CC BY
10
М.Б. Банару
9. Abu-Saleem A., Banaru M. B. Some applications of Kirichenko tensors // An. Univ. Oradea, Fasc. Mat. 2010. Vol. 17, № 2. P. 201—208.
10. Банару М. Б. Геометрия 6-мерных почти эрмитовых подмногообразий алгебры октав // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2014. Т. 126. C. 10—61.
M. Banaru
On almost contact metric structure on 0- or 1-hypersurface of almost Kahlerian manifolds
The Cartan structure equations of the almost contact metric structure induced on a hypersurface of an almost Kahlerian manifold are obtained. The following supposition is introduced: the properties of almost contact metric structures on totally geodesic and 1-type hypersurfaces in almost Kahlerian manifolds are identical.
Key words: almost contact metric structure, 1-type hypersurfaces, totally geodesic hypersurface, Kahlerian manifold, almost Kahlerian manifold.
УДК 514.76
М. Б. Банару, Г. А. Банару
Смоленский государственный университет [email protected]
Об уплощающихся 6-мерных эрмитовых подмногообразиях алгебры Кэли
Получен критерий эйнштейновости уплощающихся 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры октав.
Ключевые слова: алгебра октав, 6-мерное уплощающееся эрмитово подмногообразие, многообразие Эйнштейна.
© Банару М. Б., Банару Г. А., 2017
1. Известно [1], что в алгебре Кэли O = R8 определены два неизоморфных 3-векторных произведения:
P1(X, Y,Z) = -X(YZ) + (X,Y)Z + (Y,Z)X -{Z,X)Y; P2(X, Y,Z) = -(XY)Z + (X,Y)Z + (Y,Z)X - (Z,X)Y.
Здесь X,Y,Z e O; (•, •) — скалярное произведение в O,
X ^ X — оператор сопряжения в O . Если M6 с O — 6-мерное ориентируемое подмногообразие алгебры Кэли, то на нем индуцируется почти эрмитова структура Ja,g =(•,•)}, определяемая в каждой точке p e M6 соотношением: Ja (X) = = Pa(X,e1,e2), a = 1, 2, где {e1, e2} — произвольный орто-нормированный базис нормального к M6 подпространства в точке p, X e Tp (M6) [1]. Если индуцированная на M6 почти эрмитова структура интегрируема, то такое подмногообразие называется эрмитовым. Точка p e M6 называется общей, если e0 g Tp(M6), где e0 — единица алгебры Кэли [1]. Подмногообразия, состоящие только из общих точек, называются подмногообразиями общего типа [1]. Все рассматриваемые далее подмногообразия M6 с O подразумеваются подмногообразиями общего типа. 6-мерное подмногообразие M6 с O называется уплощающимся (planar, реже flattening), если оно содержится в гиперплоскости алгебры октав [2—4].
2. Воспользуемся записанными в А-репере структурными уравнениями эрмитовой структуры на 6-мерном подмногообразии алгебры октав [3; 4]:
dюа =(йаь лйь sabhDhcmc люь;
V2 °
d ю = -®ь л®ь sabhDhc®c л®ь; (1)
dюаь =®ac люЬ -
' 1 ^
Rahn r>gc ТфТф
-^bg^hd^ / ^'a'c1 bd
2 ф
тлю
/
где {ak} — компоненты форм смещения, [®kj } — компоненты форм римановой связности. Условимся, что здесь и далее <р = 7, 8 ; a, b, c, d, g, h = 1, 2, 3; a = a + 3; k, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
t r m à T-r 123 abc abc
Как и в [5], a a = a . При этом Saba = S abc , S = S123 — ком-
Tr <?ah <?a <?h <?a <?h
поненты тензора Кронекера порядка три; obg = obog -ogob ;
°hc=Dc; Dcj = +T!j+ iTl, D = +TH - iTl, где \f<}—компо-
ненты конфигурационного тензора (в терминологии Грея), или второй основной формы погружения подмногообразия M6 [3].
