CC BY
12
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 18 Выпуск 2
УДК 514.76 Б01 10.22405/2226-8383-2017-18-2-183-194
СТРОЕНИЕ ПОЧТИ ЭРМИТОВЫХ СТРУКТУР ТОТАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА ГЛАВНОГО Т^РАССЛОЕНИЯ С ПЛОСКОЙ СВЯЗНОСТЬЮ НАД НЕКОТОРЫМИ КЛАССАМИ ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ
И. А. Петров (г. Москва)
Аннотация
В статье получено строение почти эрмитовых структур тотального пространства главного Т1-расслоения с плоской связностью над некоторыми классами почти контактных метрических многообразий, такими, как контактные, К—контактные, сасакиевые, нормальные, косимплектические, слабо косимплектические, точнейше косимплектические и почти косимплектические. Над контактным и К—контактным многообразием почти эрмитова структура принадлежит классу Ф W4. Форма Ли отличается от формы плоской связности па постоянный множитель, равный —2. При этом двойственное векторное поле Ли отличается от некоторого векторного поля из вертикального распределения на этот же постоянный множитель. Также, эта почти эрмитова структура является локально конформно почти келеровой. Над сасакиевым многообразием почти эрмитова структура принадлежит классу Форма Ли отличается от формы плоской связности на постоян-
2
от некоторого векторного поля из вертикального распределения на этот же постоянный множитель. Над слабо косимплектическим многообразием почти эрмиитова струткруа является семикелеровой. Форма Ли, как и двойственное векторное поле Ли, являются тождественно нулевыми. Над косимплектическим многообразием почти эрмитова структура является келеровой. Также, форма Ли, как и двойственное векторное поле Ли, являются тождественно нулевыми. Над нормальным многообразием почти эрмитова структура является эрмитовой. Над точнейше косимплектическим многообразием почти эрмитова структура является почти эрмитовой структурой, а над почти косимплектическим многообразием является С2 почти эрмитовой структурой.
Ключевые слова: главное Т^расслоение, почти контактная метрическая структура, почти эрмитова структура, форма Ли, локальная конформность.
Библиография: 15 названий.
THE STRUCTURE OF ALMOST HERMITIAN STRUCTURES OF TOTAL SPACE OF PRINCIPAL FIBER T^BUNDLE WITH FLAT CONNECTION OVER SOME CLASSES OF ALMOST CONTACT METRIC MANIFOLDS
I. A. Petrov (Moscow) Abstract
In paper we studied almost Hermitian structures of total space of principal fiber T1-bundle with flat connection over some classes of almost contact metric manifolds, such as contact, K—contact, Sasakian, normal, cosymplectic, nearly cosymplectic, exactly cosymplectic and weakly cosymplectic manifolds. Over contact and K—contact manifolds almost Hermitian
structure belongs to the W2®W4 class. Lee's form is different from the form of the flat connection by constant factor, equal to —2. Moreover, dual Lee's vector field is different from some vector field from vertical distribution by the same constant factor. Also, this almost Hermitian structure is local conformai almost Kahlerian. Over Sasakian manifolds almost Hermitian structure belongs to the W4 class. Lee's form is different from the form of the flat connection by constant 2
vertical distribution by the same constant factor. Over weakly cosymplectic manifolds almost Hermitian structure is semiKahlerian. Lee's form and dual Lee's vector field are identically zero. Over cosymplectic manifolds almost Hermitian structure is Kahlerian. Also, Lee's form and dual Lee's vector field are identically zero. Over normal manifolds almost Hermitian structure is Hermitian. Over exactly cosymplectic manifolds almost Hermitian structure is G1 almost Hermitian structure, and over nearly cosymplectic manifolds almost Hermitian structure is G2 almost Hermitian structure.
Keywords: principal fiber T 1-bundle, almost contact metric structure, almost Hermitian structure, Lee's form, local conformity.
Bibliography: 15 titles.
