NC10-многообразия класса R1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76 ББК 22.1 Р 89

Рустанов А.Р.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической и специальной социологии Института социально-гуманитарного образования Московского педагогического государственного университета, Москва, e-mail: [email protected]

Харитонова С.В.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии и компьютерных наук Оренбургского государственного университета, Оренбург, e-mail: [email protected]

NC^-многообразия класса R1

(Рецензирована)

Аннотация. Показано, что вполне интегрируемая ЫС10-структура является точнейше косимплектиче-ской. Получено тождество римановой кривизны почти контактных метрических многообразий класса NC10, названное первым дополнительным тождеством кривизны NC^-многообразия. И на его основе выделен класс

NCio-многообразий, тензор римановой кривизны которых удовлетворяет условию Ф X= 0,

УХ е X(M). Доказано, что выделенный класс многообразий совпадает с классом точнейше косимплектиче-ских многообразий, и получена локальная характеризация этого класса многообразий.

Ключевые слова: косимплектическая структура, точнейше косимплектическое многообразие, келерово многообразие, тензор Римана-Кристоффеля, тождества Грея, NC-i0-многообразие.

Rustanov A.R.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Theoretical and Express Sociology of Institute of Social Arts Education of the Moscow Pedagogical State University, Moscow, e-mail: [email protected]

Kharitonova S.V.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Geometry and Computer Science Department, Orenburg State University, Orenburg, e-mail: [email protected]

Class R1 NC10 variety

Abstract. The paper shows that quite integrable NC10 structure is most precisely cosymplectic. The identity of Riemannian curvature of almost contact metric varieties of NC10 class called the first complementary identity of curvature of NC10 variety has been obtained. On its basis the class of NC10 varieties, the tensor of Riemannian curvature of

which meets condition R(g, Ф X= 0, УХ е X(M), is allocated. The paper proves that the allocated class of varieties coincides with a class of most precisely cosymplectic varieties. The local characterization of this class of varieties has been obtained.

Keywords: cosymplectic structure, most precisely cosymplectic variety, Kahlerian variety, tensor of Riemann Christoffel, identity of Gray, NC10 variety.

Введение

В работе [1] введен новый класс почти контактных метрических многообразий, обобщающий класс косимплектических и класс точнейше косимплектических многообразий. Данная работа продолжает изучение этого класса многообразий. В пункте 1 напоминаются необходимые для дальнейшего исследования сведения о структурных уравнениях и структурных тензорах NC10-многообразий [1]. Доказывается, что вполне интегрируемая NC10-структура является точнейше косимплектической структурой. Кроме того, доказывается, что на интегральных подмногообразиях максимальной размерности вполне интегрируемого первого фундаментального распределения NC10-многообразия индуцируется приближенно келерова структура. В пункте 2 исследуются свойства структурных тензоров. В пункте 3 получено первое дополнительное тождество тензора римановой кривизны NC10-многообразий и на его основе выделен класс NC10-многообразий и получена локальная классификация этого класса.

1. Определение почти контактных метрических многообразий класса МСю

Пусть М - гладкое почти контактное метрическое многообразие (коротко, АС-многообразие), размерности 2п +1, Х(М) - Сж-модуль гладких векторных полей на многообразии М. В дальнейшем все многообразия, тензорные поля и т.п. объекты предполагаются .

Определение 1.1 [1]. АС-структура, характеризуемая тождеством

ух(Ф)у+уу(ф)х = £УХ(;7)ФУ+ у(чУъхХ,УеХ(М), (1.1)

называется НС-структурой. АС-многообразие, снабженное ЛСш-структурой, называется НС10-многообразием.

Полная группа структурных уравнений ЛСш-структуры на пространстве присоединенной С-структуры имеет вид [1]:

1)ёю = РаЪта люЪ + Рлаа люЪ;

2)ёюа = -ва люЪ + СЛсюъ лю£ + РаЬюъ л ю;

3)ёюа = вв л Ю + СаЪсЮ лЮ + РаЪЮ Л Ю (1.2)

4)ёва +вас лвЬ = (Аъаё -2СаМС№с -¥аё¥Ъс)юс лю,,

где

F = —V—Тф0 • Fab = Л/-Тф0.. F + F = 0- Fab + Fba = 0- Fab = F • Г = ___1Фa •

1 ab * a,b > » 14/a b ' J-ab^l-ba^?1^1 ^ , 1 1 ab , ^ abc „ ^b,c з

2

лГТ.

