CC BY
18
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 18 Выпуск 2
УДК 514.76 Б01 10.22405/2226-8383-2017-18-2-144-153
ИНДУЦИРОВАННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОЧТИ ЭРМИТОВОЙ СТРУКТУРЫ ЛИНЕЙНОГО РАСШИРЕНИЯ
Л. А. Игнаточкина (г. Москва)
Аннотация
Введено понятие индуцированного преобразования почти эрмитовой структуры линейного расширения почти контактного метрического многообразия. Получены явные формулы этого преобразования почти эрмитовой структуры. Исследована инвариантность четырех основных соотношений на структурный и виртуальный тензоры почти эрмитова многообразия, которые используются при классификации Грея-Хервеллы почти эрмитовых многообразий. Было выяснено, что одно из этих соотношений является инвариантным относительно индуцированного преобразования почти эрмитовой структуры линейного расширения. Для остальных трех условий были найдены требования на функцию, задающую индуцированное преобразование, при выполнении которых названные условия оказались инвариантными относительно индуцированного преобразования почти эрмитовой структуры линейного расширения гладкого многообразия с почти контактной метрической структурой. С использованием этих результатов было выяснено, какие из шестнадцати классов почти эрмитовых многообразий являются инвариантными относительно индуцированных преобразований линейных расширений. Для остальных классов классификации Грея-Хервеллы были получены условия на функцию, задающую индуцированное преобразование, при выполнении которых исходная почти эрмитова структура линейного расширения и преобразованная почти эрмитова структура принадлежат одному и тому же классу из классификации почти эрмитовых многообразий.
Ключевые слова: почти эрмитова структура, почти контактная метрическая структура, линейное расширение, конформное преобразование.
Библиография: 15 названий.
INDUCED TRANSFORMATIONS FOR ALMOST HERMITIAN STRUCTURE OF LINEAR EXTENSIONS
L. A. Ignatoehkina (Moscow) Abstract
Induced transformation of almost Hermitian structure for linear extension of the manifold with almost contact metric structure was considered in this paper. We got formulas for induced transformation of almost Hermitian structure for linear extension of the smooth manifold with almost contact metric structure. There exist four equations for the Gray-Hervella's classification of the smooth manifolds with almost Hermitian structures. In this paper we studied invariance of these equations. One equation is invariant. The conditions of invariance for three other equations were got in this paper. These equations defined sixteen classes of the smooth manifolds with almost Hermitian structure. In this paper we studied invariance for these classes. One class
is invariant. Six classes are invariant if and only if exterior differential of function of induced transformation is contained in the second fundamental distribution. Other classes are invariant if and only if the function of induced transformation is constant.
Keywords: almost Hermitian structure, almost contact metric structure, conformai change.
Bibliography: 15 titles.
1. Введение
Линейные расширения гладких многообразий (то есть многообразие вида M х R, где M — гладкое многообразие, a R — вещественная прямая) рассматривались в работах [1], [2], [3]. В работах [1], [2] была построена почти эрмитова структура на многообразии M х R, причем многообразие M отождествляется с многообразием M х 0, являющемся омбилической гиперповерхностью в M х R. Соотношение между классами почти контактных метрических структур на M и соответствующими классами почти эрмитовых структур на M х R были подробно изучены в работах [4], [5].
Конформное преобразование метрики гладкого многообразия, то есть переход от метрики g к метрике е2^д, где f — гладкая функция на многообразии, при наличии на этом многообразии других фиксированных тензорных полей определяет конформное преобразование для всей их совокупности. Например, под конформным преобразованием почти эрмитовой структуры понимается переход от пары (J, д) к паре (J, е2^g), а под конформным преобразованием почти контактной метрической структуры понимается переход от структуры (Ф,£,Ц,д) к структуре (Ф, e~fr¡,e2fg). Такие преобразования структуры широко изучались. В качестве примера приведем работы [6], [7], [8], [9].
Если даны два, связанные между собой, многообразия с дополнительными тензорными структурам, то преобразование структуры на первом многообразии позволяет индуцировать преобразование структуры второго многообразия. Например, в работе [10] рассматривались почти эрмитова структура на базе главного Т^расслоения, ее конформное преобразование и индуцированное преобразование почти контактной метрической структуры на тотальном пространстве расслоения.