1. Введение
Главные тороидальные расслоения, т.е. расслоения со структурной группой, являющейся компактной абелевой группой, которая изоморфна r-мерному тору [8], интересны и актуальны не только дифференциальной геометрии, но и теоретической физике. Исследованию главных тороидальных расслоений посвящена статья В.Ф. Кириченко [8], в которой он развил результаты Д. Блэра [9], Ш. Кобаяси [10] и И. Ватанабэ [11]. В ней он получает аппарат исследования главных тороидальных расслоений, а также рассматривает почти эрмитовы структуры, которые он фиксирует на базе расслоения, тем самым индуцируя почти контактные метрические структуры на тотальном пространстве. И. П. Борисовский в своей работе [12] рассматривает частный случай главных тороидальных расслоений, а именно такие, структурная группа которых изоморфна 1-мерному тору. В ней он фиксирует на базе расслоения келерову почти эрмитову структуру, получая сасакиеву почти контактную метрическую структуру на тотальном пространстве. Л. А. Игнаточкина в своей работе [13] также рассматривает главные Т^расслоения над почти эрмитовыми многообразиями, а затем изучает преобразования почти контактных метрических структур, получающихся на тотальном пространстве.
А. В. Савинову, рассматривающему главные Т^расслоения над почти контактными метрическими многообразиями, в работе [6] удалось получить формулы связи компонент виртуального и структурного тензоров почти эрмитовой структуры тотального пространства и компонент структурных тензоров почти контактной метрической структуры базы расслоения.
В данной работе рассматриваются главные Т^расслоения над некоторыми классами почти контактных метрических многообразий. Фиксируя плоскую связность в главном расслоении, также можно индуцировать почти эрмитову структуру на тотальном пространстве, формулы связи при этом получаются из формул, полученных в [6]. Рассматриваются форма и векторное поле Ли почти эрмитовой структуры, а также доказываются некоторые теоремы о локальной конформности.
2. Предварительные сведения
Пусть многообразие M имеет размеры ость 2 п + 1 X(M ) — его модуль гладких векторных полей. Также, пусть на нем фиксированы четыре тензорных поля: дифференциальная 1-форма называемая контакт,ной формой, векторное поле называемое векторным полем Риба,
эндоморфизм Ф, называемый структурным эндоморфизмом и риманова метрика д. При этом должны выполняться условия:
1) ^(0 = 1; 2) V о Ф = 0; 3) Ф(£) = 0; 4) Ф2 = + ц ® £;
5) д(ФХ, ФУ) = д(Х, У) - щ(Х )ц(у); Х,У е Х(М).
Тогда четверку (г),£, Ф,д) называют почти контакт,ной метрической структурой [14].
С помощью структурного эндоморфизма можно определить тензорное поле Жф тип а (2,1) (называемое тензорным полем Нейенхейса) по формуле:
4ЖФ(X, V) = Ф2[X, V] + [ФХ, ФУ] - Ф[ФX, V] - Ф[Х, ФУ]; Х,У е Х(М).
Ковариантный дифференциал УФ в римановой связности метрики д оиределяет 6 тензорных полей В,С,В,Е,Р,С, которые называются структурным,и тензорам,и почти контактной метрической структуры. На пространстве расслоения А-реперов над многообразием М со
<-
уаЪ
уаЬ} & = } Г = \иаЪ,и~"} и = \и~,иа] —
структурной группой {е} х U(п) их ненулевые компоненты В = {СаЬс, СаЬс}, С = [СаЬс, Саъс}, D = {Cab, Cob} Е = {С\, Cab}, F = {Dab, Dab}, G = {Da, выражаются через УФ:
ab _ _фй çjabc _ фй
c 2 2
cab = -фa0b + 2Ф?0, c\ = -ф^, cabc = 2Ф«г,
Cabc = -2Ф1,с, Cab = ¿Ф^ - 2Ф^,
^ = <%,ù<* = -, Dab = i<s>0à;bV
Db = -iф0,0, Db = iФ0Ь0.
