CC BY
12Краткие сообщения
УДК 513.82
^-МНОГООБРАЗИЯ И АКСИОМА КОСИМПЛЕКТИЧЕСКИХ
ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
М.Б. Банару1
Если через всякую точку почти эрмитова многообразия проходит косимплектическая гиперповерхность с типовым числом t, то говорят, что данное многообразие удовлетворяет аксиоме косимплектических t-гиперповерхностей. Доказано, что если произвольное И^-мпогообразие удовлетворяет аксиоме косимплектических t-гиперповерхностей, причем t ^ 1, то такое многообразие является келеровым.
Ключевые слова: почти контактная метрическая структура, косимплектическая структура, типовое число, гиперповерхность, И^-многообразие.
An almost Hermitian manifold satisfies the cosymplectic t-hypersurfaces axiom, if a cosym-plectic hypersurface with type number t passes through every its point. It is proved that if an arbitrary W4-manifold satisfies the cosymplectic t-hypersurfaces axiom with t < 1, then this manifold is Kâhlerian.
Key words: almost contact metric structure, cosymplectic structure, type number, hypersurface, W4-manifold.
1. Класс И^-многообразий — один из самых важных классов Грея-Хервеллы [1] почти эрмитовых многообразий, что обусловлено прежде всего тем, что он содержит так называемые локально конформные келеровы многообразия [1]. Такие многообразия глубоко изучались с разных точек зрения многими известными математиками, среди которых выделим А. Грея, И. Вайсмана и В.Ф. Кириченко.
В работе автора [2] доказано, что если произвольное И^-многообразие удовлетворяет аксиоме G-косимплектических гиперповерхностей (т.е. через всякую точку многообразия проходит вполне геодезическая косимплектическая гиперповерхность), то оно является келеровым. В настоящей заметке показывается, что условие быть вполне геодезической для гиперповерхности можно ослабить. Именно доказано, что если произвольное И^-многообразие удовлетворяет аксиоме косимплектических ¿-гиперповерхностей (т.е. через всякую точку многообразия проходит косимплектическая гиперповерхность с типовым числом t), причем t ^ 1, то такое многообразие является келеровым.
2. Как известно [1, 3], почти эрмитовой структурой на четномерном многообразии
М2 п
называется пара {J, g = (■, •)}, где J — почти комплексная структура, g = (■, •) — риманова метрика на этом многообразии. При этом J и g = (■, •) должны быть согласованы условием
(JX, JY) = (X, Y), X, Y € ЩМ2п).
Здесь ^(М2га) — модуль гладких (класса С°° ) векторных полей на многообразии М2п. Многообразие с фиксированной на нем почти эрмитовой структурой называется почти эрмитовым (АН-) многообразием. С каждой АН-структурой {J, g = (•,•)} на многообразии связано поле дважды ко-вариантного кососимметрического тензора (2-формы), определяемого равенством
F(X, Y) = (X, JY) , X,Y G ЦМ2п),
и называемого фундаментальной (или келеровой) формой структуры.
Пусть (М2га, {J, g = (•, •)}) — почти эрмитово многообразие. Зафиксируем точку р € М2п. Пусть Тр(М2п) — пространство, касательное к многообразию М2п в точке р; {Jp, др = {■, •)} — почти эрмитова структура, порожденная парой {J, g = (■, •)}. Реперы, адаптированные к АН-структуре (или А-реперы), устроены следующим образом:
(р, £\, . . . ,£п,
где £а — собственные векторы оператора почти комплексной структуры в комплексификации касательного пространства, отвечающие собственному значению оператора i = а е« — собственные
1 Банару Михаил Борисович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математики и информатики Смолен, гос. ун-та, e-mail: mihaïl.banaru®yahoo.com.
векторы, отвечающие собственному значению —г . Здесь индекс а принимает значения от 1 до п; а = а + п. Конструкция А-репера и его применение для исследования почти эрмитовых структур разработаны В.Ф. Кириченко в [4].
Почти эрмитова структура принадлежит классу И/4, если
у^т (У, г) = - 2 {(х, г) 6 ^ (г) - (х, г) 5 ^ (г) -~{х,т) бгуг) + (х^г) 5р (л^)}, х,у,г е цм2п),
где 5 — оператор кодифференцирования, а V — риманова связность метрики д = (•, •) [1]. Почти эрмитово многообразие называется эрмитовым, если индуцируемая на нем почти комплексная структура интегрируема, и келеровым, если к тому же V/-' = 0 .
Напомним, что почти контактной метрической структурой на многообразии N называется система тензорных полей {Ф, г], д} на этом многообразии, для которой выполняются следующие условия [3, 5]:
г](0 = 1, Ф(0 = 0, г] о Ф = 0, Ф2 = -гй + £ сх) г?, (ФХ, ФУ) = (X, У) - г](Х)г](У), X, V € «(X).