/"iabc _ » í rf\a . __. rabc _ /"»[abc] . s~iabc _ ^ . л ad _ ad ] _

Г = 2 Ф b,c - rabc = r[abc]. Г = Г - Г = ^abc - ^bc ]_ ^bc _ 0.

Fad.r^dC = Fadrdbc = 0. (1.3)

Кроме того, имеют место следующие равенства:

1) dFab - Fсь^<01 - Fac^h = 0.

2) dFab + Fch0ac + Fac0hc = 0;

3) drabc — rdbßa — Гadßb — Гabd^c = Г abcd® -

4) dCabc + С cbd0da + radc^dfe + Г^ = rabcd®d, (1.4)

где

Г = FF . ra[bcd ] = Fa[bFcd ] (1 5)

a[bcd] a[b cd]

Дифференцируя внешним образом вторую группу структурных уравнений (1.2.4), получим

A + AX + - AhaX - Afhehc - Ab>h+, (1.6)

где

лай _ ла[ dh] _ /у л ad _ r\r-iadh^ ^ . ла[ d gf ]c _ r\ ah[d gf ]c.

Ab[ch] - Abc - 0; Ab[cCgf ]d - 2C Chb[cC gf ]d; Abc C - 2ChbcC C ;

Aad F - FadF f • Aa[dF^g] - F Fa[d F^g] (17)

b[c |d|g] b[c |d|g] bc bc

Назовем: тождество FadCdbc - 0 первым фундаментальным тождеством NC10-структуры; тождество A^Cf ]d - 2CadhChb[cCgf]d - вторым фундаментальным тождеством; тождество Aba^F^g] - FadFb[cF^g] - третьим фундаментальным тождеством.

Предложение 1.1 [1]. NCl0-структура является: 1) точнейше косимплектической тогда и только тогда, когда второй структурный тензор равен нулю, то есть F - 0 ; 2) структурой класса С10 тогда и только тогда, когда первый структурный тензор равен нулю, то есть Cac - Cabc - 0 ; 3) косимплектической структурой тогда и только тогда, когда Cac - СЛс - 0 ,

Fab - Fb - 0.

Из (1.2) следует

Теорема 1.1. Вполне интегрируемая ЛС10-структура является точнейше косимплекти-ческой структурой.

Доказательство. Почти контактная метрическая структура является вполне интегрируемой, если л г = 0 . Так как а = ж* (г/), ж - естественная проекция пространства присоединенной С-структуры на многообразие М, из первого уравнения системы (1.2) следует, что для того, чтобы первое фундаментальное распределение было вполне интегрируемо, необходимо и достаточно, чтобы слагаемые РЪаа л аЪ и Глаа л аЪ были равны нулю. Значит,

необходимо, чтобы обнулились коэффициенты и ГаЬ. Согласно предложению 1.1 ЛС10-структура является точнейше косимплектической структурой. ■

Поскольку всякое точнейше косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую [2], то предыдущую теорему можно сформулировать в следующем виде.

Теорема 1.2. Вполне интегрируемая ЛС10-структура локально эквивалентна произведению келерова многообразия на вещественную прямую. Если многообразие односвязно, то указанные локальные эквивалентности можно выбрать глобальными.

Теорема 1.3. Почти эрмитова структура, индуцируемая на интегральных многообразиях максимальной размерности вполне интегрируемого первого фундаментального распределения ЛС10-многообразия, является приближенно келеровой структурой.

Доказательство. В предположении вполне интегрируемости первого фундаментального распределения уравнения ЛС10-структуры примут вид:

1) ёа = 0;

2)ёаа =-в1 лаъ + СаЪсаЪ лас +£>лаъ; (1.8)

3) ёаа =81 лаЪ + СаЪса лаС +^алаЪ .

С учетом того, что для #Сш-многообразий В[аЪс] = С[аЪс] = СаЪс = ВаЪс [1], находим, что в этом случае на интегральных подмногообразиях максимальной размерности индуцируется приближенно келерова структура. ■

2. Структурные тензоры почти контактных метрических многообразий класса МС10

Следуя [2], тензор С = {с 1 ¡к}, С = {с '¡к}, С аЪс = СЛс; все прочие компоненты нулевые, назовем первым структурным тензором ЛСуо-структуры. Тензор Г = {т1;}, =

Гаъ = ГаЪ; все прочие компоненты нулевые, назовем вторым структурным тензором ЫС10-структуры.

