О некоторых интервалах в решетке клонов частичных ультрафункций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2010. Т. 3, № 4. С. 80-87

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского

государственного

университета

УДК 519.716

О некоторых интервалах в решетке клонов частичных ультрафункций

В. И. Пантелеев, С. Ю. Халтанова

Восточно-Сибирская государственная академия образования

Аннотация. В решетке клонов частичных ультрафункций рассматриваются интервалы между клоном функций, сохраняющих нуль (единицу), и клоном всех частичных ультрафункций. Показано, что такие интервалы содержит 20 клонов.

Ключевые слова: клон, мультиклон, решетка, суперпозиция, замкнутое множество, мультифункция, ультрафункция

Введение

В теории функций наряду со всюду определенными рассматриваются и функции, определенные не на всех наборах, при этом особое внимание уделяется конечным множествам. Для таких функций имеются различные уточнения понятия неопределенности и соответствующие определения суперпозиции.

Операция суперпозиции естественным образом приводит к вопросу описания замкнутых множеств и построения решетки этих множеств, упорядоченных по включению.

Пусть, как обычно, |А| — мощность множества А, 2А — множество всех подмножеств А и Е2 = {0,1}. Определим следующие множества функций:

РТ = {/ I / : ЕП ^ 2е}, Р= и РТ,

П

Рп = {/ I / € РГ и I/(а)| > 1 для всех а € ЕП}, Р~ = и Р£,

П

Рп = {/ I / € РГ и I/(а)| < 1 для всех а € ЕП}, Р* = иРЛ,

п

Рп = {/ | / € Р,*~ и I/(а)| = 1 для всех а € ЕП}, Р = и Рп

п

Функции из Р называют булевыми, из Р* — частичными, из Р~ — ультрафункциями, из Р*~ — частичными ультрафункциями.

Очевидно, что выполняются следующие включения: Р С Р* С Р*~ и Р С Р~ С Р*~.

О НЕКОТОРЫХ ИНТЕРВАЛАХ Суперпозиция частичных ультрафункций

/(/1(^1,..., жт),..., /п(х1, ..., жт)) определяет функцию д(жь ..., хт) из Р2*~, следующим образом [2]:

#(аь ... ,ат) = <

0, если существует г (1 < г < п) такое, что

. . . , ат) — 0;

П /(в1,..., вП), если это пересечение

0г€/г(аь...,а

т )

не равно 0; и /(в1 ,...,вп), иначе.

вг^/г(а1,---,а т)

Функции / : (а1,..., аП) ^ {а^} называются селекторными.

Клон — множество функций, замкнутое относительно суперпозиции и содержащее все селекторные функции.

Интервалом 9(А, В) называется частично упорядоченное по включению множество всех клонов, содержащих клон А и являющихся подмножествами клона В.

Интервалы представляются в виде диаграмм, где клоны изображаются точками и точка, представляющая клон А1, расположена выше и соединена отрезком с точкой представляющей клон В1, если множество А1 непосредственно содержит В1.

Если А — множество функций, то через [А] обозначим пересечение клонов, содержащих А.

Пусть К — клон и К1 — его подклон, К1 называется максимальным подклоном в К тогда и только тогда, когда [К и {/}] = К для любой / € К \ К1.

Известно, что клоны То,о = {/ | / € Р и /(0,..., 0) = {0}} и Т1,1 = {/ | / € Р и /(1,..., 1) = {1}} являются максимальными в Р [4]. В [1] описаны все клоны из Р2*, содержащие Т0,0 (Т1,1). Доказано, что для каждого из таких клонов существуют ровно 9, содержащих их, клонов.

В данной работе исследуются клоны, содержащие Т0,0 (Т1;1) в Р2*~. Показано, что в Р|~ существуют ровно 20 клонов содержащих 70,0 и, соответственно, 20 клонов, содержащих 71,1.

В дальнейшем для удобства изложения будем использовать следующую кодировку: {0} ^ 0, {1} ^ 1, 0 ^ *, {0,1} ^~. Функции будем задавать и в виде вектора-строки и в виде вектора-столбца значений на всех наборах, при этом длина строки или столбца для функции с п аргументами равна 2П.