Зададим на почти контактном метрическом многообразии M конформное преобразование его структуры. Тогда на линейном расширении M х R получим некоторое преобразование его почти эрмитовой структуры. Оно задается при помощи отображения присоединенных G-структур, построенного в работах [11], [12]. Тогда первой задачей становится получение инвариантного вида введенного преобразование и второй задачей — исследование инвариантности 16 классов почти эрмитовых многообразий относительно введенного преобразования.
2. Почти эрмитовы и почти контактные метрические структуры на многообразиях
Пусть M — связное гладкое 2п-мерное многообразие. Почти эрмитовой структурой на нем называется пара тензорных полей (J,g), где J — антиинволютивный эндоморфизм, g — риманова метрика, согласованная с J, то есть g(JX,JY) = g(X,Y) для любых векторных полей X, Y на М. Многообразие, на котором фиксирована почти эрмитова структура, называется почти эрмитовым многообразием.
Напомним [13], что в комплексификации касательного пространства Т^ (M ), m G M, строится базис (еа, еа), а = 1,... ,п, à = а + п, в котором матрицы тензоров
Jm и дт имеют вид
( Л) = ( ^^ô1^ -А. ) ;(«) = ( £ 0 ) а»
где 1п — единичная матрица порядка n,i,j = 1,..., 2n. Такой базис и соответствующий ему репер (m, еа, £â) называются адаптированными почти эрмитовой структуре ( J, g) многообразия. Коротко они называются А-базисом и А-репером. На пространстве расслоения А-реперов тен-J
компонентами тензорных полей J и g на пространстве расслоения А-реперов. Ковариант-ный дифференциал тензорного поля J в римановой связности V метрики g определяет два тензорных поля
B(X,Y) = 1(Vy(J)(JX) -VjY(J)X);
С(X, Y) = -hvjY(J)X + Vy(J)(JX) - Vjx(J)Y - Vx(J)(JY)). 8
Эти тензорные поля называются виртуальным и структурным, тензором, соответственно. Ненулевые компоненты этих тензорных полей на пространстве расслоения А-реперов обозначаются
в ab _ _^т а ; в с _ â ;
п с = 2 ПаЬ = 2 ,â;
тзаЪс _ ^ та . тз _ ^ jâ
В =2J[ââ]; ПаЬс = -
них индексам. Компоненты виртуального и структурного тензора попарно комплексно сопряжены
ab ос. d abc d с = ВаЬ ; В = ВаЬС.
Согласно [14] пространство W тензорных полей а типа (3,0), обладающих свойствами
a(X, Y, Z) = -a(X, Z, Y) = -a(X, JY, JZ),
распадается в прямую сумму четырех неприводимых подпространств относительно группы U (n):
W = Wi ®W2 ®W3 ®W4. (2)
Ковариантный дифференциал келеровой формы F(X, Y) = g(JX, Y) почти эрмитова многообразия является тензорным полем указанного вида. В зависимости от того, какому из получающихся 16 подпространств он принадлежит, выделяют 16 классов почти эрмитовых многообразий. Критерии этих классов имеют вид [15]
{0} : ВаЬс = 0, ВаЬс = 0; W1 : В[аЬс] = ВаЬс, ВаЬс = 0; W2 : В[аЬс] = 0, ВаЬс = 0; W3 : ВаЬс = 0, Ва\ = 0; W4 : ВаЬс = 0; ВаЬс = ; Wi Ф W2 : ВаЬс = 0; W1 Ф W3 : В[аЬс] = ВаЬс, Ва\ = 0; W1 Ф W4 : В[аЬс] = ВаЬс, ВаЬс = а[а<$; W2 Ф W3 : В[аЬс] = 0, ВаЬъ = 0; W2 Ф W4 : В[аЬс] = 0, ВаЬс = а[а<$ ;
ЗаЬь = 0; W2 Ф W4 : В[аЬс] = 0, ВаЬс = а[а1 W3 Ф W4 : ВаЬс = 0; Wi Ф W2 Ф W3 : ВаЬъ = 0; Wi Ф W2 Ф W4 : ВаЬс = а[а<$;
Wi Ф W3 Ф W4 : В[аЬс] = Вabc; W2 Ф W3 Ф W4 : В[аЬс] = 0, (3)
где {аа,аа = а^} — компоненты формы Ли
ш
-1 п — 1
5Р о,]
(4)
на пространстве расслоения А-реперов.