В [3] получены аналитические выражения для структурных тензоров ^С-структуры. Получим аналитические выражения первого и второго структурных тензоров ЫС10-структуры. Напомним аналитические задания структурных тензоров ^С-структуры [3]:

1) B(X, Y) = -1 {ф о Уф(ф)(ф2X)+ Ф о Уф7 (Ф)(ФХ) +

о

+ ф2 о VфY (ф)(ф2X)- ф2 о уф2Y (ф)(фХ)};

2) С(X, Y) = -1 {- ф о V<52Y (ф)(ф2X)+ ф о VфY (ф)(фХ)-

о

+ ф2 о VфY (ф)(ф2X)+ф2 о Vi>2Y (Ф)(ФX)};

3) D(X) = 4 {2Ф о V<J)2Y (Ф)^ - 2Ф2 о Vфx (Ф)^ - Ф о V (Ф)(Ф2X)+ Ф2 о V H^X)};

4) E(X)=-2{фо^ф2X(ф)^ + ф2 оVфx(ф)^}; (2.1)

5) F(X) = 2 {ф о ^ф2X (Ф)^-Ф2 о Vфx (ф)^};

6) G = Ф о Ví(ф)^.

Формулы (2.1) для ЖСш-структуры примут вид:

1) B(X,Y) = -8{Ф оVф2y (ф)(ф2X)+ Ф оVфY (Ф)(ФX) +

о

+ Ф2 о VфY(ф)(ф2X)- Ф2 о V(J2Y(Ф)(ФX)} = 0;

2) С(X, Y) = -8 {- Ф о Vф2y (ф)(ф2X)+ Ф о VфY ^X) +

о

+ Ф2 о VфY (Ф)(Ф2X)+Ф2 о Vф2Y (Ф)(ФX)};

3) D(X) =1 {2Ф о Vф2y (Ф)^- 2Ф2 о Vфx (ф)^-

4

Ф о V (ф)(ф2X)+ Ф2 о V(ф)^)}= -F(X);

4) Е(X)=-2{фоУф2Х(ф£ + ф2 оУфх(ф£}= 0; (2.2)

5) Г(X) = 2 {ф о Уф2х (Ф)£-Ф2 о Уфх (ф£};

6) С = Фоу£(ф)£ = 0.

Из (2.2:1) и (2.2:2) следует

С(X,У) = -4{ф о Уф27 (Ф)(ФХ) + Ф2 о Уф7 (ф)(ф2х)}. (2.3)

Из (2.2:4) и (2.2:5) следует

Г(X) = Ф о Уф2х (ф£ = -Ф2 ° Уфх (ф£ .

Из последнего равенства имеем Г(X) = -Ф о Ух (ф)£ . Поскольку для почти контактной метрической структуры Ф о Ух (ф)£ = Ух£ , то окончательно получим:

Г(X)= -УVX е Х(М). (2.4)

Структурные тензоры обладают свойствами, выраженными в следующем предложении.

Предложение 2.1. Структурные тензоры ЛС10-структуры обладают следующими свойствами:

1) Ф о С (X, У ) = -С (фх , У ) = -С (х, ФУ );

2) С(X,£) = 0;

3) /оС(X,У) = 0;

4) Ф о г = -Г о ф ;

5) (Г (X ), У) = ( X, Г (У));

6) /ог = 0;

7) Г£) = 0 VX,У е Х(М). (2.5) Предварительно докажем следующую лемму.

Лемма. На ЛС10-многообразии имеют место тождества

/о {Ух(ф)У + Уу(ф)х}=Ух(/)ФУ + УУ(/)фх = 0 VX,Y е Х(М). (2.6)

Доказательство. Из определения 1.1 следует / о {У х (Ф)У + У у (ф)X } = У X (/^ + У у (/)фх + /(X)/ о Уфу £ + /(у)/ о Уфх£, X, Y е Х(М).

