CC BY
31
УДК 512.81
ББК 22
© В.Б. Цыренова
Бурятский государственный университет, Улан-Удэ E-mail: [email protected]
Комплексы в 3-пространстве с мнимым распадающимся абсолютом
В данной работе построен и геометрически характеризован канонический репер комплекса с эллиптическими образующими в пространстве с мнимым распадающимся абсолютом, доказана теорема существования, получены геометрические значения инвариантов, найдены инфлекционные центры образующей комплекса.
Ключевые слова: неевклидово пространство, абсолют, комплекс, репер, инварианты.
© V.B. Tsyrenova
Buryat State University, Ulan-Ude E-mail: [email protected]
Complexes in 3D-space with the imaginary decomposable absolute
The canonical frame of the complex which has the elliptic lines in 3D space with the decomposable absolute is constructed and geometrically characterized. The geometric values of the complex invariants and some classes of complexes are obtained, inflection points are found.
Key words: noneuclidean space, absolute, complex, frame, invariants.
Ранее автором в работах [1-3] были изучены линейчатые одно- и двухпараметрические образы с эллиптическими и параболическими образующими в пространстве с мнимым распадающимся абсолютом. В данной работе нами рассмотрены комплексы в этом пространстве.
1. Наиболее общий репер неевклидова 3-пространства с мнимым распадающимся абсолютом можно выбрать так, чтобы абсолютные плоскости и абсолютная прямая определялись уравнениями:
Q: (x0)2 + (x*)2 = 0
T: x0 = x1 = 0 ,
Это означает, что точки A2 и А3 точечного проективного репера {А0 , А1, А2 , А3 }
лежат на абсолютной прямой T и плоскости (A0A2A3 ) и (А1А2А3 ) гармонически делят абсолютные плоскости. Тогда деривационные формулы наиболее общего репера {А0, А1, А2, А3} примут вид:
dA0 = ю° А0 + ю0А1 + ю2А2 + ю 3А3 ёА1 = —ю0А0 + ю °А1 + ю2А2 + ю3А3 ёА2 = ю 2А2 + ю2А3,ёА3 = ю3А2 —(2ю0 + ю 2 )аз
В работе [1] были получены деривационные формулы канонического репера эллиптического регулюса в виде:
dA0 . , . . dA1
-----— oAq + &A1 + A2,-— —bAg + aA1 + A3,
ds ds
dA dA
—2 — (1 — a) A2 + bA3, —3 — (z — b) A2 — (1 + a) A3.
ds 2 3 ds 2 3
В работе [2] построен канонический репер конгруэнции, деривационные формулы которого имеют вид:
2. Рассмотрим комплексы эллиптических прямых. Включим элемент в репер, то есть точки А0 и А1 репера совместим с какими-либо двумя точками образующей комплекса,
2323 2323
тогда получим п0 = п0 = П1 = П1 = 0 , т.е. формулы Щ0, Щ0, Щ1 , Щ1 становятся главными
формами. Так как ранг системы этих форм равен трем, то между ними существует
основное соотношение, которое запишем в виде:
Щ02 = аЩ2 + вщ03 + сщ3. (1)
Приняв в качестве плоскостей А0А1А2 и А0А1А3 репера плоскости, касательные к конусу образующих комплекса с вершиной соответственно в точках А0 и А1 , из (I) получим а = в = 0. Равенство (I) примет вид:
щ02 = сщ3. (2)
Нормированием координат вершины А2 можно получить с=-1. Тогда равенство (2) запишется в виде Щ02 + Щ3 = 0. При этом исключается случай с=0, т.е. специальные
комплексы.
