CC BY
82. Спивак М. Математический анализ на многообразиях. М.: Мир, 1968.
3. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 2. М.: Наука, 1984.
4. Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.
5. Карпушкин В.Н. Равномерные оценки кратных осциллирующих интегралов // Междунар. конф. "Анализ и особенности", посвящ. 70-летию В. И. Арнольда. 20-24 августа 2007 г. М.: Изд-во Матем. ин-та РАН, 2007. 58-59.
Поступила в редакцию 01.03.2013
УДК 513.82
ПОЧТИ КОНТАКТНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ С ТИПОВЫМ ЧИСЛОМ 1 ИЛИ О В ПРИБЛИЖЕННО КЕЛЕРОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
М. Б. Банару1
Доказано, что для почти контактной метрической гиперповерхности приближенно келерова многообразия условие равенства ее типового числа нулю или единице является не только необходимым, но и достаточным для того, чтобы эта почти контактная метрическая структура была слабокосимплектической.
Ключевые слова: почти контактная метрическая структура, слабокосимплектическая структура, типовое число, гиперповерхность, приближенно келерово многообразие.
It is proved that for an almost contact metric hypersurface of nearly-Kahlerian manifold the condition for the type number to be equal to 1 or 0 is not only necessary but sufficient for this almost contact metric structure to be nearly cosymplectic.
Key words: almost contact metric structure, nearly cosymplectic structure, type number, hypersurface, nearly Kahlerian manifold.
1. Хорошо известно, что почти контактная метрическая структура индуцируется на ориентируемой гиперповерхности почти эрмитова многообразия. Изучением почти контактных метрических гиперповерхностей почти эрмитовых многообразий занимались такие известные геометры, как Д. Блэр, С. Голдберг, С. Ишихара, В.Ф. Кириченко, С. Сасаки, С. Танно, И. Таширо, X. Янамото, К. Яно.
В настоящей работе исследуются почти контактные метрические гиперповерхности приближенно ке-леровых многообразий. Отметим, что класс приближенно келеровых многообразий — один из самых важных классов Грея-Хервеллы [1] почти эрмитовых многообразий. Его изучению посвящено огромное число работ. Не вдаваясь в подробности этого обширнейшего вопроса, напомним лишь, что шестимерная сфера S6 с канонической приближенно келеровой структурой изучалась такими математиками, как Л. Вранкен, А. Грей, Р. Дещч, Ф. Диллен, Н. Ежири, Е. Калаби, В.Ф. Кириченко, И.-С. Пак, К. Секигава, С. Та-чибана, Ш. Фунабаши, Хайжонг Ли, X. Хашимото. Отметим и весьма интересные связи приближенно келеровых многообразий с теорией графов [2, 3].
Настоящая работа содержит результат, мимо которого самым обидным образом автор прошел при изучении слабокосимплектических гиперповерхностей приближенно келеровых многообразий [4, 5]. Она является продолжением исследований автора, рассматривавшего ранее характеризации в терминах типового числа почти контактных метрических гиперповерхностей почти эрмитовых многообразий (см. [4, 5], а также [6-9]).
2. Напомним [10], что почти контактной метрической структурой на многообразии N называется система тензорных полей {Ф, п, g} на этом многообразии, для которой выполняются условия
п(£) = 1, Ф(£) = о, п ◦ Ф = 0, Ф2 = -id + £ <g> п; {ФХ, ФY> = (X, Y> - п(Х)п(У), X,Y е X(N).
1 Банару Михаил Борисович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математики и информатики Смоленск, гос. ун-та, e-mail:
mihail.banaruQyahoo.com.
Здесь Ф — поле тензора типа (1, 1), £ — векторное поле, п — ковекторное поле, д = (■, ■) — риманова метрика, ) — модуль гладких векторных полей па многообразии N.
Хорошо известно, что многообразие, допускающее почти контактную метрическую структуру, нечет-номерно и ориентируемо. Примером почти контактной метрической структуры является косимплектиче-
ская структура [10], характеризуемая тождеством Уп = УФ = 0, где V — риманова связность метрики д
образия на вещественную прямую [8].
Почти контактная метрическая структура (Ф , £, п , д) называется слабокосимплектической, если выполняется условие (Ух Ф)Х = 0. По мнению автора, ведущим специалистом в области геометрии слабо-косимплектических структур является японский геометр Хироши Эндо. Именно ему принадлежит ряд интересных результатов в этой области [11-14]. Выделим и отечественного специалиста Е. В. Кусову, получившую ряд сильных результатов в теории слабокосимплектических многообразий [15, 16].
3. Воспользуемся структурными уравнениями Картана почти контактной метрической структуры на гиперповерхности N2п-1 приближенно келерова многообразия М2п [4]:
с1ша = шЧ А с/ + Ва^шр А ш1 + га^шь Аш + (-у/2Впа? - + гаа^)шр А из;
(1ша = -ш^ A Шр + Bafilojp Aw7 - ia^ojb A w + (-y/2Bnap - -j=Bafin - iaab)wp A w;
duo = V2Bnal3wa л/2Впа[)ша Awp- 2ia^ujl3 A wa + (впрп + ianpj и (вп[)п - ia^j и A Шр .
