Линейчатые поверхности с параболическими образующими в четырехмерном квази-эллиптическом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Цыренова В.Б., Батожаргалова А.Э. Линейчатые поверхности с параболическими образующими в четырехмерном квазиэллиптическом пространстве

8. Существует функция f е A такая, что f (0,...,0) = 1, f (1,...,1) =~ .

По лемме 2 получим A = P2~ .

9. Существует функция f е A такая, что f (0,...,0) =~, f (1,...,1) =~.

По лемме 3 получим A = P2~ .

Литература

1. Post E.L. Two-valued iterative systems of mathematical logic // Annals of Math. Studies.-Princepton: Univ. Press, 1941.

2. Пантелеев В.И. Критерий полноты для доопределяемых булевых функций // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия, № 2 (68), 2009.

3. Пантелеев В.И., Халтанова С.Ю. О некоторых интервалах в решетке клонов частичных ультрафункций // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. Т. 3. - №4. - С .80-87.

Халтанова Соелма Юрьевна - аспирант, Восточно-Сибирская государственная академия образования, 664011, Иркутск, Нижняя Набережная, 6; тел.(3952)200567, e-mail: soelabad@mail.ru

Haltanova Soelma Jur 'evna - postgraduate student, East Siberian State Academy of Education, 6 N. Nabarezhnaya St., Irkutsk, 664011; phone: (3952)200567, e-mail: soelabad@mail.ru

УДК 512.81 © В.Б. Цыренова, А.Э. Батожаргалова

ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПАРАБОЛИЧЕСКИМИ ОБРАЗУЮЩИМИ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ КВАЗИЭЛЛИПТИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В данной работе построен и геометрически характеризован канонический репер линейчатой поверхности с параболическими образующими в четырехмерном квазиэллиптическом пространстве, даны геометрические характеристики инвариантов и получены простейшие классы.

Ключевые слова: квазиэллиптическое пространство, абсолют, линейчатая поверхность, репер, инварианты.

V.B. Tsyrenova, А.Е. Batozhargalova

RULED SURFACES OF PARABOLIC LINES IN THE 4D QUASI-ELLIPTIC SPACE

We construct and geometrically characterize a canonical frame of the elliptic lines surface in the 4D quasi-elliptic space. The geometric values of the surface invariants and some classes of surfaces are obtained.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012/1

Keywords: quasi-elliptic space, absolute, of the elliptic lines surface, frame, invariants.

Введение

Дифференциальная геометрия четырехмерного квазиэллиптического пространства S14 рассматривалась Т.П. Володиной [1, 2]. Более полно исследованы погруженные многообразия только в S13.

§ 1. Предварительные сведения

Четырехмерным квазиэллиптическим пространством S14 называется, проективное пространство Р4, в котором задан абсолют, состоящий из пары мнимых гиперплоскостей, пересекающихся по действительной 2-плоскости, и мнимой коники в этой плоскости.

Прямые, пересекающие абсолютную плоскость, называются параболическими, или евклидовыми.

Наиболее общий репер пространства можно выбрать так, чтобы абсолют задавался уравнениями:

Q0 : (х0)2 + (х')2 = 0,T : х0 = х1 = 0, Q1 : х0 = х1 = 0, (х2)2 + (х3)2 + (х4)2 = 0.

Это означает, что координатный тетраэдр выбран так, что абсолютная 2-плоскость является плоскостью A2A3A4. Точки A2,A3,A4 полярно сопряжены относительно абсолютной коники, а гиперплоскости A^ A2A3 A4 и Ai A2 A3 A.4 полярно сопряжены относительно абсолютных гиперплоскостей.

Тогда в квазиэллиптическом пространстве S14 определяются следующие квазискалярные произведения:

(X * Y )1 = х0/ + х1 у1; (1.1)

(X * Y )2 = х2 у2 + х3у3 + х4 у4. (1.2)

Координаты точек, не лежащих в абсолютной плоскости, нормируются условием (X * X) = 1. Координаты точек, лежащих в абсолютной

плоскости, - условием (X * X) = 1. Расстояния между точками на параболических прямых и между точками абсолютной 2-плоскости определяются соответственно по формулам:

cos^ = (X * Y )1; (1.3)

d2 =(X- Y *X- Y)2; (1.4)

cos^ = (X * Y)2. (1.5)

Цыренова В.Б., Батожаргалова А.Э. Линейчатые поверхности с параболическими образующими в четырехмерном квазиэллиптическом пространстве

Деривационные формулы наиболее общего репера примут вид: СА00 = «0 А + «02 А2 + «3 А3 + «04 А4, СА0 = А) + «А2 + «А3 + «А4,

А = «3 А3+«4 а4,

А = -«3 А2+«4 А4, А = -«4 А2 -«34 А3.

§ 2. Канонический репер параболического регулюса и его геометрическая характеристика

Совместив ребро (А)А) с образующей параболического регулюса, получим р) = р) = р = ж\ = р = 0 . Следовательно, формы

1 3 4 3 4

«0, «0, «0, «2, «2 становятся главными и можно положить:

«03 = а«1,«04 = ь«0,«23 = «¿,«2 = т«0,«0 ф о, (2.1)

где « - базисная форма. Далее, пользуясь алгоритмом Картана, канонизируем репер полностью. Деривационные формулы канонического репера параболического регулюса даны в следующем виде:

= А + сА2

—0 = -А0 + ЬА2 + с(А3 + А4) СА2

= А3 + А4

— = - А2 + аА4

— А2 аА.3

(2.2)

Точка А2 канонического репера определяется как точка пересечения образующей (А0 А2) параболического регулюса с абсолютной 2-

плоскостью, а плоскость (А0, Аг, А ) является касательной 2-плоскостью к

регулюсу в точке А).