Здесь Ф — поле тензора типа (1, 1), £ — векторное поле, г? — ковекторное поле, д = (■, •) — риманова метрика, ^(Х) — модуль гладких векторных полей на многообразии N.
Хорошо известно, что многообразие, допускающее почти контактную метрическую структуру, нечетномерно и ориентируемо. Примером почти контактной метрической структуры является косимплектическая структура, которую вместе со сформулированными выше условиями характеризует тождество [3]
Уг? = V Ф = 0.
Многообразия, наделенные такой структурой, локально эквивалентны произведению келерова многообразия на вещественную прямую [3].
Почти контактная метрическая структура индуцируется на всякой ориентируемой гиперповерхности почти эрмитова многообразия. Многие специалисты отмечают, что именно этот факт определяет глубокую связь между контактной и эрмитовой геометриями. Почти контактные метрические структуры на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий исследовались и исследуются многими геометрами. Классическими считаются работы С. Сасаки, С. Голдберга, Д. Блэра, И. Ишиха-ры, X. Янамото и К. Яно.
3. Прежде чем привести основные результаты настоящей заметки, напомним, что типовым числом гиперповерхности риманова многообразия называют ранг ее второй квадратичной формы [6].
Теорема. Всякое ЦГ^-многообразие, удовлетворяющее аксиоме косимплектических 1 -гиперповерхностей, является келеровым.
Доказательство. Воспользуемся записанными в А-репере структурными уравнениями Карта-на почти контактной метрической структуры на ориентируемой гиперповерхности Х2га_1 эрмитова многообразия М2п [7, 8]:
(1ша = А с/ + ВаРтьЛ + (у/2 Вапр + г<7|) =Ва?п + и? А и,
<1ша = А шр + Вар1и)1 (' у/2Вап13 - га^ ы^Аы+ - гаа^ ш13 А ш,
йш = (у/2Впаа - у/2Вп13а - 2га^ А ша + {Вп[,п + г<7га/3) и А с/ + (впГ3п - га^ и Аир,
где ВаЬс = — ; Ваьс = §{ша}, {ша} — компоненты форм смещения (шп = ш)\ — компоненты форм римановой связности; через обозначены компоненты V-/. Отметим, что системы функций {ВаЬс}, {Ваьс} служат компонентами виртуальных тензоров Кириченко [9] почти эрмитовой структуры на многообразии М2п. Здесь а, /3,7 = 1,..., п — 1; а,Ь,с = 1,..., п; а = а + п; а — вторая квадратичная форма погружения гиперповерхности Х2п~1 в эрмитово многообразие М2п.
18 ВМУ, математика, механика, № 5
Равенство нулю или единице типового числа гиперповерхности приводит к тому что матрица ее второй квадратичной формы принимает следующий вид [10, 11]:
(
(aps) =
V
0 0 о
V/ 0 V/
0...0 0...0
0 0 о
V/ 0 V/
\
р, s = 1,..., 2п — 1,
/
причем если типовое число равно нулю, то матрица, очевидно, будет нулевой. Поэтому мы можем переписать структурные уравнения Картана следующим образом:
<1иа + В^^и1 Аир + у/2 Вапр и[3 Аи + ир А и,
duja = A Up + Bap1U1 A^i
up А и + ( —\=Варп )ир А и,
du =
Зпра^ и13 А иа + Впрпи А и13 + Bnf3n и A up.
Принимая во внимание, что структурные уравнения косимплектической структуры имеют вид [3, 12]
йиа = ир А и13, йиа = —и^ А ир, йи = 0,
мы получаем следующие требования, совместное выполнение которых является условием, необходимым и достаточным для того, чтобы структура на гиперповерхности была косимплектической:
1) = 0, 2)
1
/з
= 0, 3) --=Ба/3га = 0, 4)
/з
Эга/З
= 0, 5) Вп^п = 0,
и формулы комплексного сопряжения, которые мы не приводим.
Как видно, все компоненты виртуальных тензоров Кириченко в данном случае равны нулю:
Итак,
1) Ва131 = 0, 2) Baf3n = 0, 3) Bnf3n = 0, 4) Вапр = 0. ВаЬс = 0, ВаЬс = 0.
(1)
Получается, что виртуальные тензоры Кириченко удовлетворяют условию (1) в каждой точке косимплектической 1-гиперповерхности И^-многообразия М2п. Вот почему если
М2 п
удовлетворяет аксиоме косимплектических 1-гиперповерхностей, то условие (1) выполняется в каждой его точке. Но выполнение (1) является критерием принадлежности эрмитова (и, следовательно, W4-) многообразия классу келеровых многообразий [13]. Значит, если произвольное VF4-многообразие удовлетворяет аксиоме косимплектических 1-гиперповерхностей, то такое многообразие является ке-леровым, что и требовалось доказать.
Как упоминалось выше, в [2] было доказано, что если произвольное И^-многообразие удовлетворяет аксиоме G-косимплектических гиперповерхностей, то оно также является келеровым. Поскольку вполне геодезическая гиперповерхность есть гиперповерхность с нулевым типовым числом (или 0-гиперповерхность, если пользоваться терминологией работы [14]), мы можем объединить эти два результата следующим образом.