Пусть многообразие P имеет размерность 2п + 2, X(P) — его модуль гладких векторных полей. Пусть также на нем фиксированы два тензорных поля: эндоморфизм J, называемый почти комплексной структурой, и риманова метрика д. При этом должны выполняться условия:
1) J о J = -i d; 2) j(JX, JY ) = g(X, Y ); X,Y G X(P).
Тогда пару ( J, g) называют почти эрмитовой структурой. С помощью почти эрмитовой структуры определяется келерова форма F и форм а Ли а по формулам:
F(X, Y) = j(JX, Y); a(X) = -^F о J(X); X,Y G X(P).
n
Для формы Ли существует двойственное ей векторное поле а#, называемое векторным полем, Ли, для которого выполняется [5]:
a(X) = g(X, а#); X G X(P).
Ковариантный дифференциал У J в римановой связности метрики g определяет 2 тензорных поля В и С, одно из которых называется виртуальным,, а другое структурным, тензором почти эрмитовой структуры. На пространстве расслоения А-реиеров над многообразием P со структурной группой U(п) их ненулевые компоненты В = {ВаЪс,ВаЪс}, С = {Babc, ВаЬс} выражаются через УJ:
d с __Tjob _ ^ та d _ ^ jâ Tjabc _ ^ та
&ab = 2Jb,â, a с = - 2Jb,c, °abc = - 2Jlb 'c], ° = 2JlââV
Ковариантный дифференциал V ■ выражается через виртуальный и структурный тензор, виртуальный зависит от примитивного и бесследного тензоров, а структурный от кососим-метричного и квазисимметричного. Обнуляя тот или иной тензор, получается 16 классов почти эрмитовых структур [5], которые совпадают с классификацией [7].
Рассмотрим главное расслоение (Р, М, ж, Т1), у которого базой расслоения является нечет-
номерное многообразие М с почти контактной метрической структурой (г], Ф, д), а структур-
Т1
Р
ности через ш, задается почти эрмитова структура (■, д) по формулам:
■ = гн о Ф о ж* -ш ® { + ж*г] ® V; д(Х, У) = д(ж*Х, ж*У) о ж + ш(Х)ш(У),
где Х,У е Х(Р), гн — горизонтальный лифт, £ = 1н£, V = А(1), А : д = М ^ /, а д ^
Т1
В работе [6] получены формулы связи структурных тензоров почти контактной метрической структурой и виртуального и структурного тензоров почти эрмитовой. Зафиксируем плоскую связность, тогда эти формулы примут вид:
В^с = СаЬс, ВаЬ0 = ~^(ВаЬ - Са]), ва0ь = ~^тсаь, Ва00 = -Оа,
V 2 у 2 2
0 а 1 а 0 1
в Ь = ТкС b, ВаЬ = СаЬ , ва0 = o^а,
ab ab > ^аи 2J
- ^[ab]), Ва0Ь _ , B0a& =
Babc _ сabc bab0 _ 1 çab ^0ab _ 1 dab
_ , _ 2V2 , _ V2 ,
B0a° _ /Da, Babe _ Cabe, (2)
Ba0b _ — ~2>~^2Cab, B0ab _ ~/jDab, B00a _ — /Da.
3. Нормальная структура
Рассмотрим почти контактную метрическую структуру, которая является нормальной, т. е. тензор Нейенхейса ее структурного эндоморфизма представим в виде [1]:
Ыф _ -2drj ®
Рассмотрим критерий нормальной структуры, записанный в компонентах ковариантного дифференциала УФ на пространстве расслоения А-реперов [5]:
Cabc _ Cab _ Dab _ Da _ 0.
Используя формулы (2), получим, что компоненты структурного тензора почти эрмитовой структуры на тотальном пространстве главного Т^расслоения имеют вид:
Babc _ B0ab _ B00a _ Ba0b _
(3)
Теорема 1. Структурный тензор почти эрмитовой структуры тотального пространства главного Т1 -расслоения с фиксированной плоской связностью с нормальной структурой на базе расслоения является тождественно нулевым.
