О клонах ультрафункций, сохраняющих нуль и единицу Текст научной статьи по специальности «Математика»

Халтанова С.Ю. О клонах ультрафункций, сохраняющих нуль и единицу

8. Игнаточкина Л.А. Конформно-инвариантные свойства приближенно ке-леровых многообразии // Математические заметки. - Т. 65. - №5. - 1999.

Заятуев Батор Владимирович - кандидат физико-математических наук, преподаватель кафедры геометрии Бурятского государственного университета. Тел. 8(914)832-91-95. E-mail: zayatuyev@yandex.ru

Zayatuyev Bator Vladimirovich - candidate of physical and mathematical sciences, senior teacher of department of Buryat State University. Tel. 8(914)832-91-95. E-mail: zayatuyev@yandex.ru

УДК 519.716 © С.Ю. Халтанова

О КЛОНАХ УЛЬТРАФУНКЦИЙ, СОХРАНЯЮЩИХ НУЛЬ И ЕДИНИЦУ

В решетке клонов ультрафункций рассматривается интервал между клоном функций, сохраняющим нуль и единицу, и клоном всех ультрафункций. Показано, что такой интервал содержит 8 клонов.

Ключевые слова: клон, решетка, суперпозиция, замкнутое множество, ультрафункция.

S.J. Haltanova

ABOUT ONE INTERVAL IN THE LATTIC OF CLONES OF ULTRAFUNCTIONS

The interval between the clone of function, saving 0 and 1, and the clone of ultra-function are considered in the lattic of clones of ultrafunctions. It's showing that such interval contain 8 clones.

Keywords: clone, lattic, superposition, closed set, ultrafunction.

Введение

Пусть E = {0,1}, F = { 0,1, {0,1}}. Функции f : En ® E называются всюду определенными булевыми функциями ( P2 - множество всех всюду определенных булевых функций); f : En ® F - ультрафункциями ( P2~-множество всех ультрафункций).

Пусть даны f ( Х1,..., xn ) e PГ, /( x^..., xm ),..., fn (x^..., xm ) e P^, тогда суперпозиция f (f1(x1,..., xm ),..., fn (x1,..., xm )) определяет функцию g(x1,...,xm), принад-лежащую P2~, следующим образом [2]:

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012/1

^ / (Д,..., Д), если это пересечение не равно 0;

(а,...,а)

и ДД,..,Д), иначе.

(а,...,а)

Функция / (х1,..., хп): / (а1,...,а„) = {а} , где ' е{1,...,п} , называется селекторной.

Клон — множество функций, замкнутое относительно суперпозиции и содержащее все селекторные функции.

Интервалом I(А, В) называется частично упорядоченное по включению множество всех клонов, содержащих клон А и являющихся подмножествами клона В .

Интервалы представляются в виде диаграмм, где клоны изображаются точками и точка, представляющая клон А, расположена выше и соединена отрезком с точкой, представляющей клон В, если множество А непосредственно содержит В .

Если А - множество, то через [А] обозначим пересечение всех клонов, содержащих А . Множество А называется полным, если [А] = Р2—.

Пусть К - клон, К1— его подклон, тогда К1 называется максимальным подклоном в К тогда и только тогда, когда [К1 и{ /}] = К для

любой / е К \ К1.

Определим множества:

Т0,о ={/е Р21 /(0,...,0) = 0 }, Т~0 ={/е Р— | Д0,...,0) = 0 },

Ги ={/е Р21 /(1,...,1) = 1 }, Т~ ={/е Р— | Д1,...,1) = 1 },

ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1— ГТ1— ГТ1 —

Т01 = Т0,0 ^ Т1,1, Т01 = Т0,0 ^ Т1,1 .

Нетрудно проверить, что эти множества ультрафункций являются клонами.

В работе описан интервал I (Т01, Р2—) и показано, что он содержит ровно 8 клонов из Р2— (включая сам этот клон).