Пусть М — связное гладкое 2п+1-мерное многообразие. Пусть на нем фиксирована четверка тензорных полей (Ф, г),д), где Ф — тензорное поле тип а (1,1), ц — 1-форма, £ — векторное поле, д — риманова метрика. При этом выполняются соотношения
1)Ф(£) =0; 2) ч о Ф = 0; 3) = 1; 4) Ф2 = -гй + £ ® т 5) д(ФХ, ФУ) = д(Х, У) - Г](Х)^(У).
(5)
Такая четверка тензорных полей называется почти контактной метрической структурой. Гладкое многообразие, на котором фиксирована почти контактная метрическая структура называется почти контактным метрическим многообразием.
Напомним [13], что в комплексификации касательного пространства Т^(М), т € М строится базис (еа, £а, £т), о = 1,... ,п, а = а + п, в котором компоненты т ензоров Фт и дт имеют вид
(Ф) ) =
\/=Г/„ 0 0
0
0
0
(9г)) = I 1п
0 1п 0
00
0
0
0 0 1
г,] = 1,..., 2п. Такой базис и соответствующий ему репер (т,еа,£а, £т) называются адаптированным,и почти контактной метрической структуре многообразия. Короче они называются А-^зисом и А-репе^м, соответственно. На пространстве расслоения А-реперов тензорные поля Ф и д задаются системами функций вида (1). Эти системы функций называются компонентами тензорных полей Ф и д на пространстве расслоения А-реперов.
Ковариантный дифференциал УФ эндоморфизма Ф в римановой связности метрики д определяет шесть тензорных полей, ненулевые компоненты
{СаЬс,СаЬс}, {СаЬс,СаЬс}, {СаЬ,СаЬ}, {Саъ, Са }, {ПаЬ,ОаЬ}, {^ДЛ которых задаются следующим образом
СаЬс = Ф1 ;
2 Ь,с
С аЬ = V—1 Ф«о -^=Гф«.;
Г1 с ЬаЬ =
СаЪ = -
Ф2
Ф, 0
ваЪ = -^=!Ф0 Оа = -^=ГФ0
[а,Ь];
а,0
£аЬс _
—1Ф".
2 Ф[Ь,с]
с аъ = -^=1Фа
0,6
СаЬс = -
Ф
[Ь,с]
а .
0,Ь;
Са» = -
ВаЪ = ^=ГФ0 с
[а,Ь]
Ва = ^=ГфО
(6)
где нулевой индекс соответствует вектору £т. Эти тензорные поля называются структурным,и тензорам,и, почти контактного метрического многообразия.
Отметим, что СаЬс = СаЬс, СаЬс = СаЬс, СаЬ = Са\ Саъ = О
д
аЬ
Д„
ь
3. Линейные расширения почти контактных метрических многообразий
Пусть М — (2п + 1)-мерное почти контактное метрическое многообразие со структурой (Ф, Тогда [1] на декартовом ироизведении М х М многообразия М и вещественной
прямой К внутренним образом порождается почти эрмитова структура ( 3, к). Пусть V — единичный вектор вещественной прямой М. Тогда компоненты тензорных полей 3 и к на пространстве расслоения реперов вида ( т, е^, и), где {( т, е^)} — множество всех вещественных реперов многообразия М, будут задаваться следующими матрицами:
( ^ )=( ^
з
чг
0
;); (М) = (*< о) ■
где г,] _ 1,..., 2п + 1 _ 1,..., 2п + 2. Если для многообразия М рассматривать
подрасслоение А-реперов, то матрицы 3 и к на пространстве расслоения реперов вида Ъ\ _ ( т, £а, £а, Ст,^) будут иметь вид [5]:
( За/3 )
/ г 1п 0 0 0 \ / 0 Зп 0 0
0 -г 1п 0 0 (к^) _ 1п 0 0 0
0 0 0 -1 0 0 1 0
0 0 1 0 / V 0 0 0 1
(7)
Так как реперы Ь\ не являются А-реперами для почти эрмитовой структуры (3, к), рассмотрим реперы Ь2 _ (т, еа, е0, е^), где
£о
Ст - г V £т + г V
£ 0 _
^2
л/2
(8)
На пространстве расслоения реперов тензорные поля 3 и к принимают вид матриц (1), где вместо 1п стоит 1п+1.
