CC BY
8
А.С. Байгашов, А.В. Асташенок
3. Douchin F., Haensel P. Phys. Lett. 2000. № 107.
4. Glendenning N. K., Moszkowski S.A. Phys. Rev. Lett. 1991. № 67. Р. 2414.
5. Glendenning N.K., Schaffner-Bielich J. Phys. Rev. Lett. 1998. № 81. Р. 4564.
6. Perlmutter S. et al. Supernova Cosmology Project Collaboration. Astrophys. J. 1999. № 565.
7. Riess A. G. et al. Supernova Search Team Collaboration. Astron. J. 1998. № 116. Р. 1009.
8. Vidana I. et al. Phys. Rev. C. 2000. № 62. Р. 035801.
A. Baigashov, A. Astashenok
Compact objects in modified gravity
Alternatives to General Relativity have been developed in order to solve several shortcomings related to the ultraviolet and infrared behaviors of the gravitational field as formulated in the Einstein theory. In particular, Extended Theories of Gravity could successfully address the recently established phenomenon of the accelerated expansion of the universe.
УДК 513.82
М. Б. Банару
Смоленский государственный университет [email protected]
О почти контактных метрических гиперповерхностях 6-мерных келеровых подмногообразий алгебры Кэли
Доказано, что гиперповерхности с типовым числом два 6-мерного келерова подмногообразия алгебры Кэли допускают почти контактную метрическую структуру, отличную от структур Сасаки и Кенмоцу.
Ключевые слова: келерово многообразие, почти контактная метрическая структура, структура Сасаки, структура Кенмоцу, типовое число.
© Банару М. Б., 2015
1. Шестимерные подмногообразия алгебры Кэли являются источником интересных и содержательных примеров почти эрмитовых структур. Такие структуры глубоко изучались с 60-х годов прошлого века известнейшим американским геометром Альфредом Греем, затем отечественным специалистом В. Ф. Кириченко и многими другими авторами. Например, в [1] В. Ф. Кириченко получил полную классификацию 6-мерных келеровых подмногообразий алгебры Кэли, ставших предметом исследования данной работы. Эта тематика ни в коей мере не утратила своего значения и сейчас. Большое количество современных геометров из самых разных стран каждый год публикуют статьи в хороших журналах с результатами, полученными в области геометрии 6-мерных почти эрмитовых подмногообразий алгебры октав. Отметим, что новый обзор [2] об эрмитовой геометрии 6-мерных подмногообразий алгебры Кэли содержит множество самых разнообразных результатов.
2. Как известно [3], почти эрмитовой (almost Hermitian, AH-) структурой на четномерном многообразии M2 п называется пара {j, g = где J — почти комплексная структура,
g = ^ , ■ ^ — риманова метрика на этом многообразии. При
этом J и g = должны быть согласованы условием
(JX, Л) = (X, Y), X ,Y еЩМ 2n).
Здесь К(М2п) — модуль гладких (класса Cш) векторных
полей на многообразии М2п . Многообразие с фиксированной на нем почти эрмитовой структурой называется почти эрмитовым (AH-) многообразием. С каждой AH-структурой {j, g = ■ , ■ на многообразии М2п связано поле дважды ко-
вариантного кососимметрического тензора (то есть 2-формы), определяемого равенством
F(X, Y) = (X, JY), X, Y е К(М2п ) .
Почти эрмитово многообразие называется эрмитовым, если индуцируемая на нем почти эрмитова структура интегрируема, и келеровым, если V F = 0 [3].
Напомним [3; 4], что на всякой ориентируемой гиперповерхности N почти эрмитова многообразия индуцируется почти контактная метрическая структура, то есть система тензорных полей |ф, г/, gj, для которой выполняются следующие условия:
/(£) = 1; Ф(£) = 0; г)°Ф = 0; Ф2 = ^ + {ФК,ФУ) = (X,^ -/(X)/(Y), X,Y еК(N).
Здесь Ф — поле тензора типа (1,1), £ — векторное поле, г) — ковекторное поле, g = ^ — риманова метрика, —
модуль гладких векторных полей на гиперповерхности N.
