CC BY
9
УДК 514.76 ББК 22.1 Р 89
Рустанов А.Р.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической и специальной социологии института социально-гуманитарного образования Московского педагогического государственного университета, Москва, e-mail: [email protected]
NC10 -многообразия класса r3
(Рецензирована)
Аннотация. Получено тождество римановой кривизны почти контактных метрических многообразий класса NC10, названное третьим дополнительным тождеством кривизны NC10 -многообразия. На его основе
выделен класс NC10 -многообразий и получено локальное строение выделенного класса NC10 -многообразий.
Ключевые слова: косимплектическая структура, интегрируемая структура, приближенно келерово многообразие, точнейше косимплектическая структура, тензор Римана-Кристоффеля, NC10 -многообразие
класса R .
3
Rustanov A.R.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Theoretical and Express Sociology of Institute of
Social Arts Education of the Moscow Pedagogical State University, Moscow, e-mail: [email protected]
NC10 -manifolds of class r3
Abstract. In this paper we obtain the identity of the Riemannian curvature of almost contact metric manifolds of class NC10 , called the third additional curvature identity of the NC10 -manifold. On its basis, the class NC10 -
manifolds is distinguished and a local structure of the distinguished class NC10 -manifolds is obtained.
Keywords: cosymplectic structure, integrable structure, approximately Kähler manifold, finitely cosymplectic structure, Riemann-Christoffel tensor, NC10 -manifold of class R3
0. Введение
В данной работе мы продолжаем изучение геометрии тензора римановой кривизны, начатое в работах [1] и [2]. Обращение в нуль отдельных элементов спектра тензора римановой кривизны является дополнительным дифференциально-геометрическим инвариантом второго порядка. Изучение геометрического смысла обращения в нуль одного из элементов спектра тензора римановой кривизны (в частности, Rbj!¡cd ) является одной из целей данной статьи.
Работа организована следующим образом. В параграфе 1 напоминаются необходимые для дальнейшего исследования сведения об NC10 -многообразиях, взятых из [1-3].
В параграфе 2 мы получаем третье дополнительное тождество тензора римановой кривизны NC10 -многообразия, на его основе выделим класс NC10 -многообразий и получим локальное строение выделенного класса. Основной результат сформулирован в теореме 2.4.
1. Определение почти контактных метрических многообразий класса NC10
Пусть М - гладкое почти контактное метрическое многообразие (коротко, AC-многообразие) размерности 2n +1, X (M ) - Cш -модуль гладких векторных полей на многообразии М. В дальнейшем все многообразия, тензорные поля и т.п. объекты предполагаются
Сад
.
Определение 1.1 [3]. AC-структура, характеризуемая тождеством УХ(Ф)7 + V7(Ф)х = + {riy&X + + X, Y е х(м), (1.1)
называется NC10 -структурой. AC-многообразие, снабженное NC10-структурой, называется NC10 -многообразием.
Полная группа структурных уравнений NC10-структуры на пространстве присоединенной G-структуры имеет вид [3]:
1) da _ Fabaa лаъ + Fabaa лаъ;
2) daa = 0 лаь + Cabcab лас + Fabab л а;
3) daa = 0 лаь + Cabcab ла + Faba Л
4) d0ba + 0 Л0b = ( -2CadhCmc -FadFbc)с л а,
(12)
где
Cabc _ ^ 1 фa . с _ ^ 1 фa . с[abc] _ с'ЬС . с _С • С'ЬС _с •
С ~ 2 b,c; Cabc~ 2 b,c; С ~С ; C[abc Cabc; С ~ Cabc;
F: _V-T<-; F _ -4-\Ф0СЬ; F: + Fba _ 0; Fb + Fba _ 0; F' _ Fab; (1.3)
Ad]_ 4?]_ 0; FadCdbc _ FadCdbc _ 0. Кроме того, имеют место следующие равенства:
1) dFab - Fcb0ca - Fab _ 0;
2) dFab + Fcb00 + Fac0b _ 0;
3) dCabc - Cdbc0t - Cadc0b - Cabd00 _ Cabcd® ^ ; (1.4)
4) dCabc + Cdbc0ad + Cadc0b + Cabd0cd _ Cabcdad;
С Л Л Л ad . ¿hd/^a . Aah/^d л ad /•¡h л ad /•¡h л ad h . Aadh
5) dAbc + Abc 0h + Abc 0h - Ahb 0a - Abh 0c _ Abchß + Abc ßh '
где
Ca[bcd ]_ Fa[bFcd ], Ca[cd ]_ Fa[Fcd ], Aa(ch]_ At^ 0, A^Cf ] _ 2CadhC№[cCf ],
Aa[dcgf]c _ 2Cah[dC ]c Aad F ,_ FadF F , AaF^g]_ Fa[d F Fclg]
Abc C ~2C ChbcC , Ab[cF\d\g F Fb[cF\d\g ], Abc F ~F FbcF .