В. И. ПАНТЕЛЕЕВ, О. Ю. ХАЛТАНОВА

1. Основной результат

Обозначим через Р* множество частичных ультрафункций, которые на всех наборах принимают значение *, тогда очевидной является следующая лемма.

Лемма 1. Если А — клон в Р*Т, то А и Р* — клон.

Замечание 1. С учетом леммы 1 можно рассматривать только такие клоны, которые содержат множество Р*.

Замечание 2. В дальнейшем под РТ, Р, То,о будем понимать Р0 иР* и, соответственно, Р и Р* и Т0,0 и Р*.

Определим следующие множества частичных ультрафункций:

То,о = І/ I / Є Р * и / (0,..., 0) = 0}и Р*;

ГОТо = І/ I / Є Р ~ и / (0,..., 0)=0}и Р*;

Т0*0 = І/ I / Є Р*Т и /(0,..., 0) = 0}и Р*;

Г0* * = І/ I / Є Р* 2 и / (0,..., 0) = *};

Г*0 = І/ | / Є Р * 0 и / (0,..., 0) = *};

То*,о* = І/ I / Є Р* и / (0,..., 0) ЄІ0, *}};

Г*0* = І/ I / Є Р*0 и / (0,..., 0) ЄІ0, *}};

0 0 0 0

Го,о и Го, *; Го,о и Го, * ; Го,о и Го, * ; Го,о и Го, *.

Легко показать, что эти множества являются клонами.

Теорема 1. Следующие клоны различны и вложены друг в друга так, как показано на рис. 1.

Доказательство. Клоны То,о, То*о, То,о и Т0**, Т0*о *, принадлежащие Р и Р *, рассмотрены в [1].

Рассмотрим функции, принадлежащие РТ, Р* 0.

Докажем, что выполняется равенство [Т0*о и І/}] = То*0, где

/ Є Т0*° \ Т0*,о. Доказательство включения [Т0*,о и І/}] С То*0 очевидно. Покажем, что выполняется Тд° С [Т0* о и І/}].

Пусть дана функция д(ж1,..., жт) Є Г0*°. Пусть аі, а2,..., аг — это

наборы, на которых значение функции д равно 0; в 1,в2,... ,в5 — наборы, на которых значение функции равно 1; 71, 72,..., — наборы,

на которых значение функции равно ~; сті,ст2,...,^д — наборы, на которых значение функции равно *.

Функция /(ж1,..., жп) Є Т0*°\Т0*, о, поэтому /(0,..., 0) = 0 и найдется

такой набор 8 = (81,..., 8П), что /(81,..., 8П) =~. Одноместные функ-

ции (0, £г) принадлежат Т0 , 0. Суперпозиция / ‘‘. ^ ] определяет

0

0

1

1

1

функцию Л,(ж) =

Теперь сможем получить функцию

0

Мжьж2, . . . ,жт) =

\~/

Рис. 1. Решетка клонов, содержащих клон Т0 , 0 Возьмем функцию ^(ж1,..., жт, у) € Т0* 0 такую, что

^(0,..., 0, 0) = 0, <^(5г, 0) = 0, ^(/^, 0) = 1, ^(7 к, 0) = 0, ^(аг, 0) = *,

<р(0,..., 0,1) = 0; <р(а*, 1) = 0, <р(37-, 1) = 1, ^(^, 1) = 1, ^>(7ь 1) = *,

1 < г < г; 1 < ; < 8; 1 < к < *; 1 < I < д.

Рассмотрим суперпозицию

^>(жь... ,жт,Л-1(ж1,... ,жт)) = Л-2(жь ... ,жт).

0

Покажем, что h2(xi,... , xm) = g(xi,... ,xm).

Действительно, h2(0,..., 0) = <p(0,..., 0, hi(0,..., 0)) = <p(0,..., 0,0) = 0,

Мод) = ^(5i, hi(Si,)) = ^(Si, ~) = {^(Si, 0), ^(Si, 1)} = 0,

is is is is is is

h2 (Si) = ^(S^ hi(Si)) = ~) = M/^ 0^ 1)} = 1

h2(7i) = ^(7^ hi(;i)) = ^(7i, ~) = 0^ ^(7^ 1)} =~.