Доказательство. Формулы (3) можно переписать в виде:
Ba¡3j = 0,
где а, = 0 ... п, что означает тождественное равенство нулю структурного тензора. □
Следовательно, на тотальном пространстве получается эрмитово многообразие, согласно классификации [5].
4. Косимплектическая структура
Рассмотрим почти контактную метрическую структуру, которая является косимплекти-ческой [2], т.е.:
УФ = 0.
Рассмотрим критерий косимплектичекой структуры, записанный в компонентах ковари-антного дифференциала УФ на пространстве расслоения А-реперов [5]:
Cabc = C'ob с = Саь = Са = Da = Dab = Da =
Используя формулы (1), получим, что компоненты виртуального тензора почти эрмитовой
Т1
Bab С = Ва0Ь = Ba0° = Bab ° = В0аЬ = ° (4)
Используя формулы (2), получим, что компоненты структурного тензора почти эрмитовой
Т1
Babc = B°ab = B°°a = Ba°b = °. (5)
Теорема 2. Виртуальный и структурный тензоры почти эрмитовой структуры то-
Т1
симплектической структурой на базе расслоения являются тождественно нулевым,и. Доказательство. Формулы (4) можно представить в виде:
Ва,s1 = 0,
а формулы (5) в виде:
BaSl = ^
где = 0.. .п, т.е. виртуальный и структурный тензоры являются тождественно нулевы-
□
Следовательно, на тотальном пространстве получается келерово многообразие, согласно классификации [5].
Теорема 3. Форм,а, Ли а почти эрмитовой структуры тотального пространства глав-Т1
на базе расслоения является тождественно нулевой. При этом двойственное векторное поле Ли а# также является тождественно нулевым.
Доказательство. Компоненты формы Ли выражаются через компоненты виртуального тензора следующим образом:
as = - ,
где = 0 ...п [15]. Виртуальный тензор является тождественно нулевым, следовательно
□
5. Контактная метрическая и ^-контактная структура
В 1953 году китайский математик Чжень Шэныпэнь впервые построил расслоение реперов над нечетномерным многообразием, являющимся дифференцируемым и обладающего контактной формой. Позднее, американский математик Альфред Грей назвал такие многообразия контактными. В 1960 году Сасаки доказал, что на таком многообразии внутренним образом порождается структурный эндоморфизм и векторное поле Риба, а также можно определить риманову метрику, т.е. построил почти контактную метрическую структуру, которая являлась бы контактной.
Почти контактная метрическая структура будет являться контактной тогда и только тогда:
dr](X, У) = д(Х, ФУ), Х,У е X(M).
Рассмотрим критерий контактной метрической структуры, записанный в компонентах ко-вариантного дифференциала УФ на пространстве расслоения А-реперов [5]:
C[abc] = C[ab] =Cab с = Dab = Da = 0, 2Cab = Dba = -2i5ъа.
Используя формулы (1), получим, что компоненты виртуального тензора почти эрмитовой структуры на тотальном пространстве главного Т^расслоения имеют вид:
ja0 D 0 D 0 г,
> 0 = Ba0 = Bab = 0
" (6)
Bab C _ a B 0 _ B a
a V26 a 0 a B0 a _
ja0 _ 1 xa o0a _ 1 xa о Ь _ 1 ^b g b _
'V2 a' 0a _ V2
b ub , B b ub , Ba0 ua, B0a гт:°a'
Используя формулы (2), получим, что компоненты структурного тензора почти эрмитовой структуры на тотальном пространстве главного Т^расслоения имеют вид:
d u[abc] d TjOab d n00a d n[a|0| b] п /г,\
B[abc] = B = B0ab = B = B00a = B = B[a|0| b] = B 1 = 0 (О
Теорема 4. Виртуальный тензор почти эрмитовой структуры тотального пространства главного Т1-расслоения с фиксированной плоской связностью с контактной метрической структурой на базе расслоения примитивен, а структурный тензор квазисимметри-чен.