Поскольку на почти контактном метрическом многообразии имеет мест равенство 7 о V= 0 VX е X(M), то последнее равенство примет вид:

7 о {VX(Ф)7 + VY(ф)Х}=VX(])ФУ + VY(])ФХ, X,Y е X(M). (2.7)

Ковариантно дифференцируя равенство ц о ф = 0, получим

VX (^Y + 70 VX (Ф)7 = 0, X,Y е X(M). (2.8)

Из последних двух тождеств следует (2.6). □

Доказательство предложения 2.1.

1) Аналитическое выражение первого структурного тензора можно записать в виде [4] С(X, Y) = -1 {ф о V<J)2Y (ф)^) + Ф2 о Vф7 (Ф)(Ф2X)},

4

тогда

С (ФX, Y )=- 4 {Ф о ^^^ (Ф)(Ф2 X )+Ф о Vф 2Y (Ф)(Ф3 X )}= = - ^ {Ф о ^^^ (Ф)(Ф2 X)+ Ф о Vф 2y ^X)}

и

С (X, ФY )= - 4 {ф о Vф 2y (Ф)(ФX)- Ф о Vф 3y (Ф)(Ф2 X )}=

= - 4 {Ф о ^^^ (Ф)(Ф2 X)+ Ф о Vф 2y (Ф)(ФX)},

то есть С (X, Y) = С (X, ФY).

Докажем теперь равенство Ф о С (X, Y )=-С ^X, Y) . С учетом (2.3) имеем

Ф о С (X, Y ) = - 4 {ф2 о ^^y (сф^+Ф3 о VфY (ф)(ф2 X )}=

1 {ф о ^^^ (ф)(ф2X)-Ф2 о VфY (ф)^)}.

4

А также

С(ФХ, ¥) = -4 {ф ° ^^^ (ф)(ф2х)+ Ф2 о VфY (ф)(ф3X)} = = - 4 {ф о ^^^ (ф)(ф 2 X)- Ф2 о VфY (Ф)(ФХ)}.

Из последних двух равенств получаем Ф о С (X, ¥ )=-С (ФХ ,¥ ).

2) С(X, £) = -{Ф о ^^^ (ф)(фХ) + Ф2 о Vфí (Ф)(Ф2X)}= 0 .

3) Поскольку 7] о Ф = 0, то

Г о С(X,¥) = -4] о {Ф о ^^^ (ф)(фх) + Ф2 о VфY (Ф)(Ф2X)}= 0 .

4) Поскольку Ф о Vф2х (Ф)^ + Ф2 о Vфх (Ф)^ = 0 и Vх£ = Ф о VX (Ф^ , то Vф 2х£ + Ф о VФх£ = 0, то есть V х£ = Ф о Vфх£.

В последнем равенстве сделаем замену X ^ Фх, тогда получим VФX£ = -Ф о V, то есть Ф о ^ (х) = (фх) .

5) Это свойство вытекает из кососимметричности функций {раЪ, ¥л }.

6) г( (X)) = -г(V х$) = 0.

7) ^ (¿) = 0.-

3. Дополнительное тождество кривизны почти контактных метрических

многообразий класса NC10

Напомним [4], что существенные ненулевые компоненты тензора Римана-Кристоффеля на пространстве присоединенной G-структуры имеют вид:

1 Ч J?b — Т7 Т7сЬ ■ f)a — Aad s-iadh^ . па _ ъ^аЪЬ^ . их -pa _ ^ Т7 Т7 /"> 1 Ч

А) ^üüa " FacF ; 2) КЪЫ = АЪс " C Chbc ; 3) Kbcd = 2C Chcd ; 4) Rbcd = Cacdb - FabFcd • (31)

Рассмотрим равенства Rl = F"F, = Füü,a, Rüa = FbcFca = Fbü,a, Rüa = Fca = Fbü,a, то есть Rüüa = F!cFca = F!ü,a, то есть R(^,sa)<% = Vs (f)<% . Векторы {sa} образуют базис подпространства D^, а проектором модуля X(M) на подмодуль Dф-1 является эндоморфизм

п = -

2(ф2 + л/-Тф), тогда равенство R(%,sa = Vs (Fперепишется в виде

),-- (ф2X + ^ГлФX )) = V ,, .(Е)) УХ е Х(М). Расписывая полученное равен-

^ 2 ] - ^ (ф2 X+л/-Тфх)

ство по линейности и выделяя действительную и мнимую части, получим эквивалентное тождество

я),Ф2X2Х(Е)) УХ е Х(М). (3.2)

Приведенная выше процедура называется процедурой восстановления тождества [2, 5].