Отсюда следует, что g(xi,...,xm) € [T0*0 U {/}], т.е. выполняется включение T0*S С [T0*0U{/}]. Таким образом, доказали справедливость равенства [T0*0 U {/}] = Т0*;.

Аналогичным образом доказываются равенства: [T0 0 U {/}] = TJS0; [(T* 0UT0S)U{/}] = T0S, где / € T0S\(T0*,0UT0S); [(T0 ,0U^*-)и{/}] ’=

-

To-o U To*-, где f Є To-o \ To , o. Теперь покажем, что

[То7с и {/}] = Т0*0 , если / Є Т0*0 \ Т0>

Пусть функция д(ж^..., жт) Є Т0*°. Так как #(жі,..., жт) Є Т0*°, то д(0,..., 0) = 0 и пусть на наборах а1, а2,..., аг значение функции д равно 0; на наборах в1, в2,..., в5, значение функции д равно 1; на наборах 71,72,..., 71 значение функции д равно *; на наборах ст1, ст2,..., значение функции д равно

Так как /(ж1,..., жп) Є Т0*° \ Т(°0, то /(0,..., 0) = 0 и существует

'0 ... 0

набор б такой, что f (б1, б2,..., бп) = *. Суперпозиция f

61

бп

определяет функцию h(x) =

Из функции hl(xl,..., xm) =

0 0

І *

І = *

І W

получим функцию

^2(ж1,... , жт) такую, что Л,2(7^) = * (1 ^ і ^ і), на остальных наборах функция Л-2 принимает значение 0.

Возьмем функцию ^(ж1,..., жт, у) Є Т(00:

^(0, 0,..., 0) = 0, ^(Sj, 0) = 0, ^(/?j, 0) = І, ^(Y k, 0) = 0, <£(аь 0) =~, <p(0,..., 0, І) = 0; <р(а*, І) = 0, ^(-j, І) = І, ^(°k, І) = 0, ^(°ь І) =~,

І < i < r;

І < j < s;

І < k < t;

І < l < q.

Суперпозиция <^(ж1,..., жт, ^2(ж1,..., жт)) определяет функцию д. Отсюда следует, что #(жь ..., жт) € [Т0-0и{/}], т.е. То*0 С [Т0~0и{/}]. Таким образом, доказали [ТО и {/}] = Т0* о.

0

*

Аналогичным образом доказываются равенства [(ТОО иТо*0) и{/}] =

ТОО*, где / € ТОО* \ (ТОО и ТОО); [(То,о и тоо) и {/}] = ТО,о’и ТОО, где

/ € ТО, о \ То ,о.

О , О *, где / € ТО, О * \ (ТО , О и ТО,* ); [(ТО , О и То, * ) и {/ }] = ТО, О и ТО, * :

о,о \ То,о.

Докажем, что [ТОО и {/}] = ТОО*, где /(ж1,..., ж„) € ТОО* \ ТОО.

ьп)

Пусть #(жьж2,... ,жт) € ТОО* и #(0,..., 0) = *.

О,О

Повторяя рассуждения, аналогичные вышеприведенным, можно получить последовательно функции (*Ь), (*Ь... Ь) где Ь € {0,1, ~}, а затем построить необходимую суперпозицию для #.

Докажем, что выполняется равенство [ТОО*и{/}] = ТО”-, где функция

/ (ж1,...,жп) € ТОО \ ТО, *.

Пусть #(ж1,..., жт) € ТОО, тогда #(0,..., 0) = *. Наборы а1, а2,...,

^О <О Ю (О ^О (О ю О О О

аг; в1, в2,..., в5; 71,7 2,...,7*; £ 1, £ 2,..., ^ д это наборы, на которых

значение #(ж1,... ,жт) равно 0, 1, *, ~, соответственно.

Функция / € ТОО \ ТО“*, поэтому /(0,..., 0) = *. Существует набор

о /0 ... 0 \

6 = (61,..., 6п) такой, что /(61,..., 6п) =~. Суперпозиция / ^ )

определяет функцию Л,(ж) = ^ ^ , с помощью которой можно получить

функцию ^1(ж1,..., жт) = (* ~ ... ~).