Примером почти контактной метрической структуры является косимплектическая структура, которую можно охарактеризовать тождеством
V) = VФ = 0,
где V — риманова связность метрики g = , ^ [3]. Также напомним, что типовым числом гиперповерхности риманова многообразия называют ранг ее второй квадратичной формы [5].
3. В работе [6] доказано, что типовое число всякой косим-плектической гиперповерхности 6-мерного келерова подмногообразия алгебры Кэли не превосходит единицы. В статье [7] этот результат был улучшен: показано, что условие быть не больше одного для типового числа гиперповерхности 6-мерного келерова подмногообразия алгебры октав является не только необходимым, но и достаточным для того, чтобы на этой гиперповерхности индуцировалась косимплектическая структура. Затем этот факт был обобщен для гиперповерхностей произвольных келеровых многообразий [8].
Теорема 1. Структурные уравнения Картана почти контактной метрической структуры на гиперповерхности 6-мерного келерова подмногообразия алгебры Кэли имеют следующий вид:
dаa = соар лар + 1оар(аР л а + \аар а р л а,
с1®а = -ар лар - ¡ар а р л а - ¡аарюр л а, (1)
dю = -Ъиа ар лаа + та3рЮ лар - ¡ар а ла р. Доказательство.
Воспользуемся структурными уравнениями Картана почти контактной метрической структуры на гиперповерхности
N2п-1 эрмитова многообразия М2п [9]:
dюa = а>а лар + Бар гаТ ла р + ^2Ба3 р +1ар)ар ла +
Бар3 + ¡аар^арла, dаa = -а а л ар + БарГаг лар + ([2Базр - тар)а р ла +
-12 Бар - ^а^у1* ла>
do = (¡2Б3а р -42БЪра -21ар)ар лаа + (Бзр3 + а3р)Ъ лар +
+(Б3 р3 - а3р ) а л ар,
где
туаЪ _ 1 та ту с _ 1 та
Б с =~ — иЪ,с , БаЪ = 2иЪ,'с .
Здесь через т} обозначены компоненты 'ЧJ . Отметим,
что системы функций \БаЪс} и \БаьС} служат компонентами виртуальных тензоров Кириченко [10] почти эрмитовой
структуры на многообразии M2п . Здесь а,/3,у = 1, ..., п -1;
a,Ь, c = 1, ...,п ; a = a + п ; с — вторая квадратичная форма погружения гиперповерхности N2п-1 в приближенно келерово
многообразие M2п.
Поскольку эрмитово многообразие является келеровым тогда и только тогда, когда тензоры Кириченко обращаются в нуль [11], мы приходим к структурным уравнениям (1), ч. т. д.
Пусть типовое число гиперповерхности 6-мерного келеро-ва подмногообразия алгебры Кэли равно двум, то есть ранг матрицы (ср!,) равен двум. Рассмотрим наиболее простые типы матриц (с ps) ранга два: 1.
(с) =
с11 0 0 0 01
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 сй 0
0 0 0 0 0,
р, 5 = 1,2,3,4,5 ;сп Ф 0, с Ф 0.
Тогда структурные уравнения (1) примут следующий вид:
■02р лар, (2)
ёа1 = а 1 лар+ ¡с11 а1 л а , ёа2 =
= -а 1 лар -с11 а1 л а, ёа2 = -а2
2.
Г 0 0 0 сй 0 >
0 0 0 0 0
(СР5 ) = 0 0 0 0 0 , Р, 5 = 1, 2, 3, 4,
С1 0 0 0 0
10 0 0 0 0 ,
а
ёа = 0.
Тогда структурные уравнения (1) примут вид
d®1 = а® лар + ¡'с®1 л а , с1а>2 = а2р л ар, (3)
d®1 = -ар лар - г'с^а1 л с , d®2 = -®р л® р, dю = -Ис\ с1.
4. Сравним структурные уравнения (2) и (3) с уравнениями самых важных почти контактных метрических структур [3; 12]:
1. Косимплектическая структура:
dюa=юcpлюр, dаa=-ар лар, dа = 0.
2. Сасакиева структура:
dюa =®а лар -iю лаа, dюa = -®Р ла р + iю лаа,
dю = ^аа лаа.
3. Структура Кенмоцу:
dюa=юpлюр + алаа, dюa=-юр лар + алаа, = 0.
