CC BY
10
4. АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
УДК 513.7 © Б.В. Заятуев
ОБ ОДНОМ ПРИМЕРЕ КЕЛЕРОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Статья посвящена построению почти эрмитовой структуры инвариантного типа [6] на касательном расслоении над эрмитовой кривой. Найдены необходимые и достаточные условия келеровости этой почти эрмитовой структуры. Ключевые слова: касательное расслоение, многообразие, келерова структура, почти эрмитова структура.
B.V. Zayatuyev
ONE EXAMPLE KAHLERIAN SURFACE
Article is devoted to construction almost Hermitian structure invariant type [6] on the tangent bundle over the Hermitian curve. The necessary and sufficient conditions Kahlerian the almost Hermitian structure.
Keywords: tangent bundle, manifold, Kehler's structure, almost Hermition structure.
Напомним, что почти эрмитово многообразие (Мп, J, g) называется локально-конформно келерововым (короче - л.к.к.), если существует его открытое покрытие {Иа} и гладкие функции <га: иа ®Я" такие, что ^, ga = е~а" g} келерова структура на Иа. В случае, когда покрытие состоит из одного элемента {Мп}, структура назывется глобально-конформно келеровой.
Вайсманом [1] были получены следующие две характеристики таких многообразий:
1. Необходимым и достаточным условием локально-конформной ке-леровости многообразия (Мп, J, g), (п > 4) является справедливость тождества
аО, = ЮАО,, (1)
где О -фундаментальная 2-форма структуры, а = —1— АО ° J -
п — 1 2 1
1-форма, называемая формой Ли. Можно показать, что при п > 4 форма Ли замкнута вследствие (1) и невырожденности 2-формы О .
В случае п = 4, к (1) добавляется еще одно условие: с1а = 0.
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012/1
2. Другой эквивалентной характеристикой таких многообразий при п > 4 является условие почти комплексности так называемой связности Вейля
= -)¥ -±а*Х)X + -2g(X,¥)£, (2) где V - риманова связность метрики §, X -вектор, двойственный форме Ли, называемый вектором Ли. При п = 4 также добавляется условие йю= 0.
Если форма Ли точна, то есть СО=йо, то структура {/, g} является глобально-конформно келеровой и {/, e~оg}- келерова структура на Мп.
Вычислив ковариантную производную структурного оператора / в связности Вейля, получим
Vх(/)¥ ^Х(/)¥ + 1(о(Г)/X-/)X + W(X,¥)Х-g(X,¥)/Х). (3) Легко проверить, что условие V/ = 0, с учетом (3), можно записать в следующем эквивалентном виде
g (V X (/)¥, 2) = g (X ,¥ № (2) - g (X, 2 № (¥) -
2(п -1)
- g (X, /¥ )ЗГ (/2) + + g (X, /2 )ЗГ (/¥)),
где ^ (X ,¥) = g (/X ,¥) = -W(X ,¥). Как известно [2], данное условие является определяющим условием принадлежности многообразия (Мп, /, g) к классу W4 , в классификации Грея-Хервеллы. Таким образом, мы замечаем, что в случае п>4, класс локально-конформно келеровых многообразий совпадает с классом W4. Это факт, исходя из совершенно других соображений, был также получен в работе [8 ]. В случае п = 4, как известно ([2]), класс W4 совпадает с классом эрмитовых поверхностей.
Пусть (Т(Мп), /, - касательное расслоение над почти эрмитовым многообразием (Мп, /, g), снабженное почти эрмитовой структурой инвариантного типа [3], где
/ (Xй) = (/X )н;
/ (XV) = (/X );
X е с(М);(...)н,(...)г - горизонтальный и вертикальный лифты [4].
£ (X11 ,¥н) = Лg (X ,¥);
£ (Xн ,¥у) = 0;
$ (X1" ¥) = g (X ,¥); где 1 - риманова метрика, полученная конформным преобразованием метрики g .
Заятуев Б.В. Об одном примере келеровой поверхности
Относительно римановой связности V метрики g имеют место следующие формулы [5]
(VxhYh)z = (VXY)H -^(R(X,Y)Z)V;
(VxhYv )z = 2i( R(Z ,Y) X)H + (V xY )v ; - (4)
(V XJH )z = 2j(R(Z , X )Y)H;
V xvYv = 0;
где X,Y e c(M); Z e T(Mn); V, V' - соответственно, римановы связности метрик g и 1g ; R - тензор кривизны связности V . Кроме того,
(Vxh (J)YH)z = (VX (J)Y)H + 2(JR(X,Y)Z -R(X, JY)Z)V; (Vxh (J)YV)z = £(R(Z, JY)X - JR(Z,Y)X)H + (Vx(J)Y)V; (V xvYh )z = 2t(R(Z, X)JY - JR(Z, X)Y)H; 5
V XV (J )YV = 0; С учетом (5) имеем
dW( XH) = &У( X), (dW(XV ))z = -txtr(JR(Z, X)), где dW - кодифференциал фундаментальной формы структуры {J, g}; dW - кодифференциал фундаментальной формы структуры {J,1g} . Отсюда
w(xH )=i^W(x);
V , (6) (w(X ))z = ФтМJR(Z,JX)).