Возьмем функцию ^(ж1,... ,жт,у) € То**:

^>(0,0,..., 0) = *, ^(°г, 0) = 0, ^(в^-, 0) = 1, ^>(°к, 0) = *, ^>(£г, 0) = 0,

^(0,0,..., 1) = *, <£(°°г, 1) = 0, ^(0^, 1) = 1, ^(ъ, 1) = *, ^(0г, 1) = 1,

1 < г < г; 1 < ; < 1 < к < £; 1 < I < д.

Суперпозицию ^(ж1,..., жт, ^1(ж1,..., жт)) определяет функцию #(жь ... ,жт).

Отсюда следует, что #(жь ..., жт) € [ТО, *и{/}], т.е. ТОО С [ТО, * и{/}]. Таким образом, доказали [То* * и {/}] = ТО,*.

Аналогично доказывается справедливость равенств

[(То,о и ТО, *) и {/}] = То,о и То*0, где / € То,о и ТО,*, но / € То,о и ТО, *;

[ТО,о * и {/}] = ТО,о и ТОО, / € ТО,о и ТОО, но / € ТО,о *.

Теперь докажем, что [ТО,*** и {/}] = Р2* *, где / € Р2* * \ ТО,***.

Так как /(ж1,..., жп) € ТО,***, то /(0,..., 0) = 1 или /(0, 0,..., 0) =~. Если /(0,..., 0) = 1, то доказательство очевидно.

Если /(0,..., 0) =~, то, рассматривая соответствующую суперпозицию, получим функцию Л,(ж) =~.

Дальнейшие рассуждения очевидны.

Аналогично доказывается равенство [ТОО и {/}] = Р2°, где / € Р0, но / € То*о.

□

Теорема 2. В множестве Р* ю существует ровно 14 клонов, содержащих Р* и То,о, а именно, клоны, представленные на рис. 1.

Доказательство. Пусть А — клон в Р2* ю такой, что То,о С А.

Пусть в А есть функция /(ж1,..., жп) такая, что /(0,..., 0) = 1. Тогда, очевидно, функция-констанста 1 принадлежит А. Известно, что [То,о и {1}] = Р2. Поэтому Р2 С [То,о и {1}] С А. Отсюда А = Р2 или Р2*, или Р*, или Р2* ю.

То, что нет клонов между Р2 и Р2* показано в [3]; между Р2 и Р* — в [2]. Аналогично прведенным выше доказательствам показывается то,

— _ — — _ 7~> * 7~>* о Т~)ю Т~) * о

что нет клонов между Р2 и Р2 О, Р2О и Р2 О .

Пусть теперь в А все функции принадлежат ТО**, т.е. А С ТО**. Если А \ То,о = 0, то А = То,о. В противном случае выполняется хотя

бы одно из следующих условий:

1) существует функция /(ж1,..., жп) € А такая, что /(0,..., 0) =0 и

существует набор (а1,..., ап) такой, что / (а1,..., ап) = * .В этом случае То*о С А.

2) существует функция /(ж1,..., жп) € А такая, что /(0,..., 0) =0 и существует набор (а1,...,ап) такой, что /(а1,...,ап) =~. Тогда

ТООо С А.

3) существует функция /(ж1,..., жп) € А такая, что /(0,..., 0) = 0 и наборы (а1,..., ап) и (в1,..., вп) такие, что /(а1,..., ап) =~, /(в1,..., вп) = *. Тогда ТО,** С А.

4) существует функция /(ж1,..., жп) € А такая, что /(0,..., 0) = * и существует набор (а1,..., ап) такой, что /(а1,..., ап) = * и не существует набора (в1,..., вп) такого, что /(въ ..., вп) =~. Получим То,о и ТО* С А.

5) существует функция /(ж1,..., жп) € А такая, что /(0,..., 0) = * и такие наборы (а1,..., ап) и (в1,..., вп), что /(а1,..., ап) = *,

/(в1,..., вп) =~. Получим То,о и ТО** С А.