Доказательство. В самом деле, положив а0 = —V2i, aa = 0, непосредственная проверка с использованием формул (6) показывает, что:
В\ = а[х5£],
где = 0.. .п, т.е. виртуальный тензор является примитивным. Например, покажем, что
Вa0b = a[a¿0] :
Вa0b = ^¿a = 1(0 ■ ¿0 — (—^2г) ■ 51) = 1(aa ■ S° — а0 ■ ó%) = а^^. Используя формулы (7), можно показать, что:
В[Х^и] = °
где = 0.. .п, т.е. структурный тензор является квазисимметричным. Покажем, напри-
мер, что B[a0b] = 0 :
B[a06] = 6 (Ba0b + B0ba + Bba0 — B0ab — Bab0 — Bb0a).
Из (7) следует, что B°ab = 0. Используя это, получаем:
B[a°b] = 66 (Ba°b + Bba° — Bab° — Bb°a).
Структурный тензор кососпмметрпчен по последним двум индексам, т.е.:
Bba° = Bbúa, Bab° = —Ba°b.
Получаем:
B[a°b] = 6(2Ba°b — 2Bb°a) = 3 (Ba°b — Bb°a).
Из (7) следует, что B[[ai°iц = 0, т.е. Ba°b — Bb°a = 0. Получаем, что B[a°b] = 0. Следовательно, на тотальном пространстве получается почти эрмитово многообразие класса W2 ® W4, согласно класспфпкации [5]. □
а
Т1
турой на базе расслоения отличается от, формы связности ш на, постоянный множитель, равный —2. При этом двойственное векторное поле Ли а# отличается от векторного поля
Доказательство. Рассмотрим локальное сечение главного расслоения А-реперов над многообразием М и получим базис (£, £i,..., еп, £i,..., £п) комплексификации локального модуля векторных полей. Подействовав горизонтальным лифтом гн на этот базис, можно получить векторные поля (£, £i,..., ёп, e-v ..., ёп) на тотальном пространстве Р. С помощью £ и
V построим еще два векторных поля: ё° = и ё° = . Тогда, набор векторных полей (ё°, £i,..., ёп, ё°, ё-i,..., ёп) будет являться базисом комплексификации локального модуля векторных полей на Р [6] .
Т.к. компоненты формы Ли равны: а° = —л/2г, aa = 0, то компоненты двойственного вектора Ли будут равны: (а#)° = —V2i, (a#)a = 0 и формулы комплексно сопряженные. Векторное поле Ли можно разложить по базису:
а# = (а# )дё° + (а#)°ё°.
Подставляя обозначения ё° и ё° и компонент векторного поля а# получим, что а# = — 2и, а из этого получаем, что а = — 2ш. □
Теорема 6. Почти эрмитова структура W2®W4 на, тотальном пространстве главного
Т1
являться локально конформно почти келеровой, т.е. для каждой, точки такого многообразия с такой структурой существует окрестность и функция, f, такие, что структура ( J, е2?д) будет почти келеровой.
Доказательство. Т.к. форма Ли а отличается от формы связности ш на постоянный множитель, а связность является плоской, т.е. форма этой связности является замкнутой, следовательно, и форма Ли является замкнутой. Используя [7], получаем, что данная почти эрмитова
□
Можно рассмотреть подкласс контактных метрических структур на базе расслоения, таких что:
Ух( r¡)Y = g(X, ФУ), X,Y е Х(М).
Они называются К-контактными структурам,и. Критерий, записанный в компонентах УФ на пространстве расслоения А-реиеров отличается от критерия контактных метрических структур, только тем, что добавляется условие:
Ca = C a = 0.
В этом случае виртуальный тензор почти эрмитовой структуры главного Т^расслоения будет также являться примитивным, а структурный также квазисимметричным, что говорит о принадлежности почти эрмитовой структуры к классу W2 ® W4. Такая структура также является локально конформно почти келеровой. Форма Ли а и векторное поле Ли а#, по аналогии с контактными метрическими структурами, также отличаются от формы связности ш и векторного поля v из вертикального распределения на постоянный множитель, равный —2.