Эрмитово M6 с O является уплощающимся в том и только том случае, если
Jr 8 rril /7-78 il 17 . /'ЛЧ
ab = MTab; Tb = /Tab; мeC; м-const. (2)
Это можно объяснить следующим образом. Пусть 6-мерное подмногообразие алгебры Кэли является подмногообразием гиперплоскости в O . Тогда, если пользоваться терминоло-
v.» v.» v.» I— Л7"7 8 Т7 7 U
гией линейной алгебры, lkj и lkj оказываются «линейно зависимыми» для каждой точки подмногообразия M6. Обратная цепочка рассуждений также очевидна. Отметим лишь, что
случай, когда хотя бы одно из значений T< обращается в нуль,
мы исключаем. К числу уплощающихся относятся и 6-мерные келеровы подмногообразия алгебры октав (это соответствует случаю /л = i [4]). Другими примерами уплощающихся подмногообразий служат 6-мерные локально симметрические M6 с O [4; 5]. Обратим внимание на то, что при этом среди локально симметрических эрмитовых M6 с O есть и не келе-ровы подмногообразия алгебры октав.
Как известно [6; 7], многообразие называется эйнштейновым, если его тензор Риччи пропорционален метрическому тензору:
ric = s g, s-const.
Спектр тензора Риччи выводится из структурных уравнений (1), а вид матрицы метрического тензора в А-репере хорошо известен [2]:
kj
• 0 I 1
n
I 0
n у у
где 1п — единичная матрица порядка п.
Мы получаем, что эрмитово М6 с О будет являться многообразием Эйнштейна в том и только том случае, если
Г1Саь = £$ъ , Г1Саь =£$а . С учетом (1) эти условия можно переписать так:
Т* =в5ьа ; -ЖТЬ = ^Ь . (3)
V V
Наконец, воспользуемся соотношениями (2), характеризующими именно уплощающиеся 6-мерные эрмитовы подмногообразия алгебры Кэли. Тогда формулы (3) примут следующий вид:
-1+ N2)T7Tb =sSab ; -(1+ Н2)Tljl =eSba . (4)
Таким образом, справедлива
Теорема. Эрмитово 6-мерное уплощающееся подмногообразие алгебры Кэли является эйнштейновым в том и только том случае, если выполняются соотношения (4).
Список литературы
1. Кириченко В. Ф. Классификация келеровых структур, индуцированных 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Известия высших учебных заведений. Математика. 1980. №8. C. 32—38.
2. Banaru M.B. Banaru G.A. About six-dimensional planar Hermi-tian submanifolds of Cayley algebra // Scientific Bulletin of the Politehnica University of Timi§oara. Transactions on Mathematics and Physics. 2001. Vol. 46 (60), № 1. P. 13—17.
3. Banaru M.B., Banaru G.A. A note on six-dimensional planar Hermitian submanifolds of Cayley algebra // Известия Академии наук Республики Молдова. Математика. 2014. № 1(74). P. 23—32.
4. Банару М. Б. Геометрия 6-мерных почти эрмитовых подмногообразий алгебры октав // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2014. Т. 126. C. 10—61.
5. Банару М. Б. О локально симметрических 6-мерных эрмитовых подмногообразиях алгебры Кэли // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2016. Вып. 47. С. 11—17.
6. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. М., 1990.
7. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Одесса, 2013.
M. Banaru, G. Banaru
On planar 6-dimensional Hermitian submanifolds of Cayley algebra
A criterion for planar 6-dimensional Hermitian submanifolds of Cayley algebra to be Einstein is obtained.
Key words: Cayley algebra, planar 6-dimensional Hermitian subma-nifold, Einstein manifold.
УДК 514.75
О. О. Белова
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]
О кручении аналога связности Нейфельда в пространстве центрированных плоскостей
В и-мерном проективном пространстве рассмотрено пространство П центрированных плоскостей. Над ним возникает некоторое главное расслоение. В этом
© Белова О. О., 2017