Из вида матриц (7) следует, что
з (о = з (и) = ч.
(9)
Согласно работе [5] компоненты структурного и виртуального тензоров почти эрмитовой структуры линейного расширения М х Ми компоненты структурных тензоров почти контакт-
М
ВаЬс _ СаЬс.
■>аЬ0 _ 4=(паЬ -Си);
Ва
оа0 _ 1 а .
В Ь _ -/2С Ь;
Ва0о _
В^Ьс _ СоЬс;
туаЬО 1 г~<аЬ.
В _ 2-2С ;
тз0аЪ _ 1 т^аЪ.
В _ ;
В00а _ -40а;
ВаЪС _ СаЪС;
ВаЬ0 _ "72 (ЕаЪ - С[аЬ]); Ь _ Ь;
Ва0 — -_Са ;
Вао° _ _оа;
ВаЬс СаЪс; ВаЬ0 _ 2_—_СаЬ; В0аЬ _ "Т_ В00а _ -\Оа
(10)
'аЬ;
4. Преобразование почти эрмитовой структуры линейного расширения почти контактного метрического многообразия, индуцированное конформным преобразованием
Под конформным преобразованием почти контактной метрической структуры 1_ (Ф, г], д) М
II _ (Ф, ] ], <]), где
С _ е ; ] _ е/ т]; д _ е2/д
М
Для совместного изучения свойств исходного и полученного при преобразовании многообразий удобно задать его с помощью отображения пространств расслоения А-реперов [11]. Обозначим его ф . Это отображение задается следующим образом:
(1Г1, £a, £a, Cm) ^ , £a — С f( )£a, £a — в f( ^£a, Cm — С f( ^Cm),
где т Е М. Задание отображения ф равносильно заданию перехода от структуры I к структуре //многообразия М.
Согласно результатам, полученным в работе [11] при конформном преобразовании почти контактной метрической структуры ее структурные тензоры связаны следующими соотношениями:
(ef о ж)(СаЬс о ф) — СаЬс + ¡3a 5Ь - ftь5'а (ef о n)(CabC о ф) — Cabc + М -
( е f о K)(Da о ф) — Da + a (ef о n)(Da о ф) — Da + fia
(еf ож)^ о ф) — Dab (ef ож^ъ оф)—Daь (11)
( еf о ж)(Сab о ф) — Сab (еf о n)(Cab о ф) — Cab
( еf о ж)(С ab о ф) — С ab - До ¿a (еf о n)(Cab о ф) — Cab - fio 6Ь
(еf о ъ)(Сabc о ф) — Сabc (еf о n)(Cabc о Ф) — Cabe
где система функций {fia, fta = fia, fio} является компонентами 1-формы df на пространстве расслоения A-реперов, а ■к — проекция тотального пространства расслоения A-реперов на базу М, ставящая в соответствие каждому реперу его вершину.
Заметим, что — dfm(Cm), a dfm(u) — 0 так как изначально функция f определена на многообразии М, а на многообразии М х R определяется равенством f (т, t) — f(m), (т, t) Е М х R. Тогда на пространстве расслоения A-реперов Ь2 над многообразием М х R первые две группы компонент формы df будут такими же как и на многообразии М, то есть {fia, fta}, а две последние компоненты будут иметь вид
fio — dfm(eo) — —=] fio =ft0 — dfm(eo) — fi' (12)
В частности, из этого следует, что функции fio и ft0 являются вещественными.