6. Сасакиева структура
Многообразие называется многообразием Сасаки, если:
Ух(Ф)^ = 9(Х, - <п(у)Х, Х,¥ е Х(М).
Примером многообразия Сасаки может являться нечетномерная сфера, снабженная канонической сасакиевой структурой.
Критерий сасакиевой структуры в компонентах УФ на пространстве расслоения А-реперов выглядит следующим образом [5]:
СаЪс = СаЬ с = Саъ = ОаЬ = Иа = 0, Саь = г5ъа.
Используя формулы (1), получим, что компоненты виртуального тензора почти эрмитовой структуры на тотальном пространстве главного Т^расслоения имеют вид:
Б с туаЬ туаЬ туа 0 д 0 д 0 о
аЬ = В 0 = & с = & 0 = Ва0 = ВаЬ = 0
а0 а 0 а а
& Ь = °Ь ,а ь = /2°Ъ , &а0 = °а, &0а = °а.
Используя формулы (2), получим, что компоненты структурного тензора почти эрмитовой структуры на тотальном пространстве главного Т^расслоения имеют вид:
а 0 а 00 а а0
&аЬс = & = &0аЬ = & = &00а = & = ва0Ь = & = 0 (о]
Теорема 7. Виртуальный тензор почти эрмитовой структуры тотального пространства главного Т1 -расслоения с фиксированной плоской связностью с сасакиевой структурой на базе расслоения примитивен, а структурный тензор является тождественно нулевым.
Доказательство. Доказательство примитивности виртуального тензора аналогично доказательству в контактных метрических структурах, однако в сасакиевых компоненты формы Ли следует положить равными:
а0 = /2%, аа = 0.
Используя (8), непосредственная проверка показывает, что:
= °
где Х,^,^ = 0 .. .п. □
Следовательно, на тотальном пространстве получается почти эрмитово многообразие класса согласно классификации [5].
Теорема 8. Форма Ли а почти эрмитовой структуры тотального пространства главного Т1 -расслоения с фиксированной плоской связностью с сасакиевой структурой на базе расслоения отличается от, формы связности ш на постоянный множитель, равный 2. При этом двойственное векторное поле Ли а# отличается от векторного поля V из вертикального распределения на, этот же постоянный множитель.
Доказательство. Т.к. компоненты формы Ли равны: а0 = л/2г, аа = 0, то компоненты двойственного вектора Ли будут равны: (а#)0 = \[2%, (а#)а = 0 и формулы комплексно сопряженные. По аналогии с доказательством в контактных метрических структурах, можно разложить векторное поле Ли а# по базису:
а# = (а#)% + (а#)0ёо,
а затем подставить обозначения ёо и ёо и компонент а#, и получить, что а# = 2и, а из этого получить, что а = 2ш. □
Теорема 9. Почти эрмитова структура класса, на, тотальном пространстве глав-Т1
дет являться локально конформно келеровой.
Доказательство. Доказательство аналогично доказательству в контактных метрических □
7. Слабо косимплектическая структура
Рассмотрим почти контактную метрическую структуру, которая является слабо косим-плектической [3], т.е.:
Vx (Ф)Х = 0,
где X е X(M).
Рассмотрим критерий контактной метрической структуры, записанный в компонентах ко-вариантного дифференциала V$ на пространстве расслоения А-реиеров [5]:
СаЬ с = Da = Cab = Dba = 0 2Саь = 3Dab, С\аЬс] = Cabc.
Используя формулы (1), получим, что компоненты виртуального тензора почти эрмитовой структуры на тотальном пространстве главного Т^расслоения имеют вид:
d с туаЬ па0 d 0 туаО ту0а d b и b п ВаЬ = В с = В 0 = Ва0 = В b = В Ь = Ва0 = В0а = 0
ваЪ0 = ~СаЬ, ВаЬ0 = -^СаЬ. (9)
Теорема 10. Виртуальный, тензор почти эрмитовой структуры тотального пространства главного Т1 -расслоения с фиксированной плоской, связностью со слабо косимплектиче-ской структурой на базе расслоения бесследен.