Далее, пользуясь алгоритмом Картана, канонизируем репер полностью. Уравнения комплекса принимают вид
Щ + Щ = 0, Щ =Щ2 + Щ + щ3, Щ0 = а1Щ + а2щ3 + а3Щ3,
= (-2а3 -а1)щ2 -(-1 Д + а2)Щ + Щ3, Щ = (1 -а1)щ2 + (1 -а2)Щ3 + (1 -а3)щ3,
Щ = -(1+а2 )щ2 + (в - 1)Щ) + (в - 1)Щ3, Щ = -('2 а3 + а^Щ + (-2в - а2 )Щ - а3Щ,
где а{, Д. - инварианты окрестности второго порядка, а; - инварианты окрестности
третьего порядка. Доказана теорема существования.
Построенный канонический репер комплекса характеризуется геометрически следующим образом: точки А0 и А1 его являются точками прикосновения координатных поверхностей (кроме этого, точка А0 совпадает с фокусом центрального торса ю^ = ю3 =0), а точки А2 и А3 являются соответственно точками пересечения плоскостей А0А1А2 и А0А1А3 , соответствующих точкам А0 и А1 в главной корреляции на образующей комплекса, с абсолютной прямой пространства.
3. Условия того, что линейный комплекс ^ РуЦу = 0 содержит образующую (А0 А1),
дает ц 23 = 0. Чтобы получить уравнение касательного линейного комплекса ,продифференцируем условие:
о * (А0 А1) = 0. (*)
Получим
Q * Щ0 (^0А1) + Щ (А0А1) + ю2 (А0А2) + Щ3 (А0А3) + щ3 (А1А2) + а] (А3А!)] = 0. Отсюда имеем ц02 = ц31 , ц12 = -ц03 .
Один коэффициент ц01 остается произвольным. Следовательно, получим пучок линейных комплексов
Ч 01р 23 + Ц03 р12 Ц03 р03 = 0, или
(**)
Лр23 +^(Р12 - р03) = 0
В случае и = 0 касательный линейный комплекс проходит через абсолютную прямую (А2А3). Теперь найдем касательный линейный комплекс, соприкасающийся с некоторой поверхностью Щ12 : (Щ) : (Щ) комплекса. Для этого к условиям (*) и (**) присоединим условие:
е *{(й2А0, А1) + 2(йА0,йА1) + (А0,й2А1)} = 0, которое запишется в виде:
-2ч01[щ2щЗ + Щ3)2] + ч03[щ12(щ1) -щЗ) + щЗ(Щ° -Щ32) + Щ)(-Щ? + Щ1 +Щ22 -Щ33)] = 0,
или
ФЛ/и - -2Лх[щ12щ03 + Щ3)2] + Дщ2 (Щ -щ23) + щ)(щ0 - щ32) + щ3(-щ0° + Щ1 + Щ22 - Щ33)] = 0.
Отсюда следует, что для каждой поверхности Щ12 : Щ03 : Щ13 можно найти единственное
значение А,:р, из последнего уравнения, т.е. в пучке единственный соприкасающийся с ним линейный комплекс.
При ^=0 получаем торсы I = Ф1 - Щ12Щ,3 + (Щ3)2 = 0,
При А,=0 получаем регулюсы
II = Ф2 - щ2Щ - щ)) + Щ)Щ -Щ32) + Щ3(-Щ + Щ1 + Щ22 -Щ33) = 0.
В каноническом репере вторая квадратичная форма имеет вид
II = а1 (щ2 )2 + (а2 -1 в3 - 1)(щ3)2 + (а2 +1 а3 + а1 - 1)щ_2щ3 + 2а3щ2щ3 + (а3 - в3 - 1)Щ}3Щ13, а уравнение для определения точек симметрии получаем в виде
г2 (ащ2 - /ЗЩ - вщ3) -г(аЩ - вщ)) - ащ2 - а2щ) - ащ3 = 0.
Видим, что сопряженность регулюсов относительно второй квадратичной формы комплекса характеризуется гармонической сопряженностью точек прикосновения одного из них с точками квазиаффинной симметрии другого.