Рассмотрим линейные расширения многообразия М с почти контактной метрической структурой I и многообразия М с почти контактной метрической структурой II. Тогда на каждом из них будет индуцирована почти эрмитова структура. Обозначим первую из них ( J, h), а вторую ( J, h). Переход от структуры ( J, h) к структуре ( J, h) на многообразии М х R назовем преобразованием, индуцированным, конформным преобразованием многообразия М (короче, индуцированным, преобразованием). Это преобразование определяется отображением реперов вида Ь\ почти эрмитовых многообразий (М х R, J, h) и (М х R, J, h) следующим образом
(р, £a, £ a, Cm, v) ^ (p, £a — e~f ( m)£a, £a — e~f (m)ea, Cm — e~f ( m)Cm, v), (13)
где p Е M х R. Обозначим это отображение также как отображение расслоений A-реперов для многообразия М, а именно, ф.
a a Jm Jm
a a Jm Jm
-
Jm(£a) — J(еa); Jm(¿a) — J(£'a)- (14)
Кроме того, из (9) следует, что
3(1) = 3 (£);3» = ^-13 (V). (15)
Пусть Х — произвольное векторное поле наМ х К. Разложим вектор Хт по базис у Ь\. Тогда, используя (14) и (15), а также (9), получаем, что
3(X) = 3(X) + (е1 - 1)Н(Х, О" - (е-1 - 1)Н(Х, V)(16)
Аналогичным образом, раскладывая векторы Хт и произвольных векторных полей по базису Ь\ и используя (7) для Н и Н, получим
Н(Х, У) = е21Н(Х, У) + (1 - е21 )Н(Х, V)Н(У, V). (17)
Итак, индуцированное преобразование на линейном расширении М х Кв инвариантном виде задается формулами (16) и (17).
Из (16) получаем следующую теорему.
Теорема 1. Индуцированное преобразование на, М х К будет конформным, то есть почт,и эрмитова структура ( 3, Н) переходит в почт,и эрмитову структуру ( 3,Н = е2 1 Н)
Найдем связь между компонентами структурного и виртуального тензоров почти эрмитовых структур ( 3, Н) и ( 3, Н) на линейном расширении М х К. Из (13) и (8) следует, что для А-реперов &2 на М х К определяется отображение
Ф : (р, еа, £а, ео, ) ^ (р, ёа, ёа, ёо, ёб),
где р = ( т, £) е М х К ёа = е-1(т)еа, ёа = е-1(т)еа,
(е-1 (т) + 1)ео + (е-1 (т) - 1)е^ (е-1 (т) - 1)£о + (е-1 (т) + 1)е0
£о =-~-; ео
2 ' 0 2
Тогда, используя формулы (10), (11) и (12), получим
(е1 о п)(ВаЬс о Ф) = ВаЬс + ра5ьс - рь5ас;
1 - ' НаЬС о Ф) = ВаЬС + Ра5Сь - Р^ (е1 о ^)(ВсЬо о Ф) = ВаЬо; (е1 о ^)(ВаЬ0 о Ф) = ВаЬ0-
(е1 о п)(Ваоь о Ф) = Ваоь - Ро¿с; (е 1 о ^)(ВаоЬ о Ф) = ВаоЬ - Ро¿а;
(е1 о^)(Ваоо о Ф) = Ваоо + 1Ра; (е1 оъ)(Ваоо о Ф) = Ваоо + ¡Ра; (18)
(е1 о ж)(ВаЬс о Ф) = ВаЬс; (е1 о ^)(ВаЬс о Ф) = ВаЬс;
(е1 о ж)(ВаЬо о Ф) = ВаЬо; (е1 о ^)(ВаЬо о Ф) = Всю;
(е1 о ^)(ВоЬс о Ф) = ВоЬс; (е1 о ^)(ВоЬс о Ф) = ВоЬс;
(е1 о ^)(Воос о Ф) = Воос - 4рс; (е1 о ^)(Воос о Ф) = Воос - \рс;
Используя определение формы Ли (4) и формулы (18), получим, что компоненты формы Ли ш преобразуются по формулам
2п — 1 2п — 1
( е1 о п)(аа о Ф) = аа + ра; (е1 о ^с о Ф) = ас + Ра;
( е1 о ^)(ао о Ф) = ао + 2ро; (е1 о ^)(ао о Ф) = ао + 2Ро.