Назовем тождество (3.1) первым дополнительным тождеством тензора римановой кривизны ^С-многообразия класса ЫС10. Так как Ф2X = -X + Т](Х)) , ^(е) = 0, то тождество (3.2) можно записать в форме

4),X) = VX(Е) VX е Х(М). (3.3)

Определение 3.1. ^С-многообразие назовем многообразием класса 41, если его тензор римановой кривизны удовлетворяет условию #(), Ф2X) = 0 VX е Х(М).

Теорема 3.1. ЛС10-многообразие является многообразием класса 41 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-структуры 40а = 0.

Доказательство. Пусть ЛС10-многообразие является многообразием класса 41. Тогда, согласно определению 3.1, имеет место тождество 4(),X)) = 0 VX е Х(М), которое на

пространстве присоединенной С-структуры перепишется в виде 4°0а) + 40а8ъ + 4)0а8ь = 0, то есть с учетом (3.1) 4Ъ0авъ = 0, то есть 40а = 0.

Обратно, пусть для ЛС10-многообразия 4Ъ0а = 0. Поскольку для ЛС10-многообразия имеют место равенства 40а = 0 и 4Ъ0 а = 0, то, применяя процедуру восстановления тождества к равенствам 40а = 0, получим #(), Ф2X) = 0 VX е Х(М) .■

Из определения 3.1 и (3.3) непосредственно следует следующая теорема. Теорема 3.2. ЛС10-многообразие является многообразием класса 41 тогда и только тогда, когда V(Е)) = 0 VX е Х(М).

Теорема 3.3. ЛС10-многообразие является многообразием класса 41 тогда и только тогда, когда оно является точнейше косимплектическим многообразием.

Доказательство. Согласно теореме 3.1 ЛС10-многообразие является многообразием класса 41 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-структуры 4Ъ0а = 0, которое с учетом (3.1) примет вид ЕЪсЕса = 0 . Свернем это равенство по индексам а и Ъ, тогда

РЛРсЪ = ^ то есть ЕаЪЕаЪЕаЪ = 0, то есть ЕаЪ|ЕаЪ ^ = 0 ^ ЕаЪ = 0. Согласно предложению

1.1 ЛС10-многообразие класса Д1 является точнейше косимплектическим многообразием.

Обратно, поскольку для точнейше косимплектического многообразия ДЪ0а = 0 и точнейше косимплектическое многообразие является ЛС10-многообразием, то, согласно теореме 3.1, оно является ЛС10-многообразием класса Д1.-

Известно [2], что точнейше косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению приближенно келерова многообразия на вещественную прямую, тогда теорему 3.3 можно сформулировать в виде:

Основная теорема. ЛС10-многообразие класса Д1 локально эквивалентно произведению приближенно келерова многообразия на вещественную прямую.

Примечания:

1. Рустанов А.Р. Многообразия класса NC10 // Преподаватель XXI век. 2014. № 3. С. 209-218.

2. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М.: MI II У, 2003. 495 с.

3. Кириченко В.Ф., Дондукова Н.Н. Контактно геодезические преобразования почти контактных метрических структур // Математические заметки. 2006. Т. 80, вып. 2. С. 209-219.

4. Рустанов А.Р. Аналитическое задание структурных тензоров почти контактных метрических многообразий // Преподаватель XXI век. 2013. № 1. С. 218223.

5. Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий // Математический сборник. 2002. Т. 193, № 8. С. 71100.

References:

1. Rustanov A.R. Varieties of NC10 class // Teacher XXI century. 2014. No. 3. P. 209-218.

2. Kirichenko V.F. Differential geometric structures on manifolds. M.: MPSU, 2003. 495 pp.

3. Kirichenko V.F., Dondukova N.N. Contactly geodesic transformations of almost contact metric structures // Mat. Zametki. 2006. Vol. 80, No. 2, P. 209-219.

4. Rustanov A.R. Analytical task of structural tensors of almost contact metric manifolds // Teacher XXI century. 2013. No. 1. P. 218-223.

5. Kirichenko V.F., Rustanov A.R. Differential geometry of quasi-Sasakian manifolds // Mathematical Collection. Vol. 193, 2002. No. 8. P. 71-100.