Здесь и далее а, в, Y = 1, ■■■,n — 1 ; a,b,c = 1,...,n . Функции {Babc} , {Babc} и {Babc} , {Babc} являются компонентами структурных и виртуальных тензоров Кириченко соответственно [17, 18], а — вторая квадратичная форма погружения гиперповерхности N2n-1 в приближенно келерово многообразие M2n .
Равенство нулю или единице типового числа гиперповерхности приводит к тому, что матрица ее второй квадратичной формы принимает следующий вид [4]:
(
(aps) =
V
0 0 о
V/ 0 V/
0...0 0...0
0 0 о
V/ 0 V/
\
/
p,s = 1,..., 2n — 1,
причем если типовое число равно нулю, то матрица, очевидно, будет нулевой. Поэтому мы получаем такие структурные уравнения:
с1ша = А с/ + Ва^шр Аш7 + (-у/2Впа? - -^=Ва13п)шр А ш,
= -и? А Шр + Ва[31шГЗ АшЧ (-л/2Впар - -^=Варп)ш^ А из,
(ко = у/2Впарша + у/2Впа13ша А шр + (впрп^ шАшЧ (Бга/Зга) и Аир.
Так как эти уравнения задают слабокосимплектическую структуру [5, 16], то доказана следующая
Теорема. Почти контактная метрическая гиперповерхность приближенно келерова многообразия с типовым числом 0 или 1 является слабокосимплектической.
В [4] доказано, что типовое число всякой слабокосимплектической гиперповерхности приближенно келерова многообразия не превосходит единицы. Отсюда вытекает более общее утверждение.
Основная теорема. Почти контактная метрическая гиперповерхность приближенно келерова многообразия является слабокосимплектической в том и только в том случае, когда ее типовое число не превосходит единицы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Gray A., Hervella L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants // Ann. Mat. Рига Appl. 1980. 123, N 144. 35-58.
2. Carriazo A., Fernandez L.M. Submanifolds associated with graphs // Proc. Amer. Math. Soc. 2004. 132, N 11. 3327-3336.
3. Carriazo A., Fernandez L.M., Rodriguez-Hidalgo A. Submanifolds weakly associated with graphs // Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.). 2009. 119, N 3. 297-318.
4. Банару М.Б. О типовом числе слабокосимплектических гиперповерхностей приближенно келеровых многообразий // Фунд. и прикл. матем. 2002. 8, вып. 2. 357-364.
5. Banaru М. On nearly-cosymplectic hypersurfaces in nearly-Kahlerian manifolds // Stud. Univ. Babes-Bolyai. Ser. Math. 2007. 47, N 3. 3-11.
6. Банару М.Б. О типовом числе косимплектических гиперповерхностей 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Сиб. матем. жури. 2003. 44, № 5. 981-991.
7. Banaru М. On minimality of a Sasakian hypersurface in a W3-manifold // Saitama Math. J. 2002. 20. 1-7.
8. Банару М.Б. О сасакиевых гиперповерхностях 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Матем. сб. 2003. 194, № 8. 13-24.
9. Банару М.Б. О типовых числах почти контактных метрических гиперповерхностей почти эрмитовых многообразий // Мат-лы VIII Междунар. семинара "Дискретная математика и ее приложения". М.: Изд-во МГУ, 2004. 379-381.
10. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М.: МПГУ, 2003.
11. Endo Н. On the curvature tensor of nearly cosymplectic manifolds of constant Ф-sectional curvature // An. stin. Univ. Iasi. 2005. LI, N 2. 439-454.
12. Endo H. Remarks on nearly cosymplectic manifolds of constant Ф-sectional curvature with a submersion of geodesic fibers // Tensor. New Ser. 2005. 66. 26-39.
Ф
Ф
68. 204-221.
15. Кириченко В.Ф., Kycoea E.B. О геометрии слабокосимплектических многообразий // Фунд. и прикл. матем. 2010. 16, вып. 2. 33-42.
16. Kycoea E.B. О геометрии слабокосимплектических структур: Канд. дне. М., 2013.
17. Abu-Saleem A., Banaru М. Some applications of Kirichenko tensors // An. Univ. Oradea. 2010. 17, N 2. 201-208.
18. Banaru M. On Kirichenko tensors of nearly-Kahlerian manifolds //J. Sichuan Univ. Sci. & Eng. 2012. 25, N 4. 1-5.
Поступила в редакцию 27.03.2013
УДК 539.3
СРАВНЕНИЕ ФОРМУЛ ДЛЯ ЭФФЕКТИВНОГО МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ВОЛОКНИСТОГО КОМПОЗИТНОГО СЛОЯ В ПОПЕРЕЧНОМ НАПРАВЛЕНИИ
С. С. Гилёв1, С. В. Шешенин2
Проведен сравнительный анализ формул для определения эффективного поперечного модуля упругости слоя волокнистого композита. Показано, что формула второго порядка обеспечивает приемлемую точность.
Ключевые слова: эффективный модуль, резинокорд.
Formulas for the effective transverse modulus of a fiber composite layer are analyzed. It is shown that the second-order formula provides an acceptable accuracy.
Key words: effective modulus, rubber cord.
1 Гилёв Сергей Сергеевич — студ. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: galkirQgmail.com.
2 Шешенин Сергей Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shesheniQmech.math.msu.su.