Если выполняются условия 1) и 4), то То*о С А и ТО* С А. Тогда Т*,о * С А.

Если выполняются условия 1) и 5), то ТОо С А и ТО* С А. Тогда То*,о и ТОО С А.

Если выполняются условия 2) и 4), то Т* С А и ТО* С А. Тогда

Если выполняются Т0*0 С А и Т0*~ С А, то Т0*д* С А. Поскольку мы рассматривали случай А С Т0*0*, получим А = Т0*0*. □

Если рассматривать клоны, не обязательно содержащие множество Р*, то к описанным 14 клонам необходимо добавить еще 6 клонов, содержащих клон Т0>0 = {/ | / Є Р и /(0,..., 0) = {0}}.

Таким образом получаем окончательный результат.

Теорема 3. Интервал Э(Т0;0,Р* ~) содержит 20 элементов: Р; РиР*; Р~; Р~ иР*; Р*; Р *~; То,о; То,о иР*; Т*^; иР*; Т^; Тэ7о иР*;

Г7~? * Г7~? * і і ~Г~) ГТ1 * ГТ1 * ГТ1 і і ГТ1 * ГТ1 і і ГТ1 * ГТ1 * і і ГТ1 * ГТІ^^ і і ГТ1 *

То,о > То,о и Р*> То,о *> То,о *> То,о и То, *> То,о и То, * > То,о и То, * > То,о и То, * •

Заменив в описании клонов из интервала Э(То;о,Р* ~) нуль на единицу, двойственным образом получим следующий результат для клона Т1Д = {/ | / Є Р и /(1,..., 1) = {1}}.

Теорема 4. Интервал 9(T1,1,P*—) содержит 2Q элементов: P; PUP*; P—; P— UP*; P *; P*—; Tl,i; Ti,iUP*; TV T*iUP*; T—i; T—iUP*; T*° ; t*— u P*; Tf,i*; Ті*,—*; Ti,i U Tl*; Ti,i U T*—; Т*д U Ті*,— ;’Т-* U Tl—.

Список литературы

1. Алексеев В. Б. О некоторых замкнутых классах в частичной двузначной логике / В. Б. Алексеев, А. А. Вороненко // Дискретная математика. - 1994. - Т. 6, вып. 4. - С. 58-79.

2. Пантелеев В. И. Критерий полноты для доопределяемых булевых функций / В. И. Пантелеев // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественнонауч. сер. - 2009. - № 2 (68). - С. 60-79.

3. Фрейвалд Р. В. О полноте частичных функций алгебры логики / Р. В. Фрейвалд // ДАН СССР. - 1966. - Т. 167, № 6. - С. 1249-1250.

4. Post E. L. Two-valued iterative systems of mathematical logic / E. L. Post // Annals of Math. Studies. - Princeton: Univ. Press, 1941. - Vol. 5. - 122 p.

V. I. Panteleyev, S. Yu. Haltanova

About some intervals in the lattic of clones of partial ultrafunctions.

Abstract. The intervals between the clone of function, saving 0 (1) and the clone of all partial ultrafunctions are considered in the lattic of clones of partial ultrafunctions.

It‘s showing that such intervals contain 20 clones.

Keywords: clon; multiclon; lattic; superposition; closed set; ultrafunctions; multifunctions

Пантелеев Владимир Иннокентьевич, доктор физико-математических наук, Восточно-Сибирская государственная академия образования, 664011, Иркутск, ул. Н. Набережная, 6, тел.: (3952) 240435 (v_panteleyev@mail .ru)

Халтанова Соелма Юрьевна, аспирант, Восточно-Сибирская государственная академия образования, 664011, Иркутск, ул. Н. Набережная, 6, тел.: (3952) 240435 (soelabad@mail.ru)

Panteleyev Vladimir, East Siberian State Education Academy, 6, N. Naberezhnaya St., Irkutsk, 664011, (v_panteleyev@mail.ru)

Haltanova Soelma, East Siberian State Education Academy, 6, N. Naberezhnaya St., Irkutsk, 664011, (soelabad@mail.ru)