Доказательство. Используя (9), можно показать, что:
ВХ^и = 0,
где = 0 .. .п. □
Следовательно, на тотальном пространстве получается семикелерова почти эрмитова структура, согласно классификации [5].
а
главного Т1-расслоения с фиксированной плоской связностью со слабо косимплектической структурой на базе расслоения является тождественно нулевой. При этом двойственное векторное поле Ли а# также является тождественно нулевым.
Доказательство. Т.к. компоненты формы Ли выражаются через компоненты виртуального тензора следующим образом:
^ = — ^^,
где = 0... и, то с помощью (9) можно показать, что они являются нулевыми, следовательно форма Ли является нулевой, а следовательно и векторное поле Ли является нулевым. □
Если рассмотреть подкласс слабо косимплектических структур на базе расслоения, таких Ca = C a = 0 Т1
расслоения будет являться приближенно келеровой.
8. Точнейше косимплектическая структура
Рассмотрим почти контактную метрическую структуру, которая является точнейше ко-
d = 0
Рассмотрим критерий контактной метрической структуры, записанный в компонентах ко-вариантного дифференциала УФ на пространстве расслоения А-реперов [5]:
Cab = Ca = Dab = D = Da = 0; Cabc = C[abc]. (2)
Т1
Ba0b = B0ab = B00a = 0; B[abc] = BabC. (10)
Теорема 12. Структурный тензор почти эрмитовой структуры тотального про-Т1
плектической структурой на базе расслоения кососимметричен.
(10)
= B[X^u],
где = 0 ... и, т.е. структурный тензор является кососимметричным. □
Следовательно, на тотальном пространстве получается Gi почти эрмитова структура, согласно классификации [5].
9. Почти косимплектическая структура
Рассмотрим почти контактную метрическую структуру, которая является почти косимплектической, т.е. d] = 0 и dQ = 0, где Q(X, У) = д(Х, ФУ), Х,У е X(M).
Рассмотрим критерий контактной метрической структуры, записанный в компонентах ко-вариантного дифференциала УФ на пространстве расслоения А-реперов [5]:
C[ab с] = C[ab ] =Ca = Dab = Da = Da = 0 (2)
Т1
B[al0l b] = B0ab = B00a = B[abc] = (H)
Теорема 13. Структурный тензор почти эрмитовой структуры тотального пространства главного Т1 -расслоения с фиксированной плоской связностью с почти косим,плек-
тической структурой на базе расслоения квазисим,м,ет,ричен.
Доказательство. Используя (11), можно показать, что:
= 0
где \,ß,v = 0 ... п, т.е. структурный тензор является квазисимметричным. □
Следовательно, на тотальном пространстве получается G2 почти эрмитова структура, согласно классификации [5].
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Галаев С. В., Шевцова Ю. В. Почти контактные метрические структуры // Изв. Сарат. ун-та. Математика. Механика. Информатика. 2015. Том 15, №2. С. 136-141.
2. Дондукова H.H. Проективный инвариант косимплектических многообразий / / Вест. Бур. гос. ун-та. 2011. №9. С. 171-175.
3. Банару М. Б. О типовом числе слабо косимплектических гиперповерхностей приближённо келеровых многообразий // Фундамент, и прикл. матем. 2002. Том 8, №2. С. 357-364.
4. Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М.: Наука, 1988.
5. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях, Одесса, 2013.
6. Савинов А. В. Каноническое тороидальное расслоение над нечетномерной базой // Вестник СамГУ. 2003. Том 2, №28. С. 57-79.
7. Gray A., Hervella L. М. The Sixteen Classes of Almost Hermitian Manifolds and Their Linear Invariants // Annali di Matematica pura ed applicata. 1980. Vol. CXXIII, ,Y"I Y. C. 35-38.