(1.5)
Тождество FadCdbc = 0 называется первым фундаментальным тождеством NC10 -структуры; тождество АоСС^] = 2CadhChb^cCgf] - вторым фундаментальным тождеством; тождество А^ф] = FadFb[cFщg] - третьим фундаментальным тождеством [1, 2].
Предложение 1.1 [3]. ЛС10 -структура является: 1) точнейше косимплектической тогда и только тогда, когда второй структурный тензор равен нулю, то есть F = 0; 2) структурой класса С10 тогда и только тогда, когда первый структурный тензор равен
нулю, то есть С^ = CЛc = 0; 3) косимплектической структурой тогда и только тогда, когда ^ = CЛc = 0, Fab = РЛ = 0.
2. Третье дополнительное тождество кривизны почти контактных метрических многообразий класса NC10
Напомним [3], что существенные ненулевые компоненты тензора Римана-Кристоффеля на пространстве присоединенной С-структуры имеют вид:
1) Rboa = FF; 2) rv = Alt -cadhchbc; (2
3) Ra = 2CabhC 4) Ra = C - FF
' bcd hcd? V bcd ^ acdb 1 ab1 cd'
Применим процедуру восстановления тождества [4, 5] к равенствам
Кы = С°ыъ - Р\ры = 0, = С^ - РаъРсЛ = 0, ^ = Сыъ - РаьРы .
Таким образом, ЕЪЬсй = С'ссЪ - Р\¥сЛ, а значит, в каждой точке
р еМ Я(ес,еа)еь = У^(С)(ес,еа) -^(^Х*с,^(^)). Поскольку векторы {ва} образуют базис подпространства (дф-1)^, это соотношение
равносильно тождеству
R(X, Y )Z = VZ (С )(X, Y ) - F (Z \ X, F (Y )), X, Y, Z e Д
ф •
Учитывая, что эндоморфизм ж = -—(ф2 + >/-Тф) является проектором модуля X (М )
на подмодуль дф-, последнее тождество эквивалентно тождеству:
Я(ф2X, Ф27)ф27 - я(ф2X, Ф7)ф7 - Я(ФХ, Ф27)ф7 - Я(ФХ, Ф7)ф27 = = Уф27 (С )(ф2 X, Ф 27 )- У ф 27 (С )(ФХ, Ф7 ) - Уф7 (С )(ф2 X, Ф7 )-Уф7 (С )(ФX, Ф 27 )- ^ (ф2 7 )ф2 X, ^ (ф 27 )) + ^ (ф2 7 )ФX, ^ (Ф7 )) + ^(Ф7)ф2X, ^(Ф7)) + ^(Ф7, ^ (ф 27)), VX, 7,7 е X(М).
(2.2)
+
Назовем тождество (2.2) третьим дополнительным тождеством тензора римановой кривизны АС-многообразия класса NC10 .
Определение 2.1. АС-многообразие назовем многообразием класса R3, если его тензор римановой кривизны удовлетворяет условию
R(ф2X, Ф2Y)ф2Z = R(ф2X, ФY)ФZ + r(i&X, Ф2Y)фZ + R(ФX, ФY)ф2Z, VX, Y, Z e X(M).
Теорема 2.1. NC10 -многообразие является многообразием класса R3 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры Rdabc = 0.
Доказательство. Пусть NC10 -многообразие является многообразием класса R3. Тогда, согласно определению 2.1, имеет место тождество
R^2X, Ф2Y)ф2Z = R.($>2X, ФY)&Z + R(ФX, Ф2Y)фZ + R(ФX, ФY)ф2Z, VX, Y, Z e X(M), которое на пространстве присоединенной G-структуры перепишется в виде
Rji ф ¿Ф > ктф m Ф.Ф=R)i ФГ Ф^Ф m Ф+RiJkl ФГ ФР Ф.Ф+RiJkl Ф j Ф=о. (2.3)
С учетом (2.1) и вида матрицы Ф, получим 4Щса + 4Ra^= 0, то есть R^cd = 0, = 0.