В дальнейшем для удобства изложения будем использовать кодировку {0,1} , а функции задавать в виде векторов-значений ультрафункций на всех наборах, расположенных в натуральном порядке.

Халтанова С.Ю. О клонах ультрафункций, сохраняющих нуль и единицу

1. Некоторые полные множества

Приведем некоторые примеры полных множеств ультрафункций, на которые мы сошлемся при доказательстве теорем.

Пусть

ИДх) = (~ 0),И2(х) = (0 Иъ(х) = (1 И4(х) = (~ 1),И5(х) = (——),Л6(х) = (01), И,( х) = (10), И8( х) = (00), И9( х) = (11), И10( х1, х2) = (0001), Ип( х1, х2) = (0111), И12(х^х2)=(—11),И13(х1,х2) = (~1~1), И14(х1,х2) = (— 111), И15(х1,х2) = (00—), И16( х1, х2) = (0 — 0 —), И17( х1, х2) = (000 —), И18( х1, х2 х3) = (01000011).

Замечание. Функции Иб,И10,И11,И18 принадлежат множеству Т01, функции к12,И13 (И15,И1б) можно получить суперпозициями из И4 (И2) и селекторных функций и [|Л10, И, ]] = Р2 , [Р2 и|И5]] = Р2— .

Лемма 1. Множество функций Т01 и|^] является полным в Р2—.

Доказательство. Построим последовательность суперпозиций, задающую ультрафункции из [Т01 и|^]] и содержащую ультрафункции Н5 и И, :

М^,К) = И%, Л,(Л8) = Ъ5, Ип(И1,Иб) = Л4, Лц(Л,2,Л,з) = Ии, И^,И5) = И9, И18(И8,Иб,Ид) = И,.

Лемма 2. Множество функций Т01 и|И3] является полным в Р2—.

Доказательство. Цепочка суперпозиций

ИюСИ», Иб) = И2, И„(И3, Иб) = И9, Иг(Ид) = И5, И10(И15, И16) = Ип, Иц (И5, И5) = И8, И18(И8, И6, И9) = И, содержит ультрафункции И5 и И,.

Следствие 1. Множество ультрафункций Т00 и|^] и и|И3] является полным в Р2— .

Лемма 3. Множество функций Т01 и|И5] является полным в Р2—.

Доказательство. И11(И6,И5) = И4, И11(И12,И^) = И14, И14(И5,И5) = И9, И10(И5,Иб) = И2, Ию(И15,И1б) = Иц, ИЖ,И) = И8,И18(И8,Иб,Ид) = И,.

Следствие 2. Множество функций Т00 и{И5] и 711 и|И5] является полным в Р2— .

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012/1

Основной результат

Теорема 1. Клоны, представленные на рис. 1, различны и вложены друг в друга так, как показано на рисунке.

Рис. 1. Интервал I(Т01,Р2 )

Доказательство. Достаточно легко проверяется несовпадение указанных клонов, остается проверить их структуру вложенности. В [2] доказано, что Т01 является максимальным подклоном в Т0 0 и Т11, а также то,

что Т0 0 и Т1 являются максимальными в Р2, в [4] то, что Т0 0 - максимальный подклон в Т0—0 и Т11- максимальный подклон в 711, в [3] то, что 0,0 и Т1,1 - максимальные поклоны в Р2 .

Остается показать, что Т01 является максимальным подклоном в Т0—, и

JT— к* ГГ1— ГГ1 —

01 - максимальный подклон в Т0 0 и Т11.

Сначала докажем, что выполняется равенство [Т01 и{ /}] = Т0—, где

/(х^.., хп) е Т0—/ Т01.

Халтанова С.Ю. О клонах ультрафункций, сохраняющих нуль и единицу

Доказательство включения [Тм и{/]] с Тм очевидно.