8. Кириченко В. Ф. Дифференциальная геометрия главных тороидальных расслоений // Фундамент, и прикл. матем. 2000. Том 6, №4. С. 1095-1120
9. Blair D. Contact manifolds in geometry // Lecture Notes in Math. 1976. Vol. 509. P. 1-145.
10. Kobavashi S. Principal fibre bundle with the 1-dimensional toroidal group // Tohoku Math. J. 1956.*Vol.8. P. 29-45.
11. Watanabe Y. Riemannian metrics on principal circle bundles over lokallv symmetric Kahlerian manifolds // Kodai Math. J. 1982. Vol. 5. P. 111-121.
12. Борисовский П. П. О геометрии главных Т1-расслоений над многообразием Ходжа // Матем. заметки. 1998. Том 64, №6. С. 824-829.
13. Пгнаточкина Л. А. Обобщение преобразований, индуцированных на Т1-расслоениях конформными преобразованиями их базы // Матем. сб. 2011. Том 202, №5. С. 45-62.
14. Пгнаточкина Л. А. Анализ на многообразиях. Москва, 2016, МПГУ.
15. Пгнаточкина Л. А. Краткое руководство к действию по главным расслоениям и методу присоединенной G-структуры. 2014. liaign.ucoz.ru/Glavn_rassl_Gstr.pdf.
REFERENCES
1. Galaev, S.V. к, Shevchova, Y. V. 2015, "Almost contact metric structures Izv. Sarat. un-ta, vol. 15, no. 2, pp. 136-141.
2. Dondukova, N.N. 2011, "Projective invariant of cosvmplectic manifolds Vest. Bur. gos. un-ta, no. 9, pp. 171-175.
3. Banaru, M.B. 2002, "On the typical number of weakly cosvmplectic hvpersurfaces of approximately Kahler manifolds Fundament, i prikl. matem., vol. 8, no. 2, pp. 357-364.
4. Vinberg, E. В. k, Onishchik, A. L. 1988, "Seminar on Lee's groups and algebraic groups Moscow. Nauka.
5. Kirichenko, V. F. 2013, "Differential geometric structure on manifolds Odessa.
6. Savinov, A.V. 2003, "Canonical toroidal fibre bundle under an odd-dimensional base Vestnik SamGU, vol. 2, no. 28, pp. 57-79.
7. Gray, A. k, Hervella, L.M. 1980, "The Sixteen Classes of Almost Hermitian Manifolds and Their Linear Invariants Annali di Matematica pura ed applicata, vol. CXXIII, no. IV, pp. 35-58.
8. Kirichenko, V. F. 2000, "Differential geometry of principal toroidal fiber bundles, Fundamen-talnava i prikladnava matematika vol. 6, no. 4, pp. 1095^1120.
9. Blair, D. 1976, "Contact manifolds in geometry Lecture Notes in Math., vol. 509, pp. 1-145.
10. Kobavashi, S. 1956, "Principal fibre bundle with the 1-dimensional toroidal group Tohoku Math. J., vol. 8, pp. 29-45.
11. Watanabe, Y. 1982, "Riemannian metrics on principal circle bundles over lokallv symmetric Kahlerian manifolds Kodai Math. J., vol. 5, pp. 111-121.
12. Borisovskii, LP. 1998, "On the geometry of principal Tl-bundles over Hodge manifolds Math. Notes, vol. 64, no. 6, pp. 714-718.
13. Ignatochkina, L. A. 2011, "Generalization for transformations of Tl-bundle which induced by conformal transformations of their base Sb. Math., vol. 202, no. 5, pp. 665-682.
14. Ignatochkina, L. A. 2016, "Analysis on the manifolds Moscow, MPSU.
15. Ignatochkina, L A. 2014, "A short guide to the action on principal fiber bundles and the method of the associated G-structure Moscow, liaign.ucoz.ru/Glavn_rassl _Gstr.pdf.
Получено 04.02.2017 г.
Принято в печать 14.06.2017 г.