Обратно, пусть для NC10 -многообразия Racd = 0. Поскольку для NC10 -многообразия имеют место равенства Rad = 0 и R^ = 0, то, применяя процедуру восстановления тождества к равенствам Rbcd = 0, получим
я(ф2X, Ф 2Y)ф 2Z = я(ф2X, ФY)ФZ + r(i&X, Ф 2Y)фZ + R^X, ФY)Ф2Z, VX,Y, Z e X(M). ■
Из определения 2.1 и (2.3) непосредственно следует следующая теорема.
Теорема 2.2. NC10 -многообразие является многообразием класса Я3 тогда и только тогда, когда
2 7 (C )(ф2 X, Ф 2У)- Уф 2 7 (C )(ФХ, ФУ) - Уф2 (C )(ф2 X, ФУ)- Уф2 (C )( , Ф 2У )-- F (ф 27 )ф2 X, F (ф 2У )) + F (ф2 7 )фх, F (ФУ )) + F (Ф7 )ф2 X, F (ФУ )) + + F(Ф7 )фУ, F(ф 2У)) = 0, VX, У, 7 е X(М).
Теорема 2.3. NC10 -многообразие является многообразием класса Я3 тогда и только тогда, когда оно является точнейше косимплектическим многообразием.
Доказательство. Согласно теореме 2.1, NC10-многообразие является многообразием класса Я3 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-структуры Щы = 0, которое с учетом (2.1) примет вид:
C = V V
acdb аЬ cd '
Продифференцировав внешним образом первое фундаментальное тождество NC10 -структуры, получим:
0 = FhaCacdb = F FabFcd, то есть FhaFabFcd = 0.
FahChccb = 0. (2.4)
ha
= FabFcd с обЬек1ом Г
ha
Свернем соотношение Cacdb = FabFcd с объектом F a, тогда с учетом (2.4)
( \
2
Fcd = 0.
Полученное равенство свернем по индексам h и b, тогда имеем ^\^аь\
Vа,ь J
Это произведение равно нулю тогда и только тогда, когда Fab = 0, то есть, согласно предложения 1.1, NC10 -многообразие класса R3 является точнейше косимплектическим многообразием. ■
Как известно [4], точнейше косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению приближенно келерова многообразия на вещественную прямую, тогда теорему 2.3 можно сформулировать в форме.
Теорема 2.4. NC10 -многообразие класса R3 локально эквивалентно произведению
приближенно келерова многообразия на вещественную прямую. Если многообразие М од-носвязно, то указанные локальные эквивалентности можно выбрать глобальными.
Примечания: References:
1. Рустанов А.Р., Харитонова С.В. NC^-многообразия 1. Rustanov A.R., Kharitonova S.V. Class R1 NC10-variety класса R1 // Вестник Адыгейского государственно- // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Nature университета. Сер. Естественно-математические ral-Mathematical and Technical Sciences. 2016. и технические науки. 2016. Вып. 2 (181). С. 48-54. Iss. 2 (181). P. 48-54. URL: http://vestnik.adygnet.ru URL: http://vestnik.adygnet.ru
2. Рустанов А.Р. ЖС10-многообразия класса R2 // 2. Rustanov AR. On NC10-manifolds of class R2 // The Вестник Адыгейского государственного универси- Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-тета. Сер. Естественно-математические и техниче- Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 4 (191). ские науки. 2016. Вып. 4 (191). С. 43-48. URL: P. 43-48. URL: http://vestnik.adygnet.ru
http ://vestnik.adygnet.ru
3. Рустанов А.Р. Многообразия класса NQ0 // Пре- 3. Rustanov A.R. Varieties of NQ0 class // Teacher подаватель XXI век. 2014. № 3. С. 209-218. XXI century. 2014. No. 3. P. 209-218.
4. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометриче- 4. Kirichenko V.F. Differential-geometric structures on ские структуры на многообразиях. 2-е изд., доп. manifolds. Second edition, enlarged. Odessa: Printing Одесса: Печатный дом, 2013. 458 с. House, 2013. 458 pp.
5. Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная 5. Kirichenko V.F., Rustanov A.R. Differential geometry геометрия квазисасакиевых многообразий // Мате- of quasi-Sasakian manifolds // Mathematical Collec-матический сборник. 2002. Т. 193, № 8. С. 71-100. tion. 2002. Vol. 193, No. 8. P. 71-100.