где w- форма Ли структуры {J, g}; W - форма Ли структуры
Jlg} .
Теорема 1. Касательное расслоение (T(Mn), J,g) (n > 2)является локально-конформно келеровым многообразием тогда и только тогда, когда (Mn, J, g) - плоское келерово многообразие и 1 = const.
Доказательство. С учетом (5) и (6) формула (3) относительно структуры {J, g} на касательном расслоении T (Mn) примет следующии вид:
(Vxh (J)YH)2 = (VX (J)Y)H + 2(JR(X,Y)Z - JR(X, JY)Z)V + +l( g ( X ,Y ) JXv -W( X , Y )XV );
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012/1
(VXff (J)YV)z = ix(R(Z, JY)X - JR(Z, Y)X)H + w(JY)XH --W (Y)(JX )H + (V x (J )Y )V;
(Vxv (J)YH)z = -2j(R(Z,X)JY - JR(Z,Y)X)H + wH (JY)XV -
-Wh (Y)(JX)V; VxV (J)YV =W(X,Y)X - g(X,Y)JXh +WV (JY)Xv -
-W(X, Y)XV + g(X, Y) JX -WV (Y)(JX)V; где V"- связность Вейля структуры {J,1g}; WH (X) = -5(7% w'(X),
W ( x )z = 2пЫ~М JR(Z, JX)).
Пусть связность Вейля V почти комплексна относительно J , то есть V XJ = 0, X е C(TM). Тогда из (7)3, в частности, получаем
WH (JY)XV - WH (Y)(JY)V = 0 . Отсюда, в силу линейной независимости векторных полей XV и J (XV) = (JX)V, следует WH = 0 . С учетом этого и (7)4 получаем
W(JY)XV -W(X,Y)Xv + g(X,Y)JXv -WV(Y)(JX)V = 0. Произведя в этом выражении свертку по первому нижнему и верхнему аргументам, имеем
(n - 1)w (JY) + g (JX ,Y) = 0. Затем, заменяя Y ® JY
(n - 2)WV(Y) = 0. Таким образом, если n > 2, то W = 0 .
Итак, если n > 2, то форма Ли W = 0 . Тем самым условие VxJ = 0 при n > 2 равносильно VxJ = 0, то есть келеровости структуры {J,g}. Как известно [3], келеровость структуры {J,gg} равносильна R = 0 и l= const . Тем самым теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть (M2, J,g) - келерово многообразие со знакоопре-деленной гауссовой кривизной к. Тогда эрмитова поверхность
_ к
(T(M2), J,e~sg), где s =--gi,y'yJ, является келеровой поверхностью
21 1
тогда и только тогда, когда 1 = Ак, где A = const и sign(A) = sign(k).
Доказательство. Пусть (M2,J,g)- двумерное (связное) келерово многообразие. Тогда, как известно [6], (T(M2), J,g)- эрмитово многообразие, названное нами тангенциальной эрмитовой поверхностью. Из двумерности риманова многообразия (M2, g) имеем
Заятуев Б.В. Об одном примере келеровой поверхности
R(X,Y)Z = k(g(X, Z)Y - g(Y, Z)X), где k- гауссова кривизна. Следовательно, соотношения (6) примут
вид
w XH) = 0;
k
(w(x ))z = --g(z,x).
A
(8)
Как известно [7], для эрмитовых поверхностей условие V х3 = 0
имеет место тождественно. В нашем случае это также легко проверить, использовав формулы (7) и (8).
Вычислив ковариантную производную формы Ли ю, получим
V хн (т)Гн = 0, _ —
(V . (тг )2 =э х (--) я (2 г),
л
V , (w)YH = 0,
k
V XV (w)YV = -—g (X, Y),
где dX = X' Отсюда
dx'
йт( хн, ) = 0,
—
(йю(хн, ))2 =Эх (-—)я (2, Г),
йю( ху X) = о.