5. Инвариантные классы относительно индуцированных преобразований
Найдем инвариантные классы относительно индуцированных преобразований в классификации (3).
Пусть индексы а, ß,^,.. .принимают значения от О до п. Выясним, будет ли инвариантным условие B[aß,y] — О для линейного расширения M x R. Это условие представляет из себя три группы равенств B^abc] — О B^abQ] — О и B^QQa] — О. Используя формулы (18), мы видим, что все три группы равенств остаются инвариантными. Следовательно, условие B[aßj] — О остается инвариантным при индуцированных преобразованиях.
Рассмотрим условие B[aß~(] — Baß-y — О. Из формул (18) следует, что группы равенств B[abc] — Babc и B^al)Q] — B„bQ остаются инвариантными, а группа равенств B^QQa] — О будет инвариантной только если ßa — ßa — О. Это означает, что векторное поле ß^ (а точнее, его комплексификация), двойственное 1-форме df, в каждой то чке (т, t) GM x R раскладывается только по векторам eq и sq. Тогда, используя (12) и (8), получим, что ßm — ßoCm, то есть векторное поле ß^ принадлежит распределению M почти контактного метрического многообразия М, определяемого векторным полем С-
Рассмотрим условие Baßß — О. Из формул (18) следует, что группа равенств Baßß — О инвариантна тогда и только тогда, когда ßa — ßa — О А группа равенств BQßß — О инвариантна тогда и только тогда, когда ßo — ßQ — О. Итак, условие Baßß — О является инвариантным
Рассмотрим условие Baß1 — Из формул (18) следует, что группы равенств
BabQ — а[а¿Q и BQab — a[Qинвариантны. А группы равенств Babc — a[aöb и BaQQ — а[а¿Q] инвариантны тогда и только тогда, когда ßa — ßa — О. Итак, условие Baß1 — является
инвариантным тогда и только тогда векторное поле ß^ принадлежит распределению M. Из полученных результатов и классификации (3) получаем следующую теорему.
Теорема 2. Класс W2 ф W3 ф W4 инвариантен относительно индуцированных преобразований линейных расширений. Классы, Wi, W1 ф W4, W2 ф W4, W3 ф W4, W1 ф W2 ф W4, W1 ф W3 ф W4 инвариантны относительно индуцированных преобразований тогда и только тогда, когда векторное поле ß^ двойственное 1-форме ß — df, принадлежит распределению M почти контактного метрического многообразия M, определяемого векторным полем Остальные классы, классификации (3) инвариантны тогда и только тогда, когда функция f является константой.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Tashiro Y. On contact structure of hvpersurfaces in complex manifolds I // Tohôku Math. J. 1963. Vol. 15. P. 62-78.
2. Евтушик Л. E., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. \!.. Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. 1979. Том 9. С. 1-246.
3. Chinea D., Gonzalez С. A Classification of Almost Contact Metric Manifolds // Annali di Matematica pure ed applicata. 1990. Vol. CLVI. P. 15-36.
4. Rodina E. V. On linear extensions of some almost contact manifolds // Webs and quasigroups. Tver State Univ. 1995, P. 106.
5. Родина Е. В. Линейные расширения почти контактных метрических многообразий: Дисс. .. .канд. физ.-мат. наук. М.: МИГУ. 1997. 98 с.
6. Игнаточкина Л. А. Многообразия Вайсмана-Грея с J-инвариантным тензором конформной кривизны // Ма гс.м. сб. 2003. Том 194, №2. С. 61-72.
7. Кириченко В. Ф., Ускорев И. В. Инварианты конформного преобразования почти-контактных метрических структур // Матем. заметки. 2008. Том 84, №6. С. 838-850.
8. Кириченко В. Ф., Ежова И. А. Конформные инварианты многообразий Вайсмана-Грея // УМН. 1996. Том 51, №2. С. 163-164.
