Комплексы в трехмерном ква-зигиперболическом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Цыренова В.Б., Проскурякова И.В. Комплексы в трехмерном квазигиперболическом пространстве

3. Параболический регулюс c=const характеризуется тем, что расстояние между точками A0 и Аo+dАo постоянно.

Литература

1. Володина Т.П. Основы теории гиперповерхностей в SV // Геометр. сб., 23. - Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1982. - С. 111-118.

2. Володина Т.П. Поверхности в квазиэллиптическом пространстве SV // Геометр. сб., 21. - Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1982. - С. 115-121.

Цыренова Валентина Бабасановна - кандидат физико-математических наук, доктор педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой геометрии БГУ, тел. (3012)219757, e-mail: [email protected]

Батожаргалова Арюна Эрдынеевна - студентка Института математики и информатики БГУ, тел. (3012)219757.

Tsyrenova Valentina Babasanovna - candidate of phisics and mathematics science, doctor of pedagogical science, associate professor, head of geometry department of Buryat State University, tel. (3012)219757,е-mail: [email protected] Batozhargalova Aryuna Erdineevna - student of Institute of Mathematics and Informatics, tel. 7(3012)219757.

УДК 512.81 © В.Б. Цыренова, И.В. Проскурякова

КОМПЛЕКСЫ В ТРЕХМЕРНОМ КВАЗИГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В данной работе построен и геометрически характеризован канонический репер комплекса, доказана теорема существования и дана геометрическая характеристика инвариантов комплекса.

Ключевые слова: неевклидово пространство, квазигиперболическое пространство, абсолют, комплекс, репер, инварианты.

V.B. Tsyrenova, I.V. Proskuryakova

COMPLEXES IN THE 3D QUASI-HYPERBOLIC SPACE

In this study we constructed and characterized geometrically canonical frame of the complex, we have proved the existence theorem and give a geometric description of invariants of the complex.

Keywords: non-Euclidean space, quasi-hyperbolic space, absolute, complex, frame, invariants.

Введение

Дифференциальная геометрия трехмерного квазигиперболического пространства была изучена В.И. Слободским. Так, им изучены кривые и

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012/1

поверхности [1], регулюсы и конгруэнции [2]. В данной работе рассмотрены комплексы прямых.

§1. Канонический репер комплекса в квазигиперболическом пространстве 10<$3

Рассмотрим трехмерное проективное пространство 105"3, абсолют которого состоит из двух действительных плоскостей и двух мнимых точек на прямой их пересечения.

Наиболее общий репер пространства 1053 можно выбрать так, чтобы

абсолютные плоскости Q0 определялись уравнением: (х°) + 2х0X = 0, прямая Т их пересечения уравнениями: х0 = х1 = 0, а квадрика Q1 (две мнимо-сопряженные точки) уравнением: (х2) + (х3) = 0 .

Тогда деривационные формулы подвижного репера пространства 1053 записываются в виде:

^ ■ « 42 +«3-3,

dAo = ( - - -1 ) + « -2 + «3 -3 , dA1 = -«0 4 + «2 - + «л3,

dA2 = «3 -3,

dA 3 = —«3 -2.

Рассмотрим в этом пространстве комплекс, т.е. трехпараметрическое семейство прямых. Включим элемент в репер, то есть точки - и репера совместим с какими-либо двумя точками образующей комплекса, тогда получим лр = лъ0 = лр = л13 = 0, т.е. формы арбК,( становятся главными формами и между ними существует основное соотношение, которое можно записать как

ц2 = хц2+ ¿123.

Далее, пользуясь алгоритмом Картана, канонизируем репер полностью. Деривационные формулы канонического репера комплекса получим в виде:

dA0 = «0 (-1 — 4) + «2 -2 + «3 -3,

dA1 = —«Ц - + « -2 + «3 A3,

dA2 =«3 -3, (11)

dA3 = —«3 -2.

где

«00 = х« +Л«+С«, «3 = Х«2 +^2«3+¿2«3.

