные плоскости во всех точках Хлуча регулюса совпадают с плоскостями, соответствующими X в главной корреляции комплекса.
2. Неголономные конгруэнции
Мпервого и второго рода
Неголономную конгруэнцию в линейчатом комплексе определяет одно не вполне интегрируемое уравнение Пфаффа относительно трёх основных параметров комплекса. Теория неголономных конгруэнций Ж в голономном комплексе, подробно изложена в [11] (о голономных конгруэнциях Ж в голономном комплексе см. [12]). Неголономная конгруэнция Ж, принадлежащая голономному комплексу, имеет два характеристических свойства: 1) асимптотические линии в фокальных системах соответствуют, 2) фокусы являются инфлек-ционными центрами комплекса. В неголономном комплексе происходит расщепление: двум указанным свойствам соответствуют два различных класса неголономных конгруэнций. Соответствие асимптотических определяет неголономные конгруэнции Ж первого рода. Совпадение фокусов с ин-флекционными центрами - неголономные конгруэнции Ж второго рода.
Покажем, что в неголономном комплексе существует бесконечное множество конгруэнций Ж первого рода (содержащих фиксированный луч).
Цилиндрическую неголономную конгруэнцию (один из её торсов - цилиндр), принадлежащую неголономному комплексу (6), можно задать уравнением
со=со '-асо 3-^2=0. (20)
Если В==А+^е3 (/=1,2) - фокусы цилиндрической неголономной конгруэнции, то для нахождения ¡1 получаем
¡2+а-р=0
или
а, Ц2=р. (21)
Для асимптотических линий фокальной системы ^ получаются уравнения
(а\+11а1)[-Щ+1]2а2—(а1-2а\)+а\-аг] + +(®3+/;.®3)(4+/;®з3+®3)=0, 7=1,2, Положим
А^Ш+^+а^^аюЗ+Ьр2. (22) Тогда уравнения асимптотических линий можно записать в виде
Х1Ю2+Х2®3®2+ХЮ2=0,
(23)
где
X гЛ^+Л^+Л+а-а,, Хй=В^+(В+аЦ+(А-а)1+В+ЬгЬ, (24)
хв=(С1+ьн+(С-ьк+Сз,
причём
Л1=—Ла—В, Л2=И-Еа, Л3=Иа+К, В1=-ЛР-С, В2=Р(В-Е)+ЛаР+0, В3=Еар, С1=-Вв, С2=Ив, С3=СР+б)Д Теперь уравнения
Х11 + Х21 _ Х12 + Х22 _ Х13 + Х23
л 21 л 22 23
(25)
определяющие неголономные конгруэнции Жпер-вого рода в виде (20), существенно содержат в силу (22-24) частные производные функций ¡1 и /2 (а значит и а, в) по основным параметрам. Это и доказывает существование бесконечного множества этих неголономных конгруэнций.
Различных неголономных конгруэнций W второго рода имеется не более шести. В самом деле, если все четыре инфлекционных центра на луче не-голономного комплекса различны, то они образуют шесть различных пар. Каждая из этих пар определяет неголономную конгруэнцию W второго рода. Уже отсюда следует различие двух классов неголономных конгруэнций W.
Если один из фокусов неголономной конгруэнции второго рода совпадает с инфлекционным центром, являющимся началом репера, то /1=0, ¿2=-а, в=0. Эта неголономная конгруэнция имеет уравнение со1=асо13, где а удовлетворяет ур. (16), т.е
Ла'+(Е-В)а2+Са-(в+К)=0. (26)
Если второй фокус совпадает с инфлекцион-ным центром г=А+е3, то (26) становится тождеством в силу (16), а уравнение конгруэнции примет вид ю1=-ю13, то есть /1=0, /2=1. Непосредственная подстановка этих значений в (22-24) даёт Х13+Х23=0, Х12+Х22=- (Ь+И), Х„+Х21=-(Ь+И), (27) при вычислении учитываются фиксации (15) и (17).
Таким образом, неголономная конгруэнция W второго рода ю'=-ю3 является неголономной конгруэнцией первого рода только в комплексе
Ь+И=0. (28)
Следовательно, класс неголономных конгруэнции W второго рода не является частью класса неголономных конгруэнций первого рода.
Замечание. В некоторых работах, например, в [13], нумерация родов неголономных конгруэнций изменена.
3. Главные регулюсы первого и второго рода
Ещё одно «расщепление» обнаруживается при рассмотрении понятия, аналогичного понятию главного регулюса в голономном комплексе [2. С. 31; 14. С. 209]. Возможны два определения, соответствующие двум характеристическим свойствам главного регулюса в голономном комплексе. В неголо-номном случае они приводят к разным регулюсам.
Главнымрегулюсом первогорода называется такой регулюс в неголономном комплексе, у которого линии прикосновения совпадают с асимптотическими линиями.
Точки прикосновения Р=А+фе3 на луче для регулюса ю1:®1^®? определяются так же, как и в голономном случае - совпадением касательной плоскости {е3,(о1+фю13)е1+(ю2+фю3)е2} к регулюсу в точке Р и касательной плоскости торса, имеющего точку Р фокусом. Последняя определяется бивектором {е3, фе1-е2}. В силу (6) линии прикосновения определяются уравнением
ф2о2+2фю3+®1=0.
Находя уравнение асимптотических линий на том же регулюсе и упрощая это уравнение, получаем
ф2ю?+2фю1-(ю3+ю2)=0.
Беря значения форм из (7), получаем параметрические уравнения
Лю1+Вю13+(С-Я)ю2=0, Ею1-(И+2Я)ю\+0ю13=0, (29)
(И+Я)ю'+Кю3=0.
Главные регулюсы первого рода получаются отсюда при значениях Я, удовлетворяющих характеристическому уравнению
А В С-Я
Е -(Н + 2Я) О Н + Я К 0
= 0.
Главным регулюсом второго рода называется не являющийся торсом регулюс, принадлежащий двум различным неголономным конгруэнциям W второго рода, т.е. являющийся их «пересечением» (на диаграмме Циндлера этот регулюс будет точкой пересечения двух прямых, соответствующих указанным неголономным конгруэнциям).
Так как две неголономные конгруэнции W второго рода, имеющие общий фокус, «пересекаются» по торсу, то главные регулюсы второго рода получаются при пересечении таких неголономных кон-груэнций второго рода, которые не имеют общих фокусов. Следовательно, число главных регулюсов второго рода равно трём (если, конечно, нет кратных инфлекционных центров).
Найдём один из главных регулюсов второго рода. В силу фиксаций (14) и (17) два инфлекцион-
ных центра суть г=А и г=А+е3. Неголономная конгруэнция второго рода (обозначим её Ж|2), имеющая эти точки фокусами, задаётся уравнением
ю1+ю13=0.
Другая неголономная конгруэнция Жвторого рода (обозначим её Ж34) имеет фокусами два других ин-флекционных центра, которые являются корнями уравнения, получающегося делением (9) на ¡(1 + 1):
АН(А-Б+Е)—(ОЩ=0 или - с учётом обозначений (12) - из уравнения А12+(А-т2Е)1+И-2К=0.
Поэтому неголономная конгруэнция Ж34 имеет уравнение
(йх=а(й\+в>(й\, где в силу (20) и (21)
А - N + 2 Е
А '
2К - М
А
а главный регулюс второго рода, являющийся пересечением Ж12 и W34, определяется отношением
ю1:ю':ю3=в:(-в):(а+1)
или
ю1:<ю2з=(2К-М):(М-2К):(2А+2Е-Л'). (30)
4. Достаточные геометрические
условия голономности
Мы уже знаем, что совпадение центров первого и второго рода эквивалентно обращению в нуль инварианта N - одной из компонент тензора него-лономности {N,-1, М} (см. § 1). Другие результаты такого типа сформулируем в виде лемм.
Лемма 1. Неголономная конгруэнция Жвторо-го рода с фокусами в двух инфлекционных центрах г=А, г=А+е3 является неголономной конгруэнцией Ж первого рода тогда и только тогда, когда Ь=—М.