Пусть функция g(x1,..,хт)е Т01 и g(0,...,0) = 0, g(1,...,1) = 1, а также

g(4,..,aL) = 0, g (А,...Л) = 1, g(r1,...,gm) =~,

g(a;,...,a:) = 0; g(b',...,Ю = 1; g(g^...Уm) =~.

Так как функция /(х1,...,хп)е Тм /Тм, то /(0,...,0) = 0, /(1,...,1) = 1 и пусть (т1,...,Тп) такой набор, что /(Т1,...,Тп) =~ .

Возьмем функции И1(х1,..., хт),..., Ип (х1,... , хт) е Т01 такие, что

к (0,...,0) = 0,

к(1,...,1) = 1, к,(а,...,а) = 0, и,(Ьк,...,ьт) = 1, к,(Я,...,Ут) = т,,где

1 е{1,...,п], ]е{1,...,г], ке{1,...,8], 1 е|1,...д].

Пусть суперпозиция /(к1(х1,...,хт),...,кп(х1,...,хт)) определяет функцию ф(х1,..., хт). Покажем, что ф( х1,..., хт) = g (х1,..., хт).

Действительно,

Ф(0,...,0) = / (^(0,...,0),..., кп (0,...,0)) = / (0,...,0) = 0,

Ф(1,...,1) = / (к1(1,...,1),..., кп (1,...,1)) = / (1,...,1) = 1,

Фа ,...,а)=/ (м< ,...,а),..., кп (а ,...,а))=/ (0,...,0)=0, Ф(Р? ,...,ркт)=/ (кЬ ,...,ь),..., кп (Ьк ,...,Ь))=/ (1,...,1)=1, Ф(Я ,...,/„) = / (Ш ,...,/„),..., кп (Я ,...,/„)) = / (*!,..., Т) =~,

1 е {1,...,п], те {1,...,г], ке {1,...^|, Iе {1,...,

Отсюда следует, что g(х1,...,хт)е [Тм и{/]], т.е. выполняется включение Тм С [Т01 /]] . Таким образом, доказали справедливость равенств [Г01 и{ / ]] = 7Ц1.

Следующим шагом покажем, что выполняется равенство [Тш и{У]] = Т0~0 , где /(xl,...,хп)е Т0,0 /70~1 .

Доказательство включения [Тми{ / ]] с Т0~0 очевидно. Если /(х1,...,хп)е Т~0/Тм , то /(0,...,0) = 0 и /(1,...,1) = 0 или /(1,...,1) =~. В любом случае имеем (00)е [{/}]. Теперь функцию g(х2,...,хт) из Т0~0 можно представить суперпозицией g (х2,..., хт) = к(0, х2,..., хт), где к(х1,...,хт) — подходящая функция из клона Тм .

Аналогично доказывается, что выполняется равенство

[Тс1 /]] = Т1,1 , где / (xl,..., хп ) е Т1~1 / Тс1.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012/1

Теорема 2. В множестве Р2 существуют ровно 8 клонов, содержащих клон Т01 , а именно клоны, представленные на рис. 1.

Доказательство. Пусть А - клон в Р2 такой, что Т01 с А с Р2 . То, что нет клонов между Р2 и Р2— показано в [2]. Если А / Т01 = 0 , то А = Т01. В противном случае выполняется одно из следующих условий:

1. Существует функция /е А такая, что /(0,...,0) = 1,/(1,...,1) = 0.

Тогда получим Р2 с А .

2. Существует функция /е А такая, что /(0,...,0) = 0,/(1,...,1) = 0 и не существует набора (а1,...,ап) такого, что /(а1,...,ап) =—. Тогда

Тс,0 с А.

Пусть А Ф Т0 0, А Ф Т0~0 и А Ф Р2. Рассмотрим 2 возможных случая. В первом случае в А существует функция / (х1,..., хп) такая, что /(0,...,0) = 1 и на некотором наборе (а1,...,ап)|/(а1,...,ап) =—. По следствию 1 получим А = Р2— . Во втором случае в А существует функция /(х1,..., хп) такая, что /(0,...,0) =—. Тогда легко получить функцию И5 , и по следствию 2 имеем А = Р2— .