Цыренова В.Б., Проскурякова И.В. Комплексы в трехмерном квазигиперболическом пространстве

Инвариант r¡ назовем кривизной комплекса.

Затем нами доказана теорема существования о том, что комплексы в трехмерном квазигиперболическом пространстве существуют с произволом одной функции трех аргументов.

§2. Геометрическая характеристика канонического репера

Рассмотрим произвольную точку образующей комплекса

M=A0+tAl (2.1)

Продифференцируем соотношение (3.1), применяя деривационные формулы (1.1) канонического репера комплекса. Получим: dM = dA^ + dtA1 + tdA1 = al(A0-A1) + a>lA2 + alA3 +

dtA1 +1(-alA1 + r¡colA2 + a¡A3) = al(M - Д)

-¿y°4 + col A2 + £0qA3 + dtA1 - tal Ai + tV^lA + to^A3 =

(-a>lt -ú)l+dt + ta>l)Al + (al + trjal)A2 +

{a>l + ta$)A3 + a>lM.

dM || M тогда и только тогда, когда

-ф -col + dt + tal = < al + tr¡al = О, al + tcrf =0.

Последние равенства являются условиями неподвижности точки М . Рассмотрим плоскость П, соответствующую в нормальной корреляции точке М :

П = (A0,A1,dA0) = (A0,A1, alA2 + а$А3) = al [АЛЛ) + 4 (AAA)

При al = -trjal получим:

U=-tr¡(AAA) + {AAA)-

Отсюда следует, что в нормальной корреляции точке А0 соответствует плоскость (А0А1А3) точке А1 соответствует плоскость (ААА)>а точки А2 и А, суть точки пересечения абсолютной прямой с плоскостями (AAA) и (AAA) ■

§3. Геометрическая характеристика инвариантов комплекса

Деривационные формулы канонического репера торса 0)1 = 0)1 = 0. Ф 0. при 0[ =ds , принадлежащего комплексу, имеют вид:

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2012/1

^ -Z (A - A), dA = -Z A + A3,

ds ds

dA2 dA3

ds ds

или, если ds - ZW, A* - A), A - A, A* - A3, A3* - -A2, вид:

dA* - л* Л* dA - J * , 1 J* dA2 - Z2 Л* dA - Z2 Л*

- A A1 , , -A1 + f , - A3 , , - у A2*

ds ds Z1 ds Z ds Z1

Так, инварианты Z1 и Z2 суть радиус кривизны — и произведение

К

кручения к2 и радиуса кривизны — ребра возврата торса W - - 0 *

К1

Аналогично получаем, что инварианты h1, h, h2 являются соответственно инвариантами a, p и b гиперболического регулюса W - W - 0, w03 Ф 0, принадлежащего комплексу, а инварианты X, X2 являются соответственно инвариантами a и b гиперболического регулюса, принадлежащего комплексу, определяемого уравнениями W -W - 0, w02 Ф 0 [2, с* 57]*

Таким образом, рассмотрение трех простейших регулюсов комплекса дает возможность получить геометрические характеристики для всех инвариантов комплекса, входящих в деривационные формулы канонического репера*

Литература

1* Слободской В,И, Теория поверхностей в трехмерном квазигиперболическом пространстве 10S3 * // Геометр* сб*, 21* - Томск, 1981* 2* Слободской В*И* К теории линейчатых поверхностей и конгруэнций пространства ^iS"1 * // Геометр* сб*, 22* - Томск, 1982*

Цыренова Валентина Бабасановна - кандидат физико-математических наук, доктор педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой геометрии БГУ, тел* (3012)219757, e-mail: v*ts@maiLrn

Проскурякова Ирина Владиславовна - студентка Института математики и информатики БГУ, тел* (3012)219757*

Tsyrenova Valentina Babasanovna - candidate of phisics and mathematics science, doctor of pedagogical science, associate professor, head of geometry department of Buryat State University, tel* (3012)219757, е-mail: v,ts@mail,гц Proskuryakova Irina Vladislavovna - student of Institute of Mathematics and Informatics, tel* (3012)219757*