Основная теорема. Если произвольное W^-многообразие удовлетворяет аксиоме косимплектических t-гиперповерхностей, где t ^ 1 ; то такое многообразие является келеровым.
Автор приносит благодарность Ахмаду Абу-Салиму (Иордания) за содержательные дискуссии, которые послужили отправной точкой в подготовке этой работы. Автор признателен рецензенту за детальный и доброжелательный отзыв.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Gray A., Hervella L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants // Ann. mat. pura ed appl. 1980. 123, N 4. 35-58.
2. Банару М.Б. О И^-многообразиях, удовлетворяющих аксиоме G-косимплектических гиперповерхностей // Новейшие проблемы теории поля. Казань: КГУ-КЦ РАН, 2003. 51-55.
3. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Одесса: Печатный дом, 2013.
4. Кириченко В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. Т. 18. М.: ВИНИТИ. 1986. 25-71.
5. Blair D.E. Riemannian geometry of contact and symplectic manifolds // Progress in mathematics. Boston; Basel; Berlin: Birkhauser, 2002.
6. Kurihara H. The type number on real hypersurfaces in a quaternionic space form // Tsukuba J. Math. 2000. 24.127-132.
7. Степанова Л.В. Квазисасакиева структура на гиперповерхностях эрмитовых многообразий // Научные труды МПГУ им. В.II. Ленина. 1995. 187-191.
8. Ванару М.В. О сасакиевых гиперповерхностях 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Матем. сб. 2003. 194, № 8. 13-24.
9. Banaru М. On Kirichenko tensors of nearly-Kahlerian manifolds //J. Sichuan Univ. Sci. Eng. 2012. 25, N 4. 1-5.
10. Banaru M. On minimality of a Sasakian hypersurface in a W3-manifold // Saitama Math. J. 2002. 20. 1-7.
11. Ванару М.В. О гиперповерхностях Кенмоцу специальных эрмитовых многообразий // Сиб. матем. журн. 2004. 45. № 1. 11-15.
12. Ванару М.В. О типовом числе косимплектических гиперповерхностей 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Сиб. матем. журн. 2003. 44, № 5. 981-991.
13. Banaru М. On the Gray-Hervella classes of AH-structures on six-dimensional submanifolds of Cayley algebra // Annu. univ. de Sofia "St. Kl. Ohridski". Math. 2004. 95. 125-131.
14. Wu Bing-Ye. 1-type minimal surfaces in complex Grassmann manifolds and its Gauss map // Tsukuba J. Math. 2002. 26. 49-60.
Поступила в редакцию 24.03.2014
УДК 519.234.2
РАВНОМЕРНАЯ СОСТОЯТЕЛЬНОСТЬ ЗНАКОВОЙ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРА A R (1) - М ОДЕЛ И ДЛЯ НАБЛЮДЕНИЙ С ВЫБРОСАМИ
Г. Н. Чмутин1
Рассматривается АТ1(1)-модель в схеме засорения независимыми аддитивными выбросами. Доказывается равномерная по распределению выбросов состоятельность знаковой оценки параметра модели.
Ключевые слова: авторегрессия, знаковая оценка, равномерная состоятельность.
An AR(1) model is considered in the scheme of data contamination by independent additive outliers. It is proved that the sign estimation of the parameter of the model is uniformly-consistent with respect to the distribution of outliers.
Key words: autoregression, sign estimation, uniform consistency.
1. Введение и постановка задачи. В работе исследуется АЫ(1)-модель (1) и знаковая оценка параметра /3, которая находится как решение уравнения (2). Подобные оценки были построены на основании локально наиболее мощных знаковых тестов для проверки простой гипотезы относительно параметра модели. В [1] такие тесты были предложены для АЫ(1)-модели. В [2] они были распространены на АЫ(р)-модель (определение см. в [3, с. 320]) и в [4] — на Л1!М.\(//. ^-модель (определение см. в [3, с. 331]). В [5] установлена локальная качественная робастность знаковых тестов в АЫ(1)-модели, содержащей выбросы, в случае, когда интенсивность засорения (Э(п-1/2). Знаковая оценка параметра /3 в модели AR(1) оказывается асимптотически нормальной даже для случая бесконечной дисперсии наблюдений (теорема 6.6.2 в [2]), чего нельзя сказать о широко используемых оценках наименьших квадратов (определение см. в [2, с. 138]). Асимптотическая эффективность знаковых оценок относительно оценок наименьших квадратов может быть сколь угодно большой для наблюдений, плотность которых имеет "тяжелые хвосты" (см. [2, с. 200]). В данной работе рассматривается схема засорения наблюдений независимыми аддитивными выбросами, когда интенсивность
1 Чмутин Георгий Николаевич — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: gochanQmail.ru.