3. Существует функция /е А такая, что /(0,...,0) = 1,/(1,...,1) = 1 и не существует набора (а1,...,ап) такого, что /(а1,...,ап) =—. Тогда Т1 с А . Аналогично показывается, что если А Ф Т— и А Ф Р2, то, используя следствие 1 и следствие 2, получим А = Р2— .

4. Существует функция /е А такая, что /(0,...,0) = 0,/(1,...,1) = 1 и существует набор (а1,...,ап) такой, что /(а1,...,ап) =—. Тогда Т0— с А . Пусть А Ф Т0—,0 и А Ф Т1,—1 . Тогда в А существует либо функция И, , либо И3 , либо И1 , либо И5 . В первом случае получим Р2 с А . В остальных случаях, используя соответственно лемму 1, лемму 2 и лемму 3, получим А = Р2— .

5. Существует функция /е А такая, что /(0,...,0) = 0,/(1,...,1) Ф 1, и существует набор (ах,...,ап) такой, что /(а1,...,ап) =—. Тогда Т0—0 с А. Получим А = Р2— или А = Т0—,0 .

6. Существует функция /е А такая, что /(0,...,0) Ф 0,/(1,...,1) = 1, и существует набор (а1,...,ап) такой, что /(а1,...,ап) =—. Тогда Т~1 с А . Получим А = Р2— или А = Т1,—1 .

1. Существует функция /е А такая, что /(0,...,0) =—,/(1,...,1) = 0. По лемме 1 получим А = Р2— .

Цыренова В.Б., Батожаргалова А.Э. Линейчатые поверхности с параболическими образующими в четырехмерном квазиэллиптическом пространстве

8. Существует функция f е A такая, что f (0,...,0) = 1, f (1,...,1) =~ .

По лемме 2 получим A = P2~ .

9. Существует функция f е A такая, что f (0,...,0) =~, f (1,...,1) =~.

По лемме 3 получим A = P2~ .

Литература

1. Post E.L. Two-valued iterative systems of mathematical logic // Annals of Math. Studies.-Princepton: Univ. Press, 1941.

2. Пантелеев В.И. Критерий полноты для доопределяемых булевых функций // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия, № 2 (68), 2009.

3. Пантелеев В.И., Халтанова С.Ю. О некоторых интервалах в решетке клонов частичных ультрафункций // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. Т. 3. - №4. - С .80-87.

Халтанова Соелма Юрьевна - аспирант, Восточно-Сибирская государственная академия образования, 664011, Иркутск, Нижняя Набережная, 6; тел.(3952)200567, e-mail: soelabad@mail.ru

Haltanova Soelma Jur 'evna - postgraduate student, East Siberian State Academy of Education, 6 N. Nabarezhnaya St., Irkutsk, 664011; phone: (3952)200567, e-mail: soelabad@mail.ru

УДК 512.81 © В.Б. Цыренова, А.Э. Батожаргалова

ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПАРАБОЛИЧЕСКИМИ ОБРАЗУЮЩИМИ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ КВАЗИЭЛЛИПТИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В данной работе построен и геометрически характеризован канонический репер линейчатой поверхности с параболическими образующими в четырехмерном квазиэллиптическом пространстве, даны геометрические характеристики инвариантов и получены простейшие классы.

Ключевые слова: квазиэллиптическое пространство, абсолют, линейчатая поверхность, репер, инварианты.

V.B. Tsyrenova, А.Е. Batozhargalova

RULED SURFACES OF PARABOLIC LINES IN THE 4D QUASI-ELLIPTIC SPACE

We construct and geometrically characterize a canonical frame of the elliptic lines surface in the 4D quasi-elliptic space. The geometric values of the surface invariants and some classes of surfaces are obtained.