Хорошо видно, что ни (2), ни (3) не задают почти контактную метрическую структуру указанных видов. Разумеется, тот факт, что почти контактная метрическая структура на 2-гипер-поверхности 6-мерного келерова подмногообразия алгебры октав не может быть косимплектической, есть прямое следствие из упомянутых выше результатов [7; 8]. Новым является то, что такая структура отлична от структур Сасаки и Кенмо-цу. Таким образом, доказана
Теорема 2. Гиперповерхности с типовым числом два 6-мерного келерова подмногообразия алгебры Кэли допускают почти контактную метрическую структуру, отличную от структур Сасаки и Кенмоцу.
5. Отметим, что изучение структурных уравнений (2) и (3) позволит лишь установить неполные сведения о 2-гиперпо-верхностях 6-мерных келеровых подмногообразий алгебры октав. Вместе с тем характеризация почти контактной метри-
ческой структуры, задаваемой такими уравнениями, станет важнейшими первым шагом к исследованию 2-гиперповерхно-стей как 6-мерных келеровых подмногообразий алгебры Кэли, так и произвольных келеровых многообразий.
Автор выражает искреннюю признательность Алигаджи Раба-дановичу Рустанову за содержательные дискуссии о геометрии почти контактных метрических гиперповерхностей почти эрмитовых многообразий.
Список литературы
1. Кириченко В. Ф. Классификация келеровых структур, индуцированных 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Известия вузов. Сер. : Математика. 1980. № 8. С. 32—38.
2. Банару М. Б. Геометрия 6-мерных почти эрмитовых подмногообразий алгебры октав // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2014. Т. 126. С. 10—61.
3. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Одесса, 2013.
4. Степанова Л. В. Квазисасакиева структура на гиперповерхностях эрмитовых многообразий // Научные труды МПГУ им. В. И. Ленина. 1995. С. 187—191.
5. Kurihara H. The type number on real hypersurfaces in a quaternio-nic space form // Tsukuba J. Math. 2000. Vol. 24. Р. 127—132.
6. Банару М. Б. О косимплектических гиперповерхностях 6-мерных келеровых подмногообразий алгебры Кэли // Известия вузов. Сер. : Математика. 2003. № 7. С. 59—63.
7. Банару М. Б. О почти контактных метрических гиперповерхностях с типовым числом 1 в 6-мерных келеровых подмногообразиях алгебры Кэли // Известия высших учебных заведений. Сер. : Математика. 2014. № 10. С. 13—18.
8. Banaru М. Special Hermitian manifolds and the 1-cosymplectic hypersurfaces axiom // Bulletin of the Australian Mathematical Society. 2014. Vol. 90, № 3. P. 504—509.
9. Stepanova L. V., Banaru M.B. On hypersurfaces of quasi-Kahle-rian manifolds // Analele Stiintifice ale Universitatii «Al. I. Cuza». Iasi, 2001. T. 47, № 1. P. 65—70.
10. Abu-Saleem A., Banaru M. Some applications of Kirichenko tensors // Analele Univ. Oradea, 2010. T. 17, № 2. P. 201—208.
11. Banaru M. On the Gray-Hervella classes of AH-structures on six-dimensional submanifolds of Cayley algebra // Annuaire de l'universite de Sofia «St. Kl. Ohridski». Math., 2004. Т. 95. P. 125—131.
12. Кириченко В. Ф., Банару М. Б. Почти контактные метрические структуры на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2014. Т. 127. C. 5—40.
M. Banaru
On almost contact metric hypersurfaces of 6-dimensional Kahlerian submanifolds of Cayley algebra
It is proved that 2-hypersurfaces in 6-dimensional Kahlerian subma-nifolds of Cayley algebra admit non-Sasaki and non-Kenmotsu almost contact metric structures.
УДК 514.76
К. В. Башашина
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]
Редукция аффинной связности многообразия к фундаментально-групповой связности подмногообразия
В п-мерном гладком многообразии Уп задан объект аффинной связности способом Лаптева — Лумисте. Рассмотрено подмногообразие Ут, которое представлено как семейство меньшей размерности, описанное точкой многообразия Уп. В рас-
© Башашина К.В., 2015 36