Доказательство фактически приведено в конце § 2, где получено соотношение (28) из условий данной леммы.
Лемма 2. Две различные неголономные конгруэнции Ж, имеющие фокусом инфлекционный центр А (начало репера), будут неголономными конгруэнциями г=А первого и второго рода одновременно только при Ь=М=0.
Доказательство. Все неголономные конгруэнции второго рода, имеющие фокусом инфлекцион-ный центр г=А, имеют уравнения т1=акт13, к=1,2,3.
Следовательно, для координат фокусов имеем ¡1=0, ¡2=-ак. Вычислив при этих условиях отношения (25), получим соотношения, аналогичные (27):
Хв+Х23=0, Хи+Х22=-Хак2-Мак,
Х„+Х21=Хак+М,
где учтено, что ак - суть корни ур. (26). Таким образом, при к=1,2,3 имеем
Хак+М=0.
Так как по крайней мере два из ак различны, то Ь=М=0.
Лемма 3. Главный регулюс второго рода, являющийся пересечением неголономных конгруэнций Жвторого рода Ж12 и Ж34 становится главным регу-люсом первого рода только при условии выполнения двух равенств:
(2Ь—М)(А—Б)+ЩЬ—К)=0, (31)
М(2А+3Е-Н)-К^-2Х)=0. (32)
Доказательство получается внесением (30) в результат исключения Я из (29) с учётом проведённых фиксаций.
Следующие теоремы дают геометрические достаточные условия голономности.
Теорема 1. Если две неголономные конгруэнции, имеющие общим фокусом инфлекционный центр г=А, являются одновременно неголономны-ми конгруэнциями Ж первого и второго рода и аффинные центры первого и второго рода совпадают, то комплекс является голономным.
Доказательство. Лемма 2 даёт Ь=М=0, а совпадение аффинных центров и второго рода - N=0. В итоге получается достаточное условие голономно-сти комплекса.
Теорема 2. Если неголономная конгруэнция с фокусами в некратных инфлекционных центрах г=А и г=А+е3 является неголономной конгруэнцией первого и второго рода одновременно, главный регулюс второго рода, представляющий собой пересечение неголономных конгруэнций Ж12 и Ж34, есть главный регулюс первого рода и аффинные центры совпадают, то комплекс - голономен.
Доказательство. При N=0 и Ь=М=0 (лемма 1) условия (31) и (32) принимают вид
М(А—Б)=0, М{А-Б+2(0+К)}=0. (33)
Так как центр г=А не кратен, то в силу (14) имеем 0+К^0. Следовательно, соотношения (33) совместны только при М=0. В итоге Ь=М=^0, и комплекс голономен.
Теорема 3. Если две неголономные конгруэнции с общим фокусом в некратном инфлекционном центре г=А являются неголономными конгруэнциями Ж первого и второго рода одновременно, а главный регулюс второго рода, являющийся пересечением неголономных конгруэнций Ж12 и Ж34, есть главный регулюс первого рода, то комплекс голономен.
Доказательство. В силу леммы 2 имеем Ь=М=0. Внося эти условия в (31) и (32) леммы 3, получаем Ж=0. Если К=0, то из М=К-0 получается 0=0, и инфлекционный центр г=А в силу (9) становится кратным. Поэтому N=0 и Ь=М=^0. Комплекс го-лономен.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Щербаков Р.Н. Щербаков Н.Р. Построение репера неголоном-ной поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. - 2005. -Т. 308. - № 3. - С. 11-16.
2. Кованцов Н.И. Теория комплексов. - Киев: Изд-во Киевского ун-та, 1963. - 292 с.
3. Щербаков Р.Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии. - Томск: Изд-во ТГУ, 1973. - 236 с.
4. Кованцов Н.И. К теории неголономных комплексов // Докл. Второй сибирской конф. по матем. и мех. - Томск, 1962. -С. 85-87.
5. Щербаков Р.Н. Эквиаффинная теория комплексов прямых // Докл. научной конф. по теоретич. и прикладным вопросам математики и механики. - Томск, 1960. - С. 82-83.