Чтобы геометрически характеризовать точки А3 и А4 канонического репера, найдем соприкасающуюся квадрику, содержащую образующую (А0 А2) рассматриваемого регулюса. Ее уравнение имеет вид:

у- ( X3 )2 -( X4 )2 + х0 X3 - х0 х4 + х1 х3 - х1 х4 + х2 х3 - х2 х4 = 0.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2012/1

Эта квадрика пересекает абсолютную 2-плоскость Т: х0=х1=0 по кривой g второго порядка

[(х3 )2 - (х4 )2 + х0х3 - х0х4 + х1 х3 - х1 х4 + х2х3 - X2х4 = 0 [х0 = 0; х1 = 0

Точка А2(0; 0; 1; 0; 0) принадлежит кривой второго порядка g, а точки А2, А3, А4 полярно сопряжены относительно мнимой коники

Точки Р(0; 0; 0; 1; 1) и Q(0; 0; 0; 1; -1) суть точки пересечения кривой g с прямой (А3А4). Точки А3 и А4 репера гармонически делят точки Р и Q.

Уравнение соприкасающейся квадрики, содержащей ребро (А]А3), получим в виде:

у- (х2 )2 -(х4 )2 + х0х1 - х0х2 + х1 х2 - х1 х4 + х2х3 - х3х4 = 0.

Точка А1 является одной из точек пересечения ее с ребром Л0Л1.

§3. Геометрическая характеристика инвариантов и простейшие классы параболических регулюсов

Найдем соприкасающуюся 2-плоскость кривой (А1), то есть I (х4 -х3)(ёЪ -3с) -2саЪх° -2сах2 = 0

(A1, dA1, d2 A) :-

l( db - 3c) x1 + bx0 + x2 = 0

l2 % I : ^

-0 , „2

пересечем полученную плоскость с евклидовой прямой (A0A2), получим точку N(1;0;b;0;0). Найдем расстояние между точками А0 и N по формуле (1.4), получим d2 = b2.

Прямая (A3, A3+ dA3) - параболическая прямая, поэтому на этой прямой расстояние между точками A3(0; 0; 0; 1;0) и A3+dA3(0; 0; -1; 1; а) находится по формуле (1.5) и геометрически инвариант а характеризуется

следующим образом: cos d= .—.

V 2 + a2

Прямая (A0,A0 + dA0) - эллиптическая прямая и на этой прямой найдем расстояние между точками A0(1; 0; 0; 0;0) и A0+dA0 (1; 1; с; 0; 0) по

1

формуле (1.3) в виде: cosd =

л/2 + c7

Отсюда получаем следующие три простейших класса:

1. Параболический регулюс а=еош1 характеризуется тем, что расстояние между точками Л3 и Л3+ dЛ3 постоянно.

2. Параболический регулюс Ь=еоп81;^0 характеризуется тем, что расстояние между точками А0 и N постоянно.

Цыренова В.Б., Проскурякова И.В. Комплексы в трехмерном квазигиперболическом пространстве

3. Параболический регулюс c=const характеризуется тем, что расстояние между точками A0 и Аo+dАo постоянно.

Литература

1. Володина Т.П. Основы теории гиперповерхностей в SV // Геометр. сб., 23. - Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1982. - С. 111-118.

2. Володина Т.П. Поверхности в квазиэллиптическом пространстве SV // Геометр. сб., 21. - Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1982. - С. 115-121.

Цыренова Валентина Бабасановна - кандидат физико-математических наук, доктор педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой геометрии БГУ, тел. (3012)219757, e-mail: v.ts@mail.ru

Батожаргалова Арюна Эрдынеевна - студентка Института математики и информатики БГУ, тел. (3012)219757.

Tsyrenova Valentina Babasanovna - candidate of phisics and mathematics science, doctor of pedagogical science, associate professor, head of geometry department of Buryat State University, tel. (3012)219757,е-mail: v.ts@mail.ru Batozhargalova Aryuna Erdineevna - student of Institute of Mathematics and Informatics, tel. 7(3012)219757.

УДК 512.81 © В.Б. Цыренова, И.В. Проскурякова

КОМПЛЕКСЫ В ТРЕХМЕРНОМ КВАЗИГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В данной работе построен и геометрически характеризован канонический репер комплекса, доказана теорема существования и дана геометрическая характеристика инвариантов комплекса.

Ключевые слова: неевклидово пространство, квазигиперболическое пространство, абсолют, комплекс, репер, инварианты.

V.B. Tsyrenova, I.V. Proskuryakova

COMPLEXES IN THE 3D QUASI-HYPERBOLIC SPACE

In this study we constructed and characterized geometrically canonical frame of the complex, we have proved the existence theorem and give a geometric description of invariants of the complex.

Keywords: non-Euclidean space, quasi-hyperbolic space, absolute, complex, frame, invariants.

Введение

Дифференциальная геометрия трехмерного квазигиперболического пространства была изучена В.И. Слободским. Так, им изучены кривые и