9. Ignatochkina L. A., Abood Н. М. On Vaisman-Grav manifold with vanishing conharmonic curvature tensor// Far East Journal of Mathematical Sciences (FJMS). 2017. Vol. 101, №10. p. 2271-2284.
10. Ignatochkina L. A., Morozov P. B. The transformations induced by conformal transformations on T1- bundle // Journal of Basrah Researchers ((Sciences)). 2011. Vol. 37, ЛМС. p.8-15.
11. Игнаточкина Л. А. Обобщение преобразований, индуцированных на Т1-расслоениях конформными преобразованиями их базы // Матем. сб. 2011. Том 202, №5. С. 45-62.
12. Игнаточкина Л. А. Локальное строение многообразий Вайсмана-Грея // Современная математика и ее приложения, Геометрия и анализ. 2015. Том 96, С. 70-80.
13. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Одесса.: Печатный Дом, 2013. 458 с.
14. Gray A., Hervella L. М. The Sixteen Classes of Almost Hermitian Manifolds and Their Linear Invariants // Annali di Matematica pura ed applicata. 1980. Vol. CXXIII, ,Y"I Y. P. 35-58.
15. Banaru M. A new characterization of the Grav-Hervella classes of almost Hermitian manifold // 8th International conference on differential geometry and its applications. Opava-Czech Republic, 27-31 August 2001. p. 4.
REFERENCES
1. Tashiro, Y. 1963, "On contact structure of hvpersurfaces in complex manifolds I Tohoku Math. J., vol. 15, pp. 62-78.
2. Evtushik, L.E., Lumiste, Ju.G., Ostianu, N.M. k, Shirokov A. P. 1979, "Differential geometric structure on manifolds Itogi nauki i techniki. Problemi geometrii., vol. 9, pp. 1-246.
3. Chinea, D.& Gonzalez, C. 1990, "A Classification of Almost Contact Metric Manifolds ЛnnaK di Matematica pure ed applicata., vol. CLVI, pp. 15-36.
4. Rodina, E.V. 1995, "On linear extensions of some almost contact manifolds Webs and quasigroups. Tver State Univ., pp. 106.
5. Rodina, E.V. 1997, "Linear extensions of almost contact metric manifolds Diss. ...kand. fis.-mat. nauk., M.: MPGU, 98 p.
6. Ignatochkina, L. A. 2003, "Vaisman-Grav manifolds with J-invariant conformal curvature tensor 56. Math., vol. 194, no. 2, pp. 225-235.
7. Kirichenko, V. F. к Uskorev, I. V. 2008, "Invariants of conformal transformations of almost contact metric structures Mathematical Notes, vol. 84, no. 6, pp. 783-794.
8. Kirichenko, V. F. к Ezhova N.A. 1996, "Conformal invariants of Vaisman-Grav manifolds Russian Mathematical Surveys, vol. 51, no. 2, p. 331.
9. Ignatochkina, L.A. к Abood, H.M., 2017 "On Vaisman-Grav manifold with vanishing conharmonic curvature tensor Far East Journal of Mathematical Sciences (FJMS), vol. 101, no. 10, pp. 2271-2284.
10. Ignatochkina, L.A. к Morozov, P. В., 2011 "The transformations induced by conformal
T1
pp. 8-15.
T1
conformal transformations of their base Sb. Math., vol. 202, no. 5, pp. 665-682.
12. Ignatochkina, L. A. 2016 "Local Structure of Vaisman-Grav Manifolds Journal of Mathematical Sciences, vol. 217, no. 5, pp. 595-606.
13. Kirichenko, V. F. 2013, "Differential geometric structure on manifolds 2, Pechatnv Dom, Odessa, 458 p.
14. Gray, A.k Hervella, L. M. 1980, "The Sixteen Classes of Almost Hermitian Manifolds and Their Linear Invariants Annali di Matematica pura ed applicata, vol. CXXIII, no. IV. pp. 35-58.
15. Banaru, M. 2001, "A new characterization of the Grav-Hervella classes of almost Hermitian
8 h
Republic, p. 4.
Московский педагогический государственный университет Получено 22.03.2017 г. Принято в печать 14.06.2017 г.