6. Щербаков Р.Н. Основной цилиндроид линейчатого комплекса // Известия вузов. Математика. - 1962. - № 3 (28). -С. 177-178.
7. Гринцевичюс К.И. О неголономном комплексе // Литовский математический сб. - 1969. - Т. 9. - № 1. - С. 85-99.
8. Близникас В.И. Некоторые вопросы теории неголономных комплексов // Труды геометрического семинара. - М.: Изд-во ВИНИТИ, 1974. - № 5. - С. 69-96.
9. Барыктабасов Э.Д. К эквиаффинной теории неголономных комплексов. О связи неголономных конгруэнций Ж с точками неголономности // Труды Томского ун-та. Геометрический сб.
- 1975. - Т. 258. - № 15. - С. 122-151.
10. Печников И.А. Репераж сопряжённых пар пфаффовых подмногообразий // Геометрический сб. - 1978. - № 19. -С. 122-126.
11. Щербаков Р.Н. О неголономных конгруэнциях Ж// Доклады АН СССР. - 1961. - Т. 138. - № 4. - С. 802-804.
12. Кованцов Н.И. Линейчато-геометрический аналог триортого-нальной системы поверхностей // Доклады АН СССР. - 1957.
- Т. 113. - № 3. - С. 497-500.
13. Барыктабасов Э.Д. Неголономные конгруэнции в неголоном-ном комплексе // Тр. Томского ун-та. Геометрический сб. -1974. - Т. 255. - № 14. - С. 172-191.
14. Широков П.А., Широков А.П. Аффинная дифференциальная геометрия. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1959. - 319 с.
УДК 519.865
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕТОДОВ В ИССЛЕДОВАНИИ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА
А.В. Аникина, Н.С. Демин*
Томский политехнический университет *Томский государственный университет E-mail: [email protected]
Проводится исследование стоимости опциона, портфеля и капитала для европейского опциона купли с последействием при наличии выплат по дивидендам в случае непрерывного времени.
1. Постановка задачи
Рассмотрение задачи проводится на стандартном вероятностном пространстве (О^Щг^) ,>0,И) [1, 2]. Через РгО/, обозначается сужение меры р на Ц. На финансовом рынке обращаются рисковые (акции) и безрисковые (банковский счет, государственные облигации) активы, текущие цены которых Б, и Б, в течение интервала времени ,е[0,7] определяются уравнениями из [3, 4]
йБ, = б, р+айщ), св, = твс, (1.1)
где Ж, - стандартный винеровский процесс, 7>0, г>0, £0>0, Б0>0, решение которых имеет вид
Б, = Б0ехр{Си-{е2/2))г + оЩ}, В= В0ехр{г1). (1.2)
Считаем, что текущее значение капитала инвестора X, определяется в виде [1, 2]
X, = в,В, + 7, Б,, (1.3)
где п=(Д,у) пара - измеримых процессов, составляющая портфель ценных бумаг инвестора. За обладание акцией происходят выплаты дивидендов в соответствии с процессом Б, со скоростью 8уД, пропорциональной рисковой части капитала с коэффициентом 8, таким, что 0<8<г, т.е.
СЮ, = 87, Б,Л. (1.4)
Тогда изменение капитала в задаче с дивидендами происходит в виде
сХ , = р,с1В, + 7, СБ , + СЮ,. (1.5)
Из (1.3) следует, что
сХ , = р,СВ, + у,СБ, + В,Ср,+ БйЪ . (1.6)
Тогда согласно (1.5), (1.6), что яв-
ляется балансовым соотношением, заменяющим условие самофинансируемости в стандартной задаче [3]. Из (1.1), (1.3)—(1.5) следует, что капитал определяется уравнением
сХ , = тХ С + (77, Б,сЩ р-т+8,
Жр-т+8 = Ж, + {р-т + 8), (1.7)
Далее нам потребуется результат, связанный с преобразованием мер вида
С Р,* = Z,d Р,, (1.8)
математические ожидания относительно которых Е и Е* соответственно.
Теорема Бфсанова [1, 2]. Пусть ^ - диффузионный процесс, определяемый уравнением