4. В точках прикосновения образующей касательная плоскость к регулюсу Щ2 : бЩ) : Щ3, принадлежащему комплексу, совпадает с плоскостью П = (А0 А1А2) + г (А0 А1А3), соответствующей точке М=Л0+1Л1 в нормальной корреляции. Поэтому уравнение точек прикосновения регулюса имеет вид:
щ_2г2 - 2щ3г - щ) = 0.
Главные регулюсы комплекса геометрически характеризуются тем, что у них точки симметрии совпадают с точками прикосновения. Дифференциальные уравнения, определяющие главные регулюсы, будут иметь вид: а2Щ2 - вЩа - в3Щ3:
Щ 2 = а3 щ2 - в3 щ): щ) = а1 щ2 + а2 щ) + а3 щ3 : щ3.
Точки симметрии главного регулюса Щ3 = Щ12 - Щ3 = 0 и координатных регулюсов Щ12 = Щ03 = 0, Щ12 = Щ13 = 0, Щ03 = Щ13 = 0 дают геометрическую характеристику для инвариантов а{, . Другие геометрические значения инвариантов канонического репера
комплекса получаем, рассматривая три его простейших регулюса
Щ12 = Щ03 = 0, Щ12 = Щ13 = 0, Щ03 = Щ13 = 0.
5. Найдем инфлекционные центры образующей. Пусть М=Л0+1Л1 - некоторая точка образующей, тогда:
йМ = (щ0 - гЩ)А0 + (щ1 + + йг)А1 + (-щ3 + гщ2)А2 + (щ) + щ3) А3.
Заменим Л0 разностью М-1Аь тогда
йМ = (Щ0 - гЩ^М + (щ1 + г2щ1, + йг)А1 + (-щ13 + гщ2)А2+ (щ) + щ3)А3.
Условия неподвижности точки М будут иметь вид:
+ г2щ1 + йг = 0, щ) - гщ2 = 0, щ) + гщ3 = 0. (А)
Точке М в нормальной корреляции соответствует плоскость П = -Щ13( А0 А1А2) + Щ^ А0 А1А3). Полагая здесь СЩ3) = -Щ3, получим
П = (А0 А1А2) + г (А0 А1А3). Отсюда:
йП = (2Щ0 + (Щ + гщ) )П + (йг + (Щ - 2щ2 г - 2ю^^г - г2щ3)(А0 А1 А)) +
(-щ3 + гщ12)(А0 А2 А3) + (щ) + гщ13) (Л1Л2Л3).
Условия неподвижности плоскости П получаются в виде:
йг + щ) - 2щ22г - 2о°)t - г2 (Щ =0, Щ13 - гщ2 = 0, о°3 + гщ13 = 0. (В)
Вычитая из первого равенства (А) первое равенство (В) и учитывая второе и третье равенства (В), получаем следующее уравнение четвертой степени, определяющее инфлекционные центры образующей:
в2г4 + (в2 - в3 )г3 + 2г2 - 2г + а1 - 2 = 0.
В общем случае этим уравнением определяется на каждой образующей четыре инфлекционных центра. Далее можно провести классификацию комплексов по инфлекционным центрам.
Литература.
1. Миронова Е.П., Цыренова В.Б. Эллиптические регулюсы в пространстве с распадающимся абсолютом // Вестник Бурятского гос. ун-та. Серия 13: Математика и информатика. - Улан-Удэ: Изд-во Бурятского госун-та, 2Ш6. - Вып.3. - С. 57-61.
2. Цыренова В.Б. Конгруэнции в пространстве с распадающимся абсолютом // Вестник Бурятского гос. ун-та. Серия 13: Математика и механика. - Улан-Удэ: Изд-во Бурятского госун-та, 2Ш8. - Вып.9. -С. 128-131.
3. Цыренова В.Б. Параболические регулюсы и конгруэнции в неевклидовом 3-пространстве с мнимым распадающимся абсолютом // Вычислительная математика, дифференциальные уравнения, информационные технологии: материалы междунар. конф. - Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2009. - С.412-415.