Таким образом, получаем, что йю = 0 тогда и только тогда, когда — —
Эх (~) = 0. С учетом связности многообразия М2, Эх (—) = 0 тогда и
Л
Л
k
только тогда, когда — = const. Кроме того, в силу положительности
Л
функции Л, это равенство имеет смысл только тогда, когда гауссова кривизна k знакоопределена. Покажем теперь, что замкнутость формы Ли W влечет ее точность. Действительно, в адаптированном кобазисе {(dx)V ,(dx)H } имеем
k k W= (-л) g,y (dx')H = (-л>( gsdy'ys + gs G\jylysdxi) =
kk
= (-T)(gtsdy'ys + i dglsylys) = d (-2jgyy'y]),
k) A
Э
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012/1
где (X,у1)- стандартная локальная система координат на Т(М2), {£,у } - компоненты римановой метрики g в этой системе координат. Так
ким образом, форма Ли w = do, где o =—— giiy'yJ . Легко проверить,
21 1
что О- глобально определенная функция на T(M) . Тем самым доказано, что (T (M2), J, g) - глобально-конформно келерово многообразие тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:
1. (M2, g)- риманово многообразие со знакоопределенной гауссовой кривизной к;
2. 1 = Ак, где А = const и sign(А) = sign(k) .
Теорема доказана.
Следствие. Пусть (M2,J,g) многообразие постоянной гауссовой кривизны к. Тогда эрмитова поверхность (T(M2), J,e~og) является ке-леровой поверхностью тогда и только тогда, когда 1= const .
Заключение
В настоящей работе, в отличие от большинства других работ по данной тематике, рассматривается касательное расслоение над эрмитовым многообразием. Показано, что на ней естественным образом индуцируется почти эрмитова структура инвариантного типа и получены необходимые и достаточные условия келеровости этой структуры. Основные результаты работы получены вычислением в формализме Кошуля.
Литература
1. Vaisman I. Localy conformal Kahler manifolds with parallel Lee form // Rend. Mat. Rome, 1979. - V.12. - Р. 263-284.
2. Gray A., Hervella L. The sixteen classes of almost manifolds and their linear invariants// Ann. Math. Pura ed. Appl., 1980. - V.123. - № 4. - Р. 35-38.
3. Заятуев Б.В. О некоторых классах АН-структур на касательном расслоении // Труды международной конференции, посвященной А.З. Петрову. -2000. - С. 53-54.
4. Yano K. and S. Ishihara. Tangent and Cotangent Bundles// New York, Marcel Dekker, INC., 1973, XII.
5. Zayatuev B.V. On some classes of almost Hermitian structures on the tangent bundele// Webs and Quasigroups, T.S.U., 2002. - Р. 103-106.
6. Кириченко В.Ф., Заятуев Б.В. Дифференциальная геометрия тангенциальных эрмитовых поверхностей // Успехи мат. наук. - 1996. - №4. -С. 209-211.
7. Vaisman I., Tricerri F. On some 2-dimensional Hermitian manifolds // Math. Z. - V.192, 1986. - Р. 205-216.
Халтанова С.Ю. О клонах ультрафункций, сохраняющих нуль и единицу
8. Игнаточкина Л.А. Конформно-инвариантные свойства приближенно ке-леровых многообразии // Математические заметки. - Т. 65. - №5. - 1999.
Заятуев Батор Владимирович - кандидат физико-математических наук, преподаватель кафедры геометрии Бурятского государственного университета. Тел. 8(914)832-91-95. E-mail: zayatuyev@yandex.ru
Zayatuyev Bator Vladimirovich - candidate of physical and mathematical sciences, senior teacher of department of Buryat State University. Tel. 8(914)832-91-95. E-mail: zayatuyev@yandex.ru
УДК 519.716 © С.Ю. Халтанова
О КЛОНАХ УЛЬТРАФУНКЦИЙ, СОХРАНЯЮЩИХ НУЛЬ И ЕДИНИЦУ
В решетке клонов ультрафункций рассматривается интервал между клоном функций, сохраняющим нуль и единицу, и клоном всех ультрафункций. Показано, что такой интервал содержит 8 клонов.
Ключевые слова: клон, решетка, суперпозиция, замкнутое множество, ультрафункция.
S.J. Haltanova
ABOUT ONE INTERVAL IN THE LATTIC OF CLONES OF ULTRAFUNCTIONS
The interval between the clone of function, saving 0 and 1, and the clone of ultra-function are considered in the lattic of clones of ultrafunctions. It's showing that such interval contain 8 clones.
Keywords: clone, lattic, superposition, closed set, ultrafunction.
Введение
Пусть E = {0,1}, F = { 0,1, {0,1}}. Функции f : En ® E называются всюду определенными булевыми функциями ( P2 - множество всех всюду определенных булевых функций); f : En ® F - ультрафункциями ( P2~-множество всех ультрафункций).
Пусть даны f ( Х1,..., xn ) e PГ, /( x^..., xm ),..., fn (x^..., xm ) e P^, тогда суперпозиция f (f1(x1,..., xm ),..., fn (x1,..., xm )) определяет функцию g(x1,...,xm), принад-лежащую P2~, следующим образом [2]:
