CC BY
11
УДК 514.76 ББК 22.16 Р 89
Рустанов А.Р.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической и специальной социологии института социально-гуманитарного образования Московского педагогического государственного университета, Москва, e-mail: [email protected]
N С 1 0-многообразия класса R 2
(Рецензирована)
Аннотация. Получены тождества римановой кривизны почти контактных метрических многообразий класса . Получено второе дополнительное тождество тензора римановой кривизны и на его основе выделен подкласс NС10-многообразий, названный классом NС10-многообразий класса R2. Доказано, что этот класс многообразий совпадает с подклассом -многообразий класса . Доказано, что -многообразия, являющиеся почти С (Л)-многообразиями, являются косимплектическими. Получена локальная характеризация этих многообразий.
Ключевые слова: косимплектическая структура, точнейше косимплектическое многообразие, келерово многообразие, тензор Римана-Кристоффеля, почти С(Х)-многообразие, N С 1 0 -многообразие.
Rustanov A.R.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Theoretical and Express Sociology of Institute of Social Arts Education of the Moscow Pedagogical State University, Moscow, e-mail: [email protected]
On N C10-manifolds of class R 2
Abstract. We have obtained the identities of the Riemann curvature of almost contact metric manifolds class NС10. Also an additional second identity of the Riemann curvature tensor has been obtained, and, on its basis subclass of NС10-manifolds, called class of NС10-manifolds of R2 class was allocated. It is proved that this class coincides with the NС10-manifolds of R1 class. It is proved that NС10-manifolds being almost С(X)-manifolds are co-symplectic. Local characterization of these manifolds has been obtained.
Keywords: cosymplectic structure, exactly cosymplectic manifold, Kahler manifold, Riemann-Christoffel tensor, almost С(X)-manifold, NС10-manifold.
0. Введение
В работе [1] был введен в рассмотрение новый класс почти контактных метрических многообразий, обобщающий класс косимплектических и класс точнейше косимплектических многообразий, названные NС10-многообразиями. Изучались NС10-многообразия постоянной кривизны, точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны и N С1 0 -многообразия Эйнштейна. В работе [2] мы продолжили изучение геометрии этого класса многообразий. В частности, исследовали вполне интегрируемые NС10-структуры, показали, что почти эрмитова структура, индуцируемая на интегральных многообразиях максимальной размерности вполне интегрируемого первого фундаментального распределения -многообразия, яв-
ляется приближенно келеровой структурой. А также в работе [2] получено первое дополнительное тождество тензора римановой кривизны и на его основе выделен класс -многообразий и получена локальная характеризация выделенного класса N010-многообразий.
В данной работе мы продолжаем изучение геометрии NС10-многообразий. Работа организована следующим образом. В параграфе 1 напоминаются необходимые для дальнейшего исследования сведения о структурных уравнениях и структурных тензорах NС10-многообразий, параграф носит реферативный характер. Для более подробной информации см. [1, 2]. В параграфе 2 мы продолжаем изучение структурных тензоров, начатое в работе [2]. В частности, подсчитаны компоненты ковариантных производных структурных тензоров на пространстве присоединенной G-структуры. В параграфе 3 получены тождества тензора римановой кривизны N С1 0-многообразий. Получено второе дополнительное тождество тензора римановой кривизны -многообразий. И на его основе выделен класс -многообразий и получена локальная классификация этого класса. Доказано, что этот класс
совпадает с классом Rъ введенным в работе [2]. В параграфе 4 рассматриваются NСг0-многообразия, являющиеся почти С(Я)-многообразиями. Доказано, что они являются ко-симплектическими многообразиями. Доказано, что -многообразие, являющееся почти
С (Я)-многообразием, локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую.
1. Определение почти контактных метрических многообразий класса N С^ 0
Пусть М - гладкое почти контактное метрическое многообразие (коротко, AC-многообразие) размерности 2 п + 1 , Х(М) - С00 - модуль гладких векторных полей на многообразии М. В дальнейшем все многообразия, тензорные поля и т.п. объекты предполагаются гладкими класса С00.
Определение 1.1 [1]. AC-структура, характеризуемая тождеством ^(Ф)Г + Vr( Ф)Х = f vx(t^y + fVr(?7 )ФХ + ?7(^)VoY«r + т/(i^xf, XJ6 X(M), (1.1) называется N С! 0-структурой. AC-многообразие, снабженное N^ 0-структурой, называется N Сх 0 -многообразием.
Полная группа структурных уравнений -структуры на пространстве присоединенной G-структуры имеет вид [1]:
)
)
3 ) do>a = бд До) b + СаЬ соь Лшс + Faba> b Л а); (1.2)
dб b + б" Д бь = (льс — 2 С° ^ьс — Fа CFb с)а с Д а съ
где
V—1 V—1 - _
га b с __(Г, а . ___(Г, а . /-[а b с] _ па b с. п . па be — г .
u _ 2 ФЬ, с' иаЬс _ 2 ФЬ,с< u — ^ . u[ab с] _ uabc u _ uabc
F ab = V—1Ф ° g; Fab = - V—1Ф", b; Fab + F b a = 0 ; Fab+Fb a = 0 ; Feee = Fab;
Л £] = Л bf] = 0 ; Fa сСс b с = Fa сСс b с = 0. (1.3)
Кроме того, имеют место следующие равенства: ) )
)
4) dC2 b с + Сс b сб a + Сас сбД + СаЬ сбсс = Са b сСо с; (1.4)
сь[ь сс] = Fap^], Са[ЬсС] = Fa[bF с с ]. (1.5)
Дифференцируя внешним образом вторую группу структурных уравнений (8), получим
И л ad I л hdna . л ahnd л adnh л adnh _ л ad , .h _i_ л adh.. /1
<2лЬс + лЬсб?1 + ЛЬсб?1 — ЛйсбЬ — ЛЬйбс = ^сЛ^ + льс ^тъ (16)
где
лдсст] = Лйсч = 0, Л^сС5/]с = 2 С^С^сС^с, л b сСС^ /]с = 2 С2^ сС^] с,
Ла^с|5] = F^Fb^Fic^], ЛbCCF|с^] = F^F1^. (1.7)
Тождество F а сСс b с = 0 называется первым фундаментальным тождеством N Сх 0-структуры; тождество Л д^сс^ /-]С = 2 СаСЛСЛь[сС0^]с - вторым фундаментальным тождеством; тождество Л ] =F a cFb[t;F|C|5 ] - третьим фундаментальным тождеством.
Предложение 1.1 [1]. N Сх 0-структура является: 1) точнейше косимплектической тогда и только тогда, когда второй структурный тензор равен нулю, то есть F = 0; 2) структурой класса Сх 0 тогда и только тогда, когда первый структурный тензор равен нулю, то есть Са b с = СаЬ с = 0 ; 3) косимплектической структурой тогда и только тогда, когда .
где
И наконец, напомним [1], что для тензорных компонент формы римановой связности N Сг 0-структуры имеют место следующие соотношения:
1) dg = саЪ сшс; 2) = СаЬсш с'> 3 ) 0q = — Fab0)b; А) в $ = — Fab0)b;
5) e0 = Fab^b; 6) в- = Fab0)b; 7) в0 = 0; 8) в} + в} = 0. (1.8)
2. Структурные тензоры N С ^ 0 -структуры
Тензор С = { С 1}к], Саьс = Саьс, Саьс = СаЬс, все прочие компоненты нулевые, называется первым структурным тензором NС1 0-структуры [1]. Тензор F = {F1}], Fclg = Fab, Fab = F аЬ, все прочие компоненты нулевые, называется вторым структурным тензором NСг0-структуры [1]. На пространстве расслоения всех реперов система функций { С1 }к} удовлетворяет следующим уравнениям:
г!ri _L_ rh ai ri ah ri ah _ ri / \h
аС }к + С ]квh — С hкв } — С ]Ъвк = С }к,Пш . Расписывая эти соотношения, с учетом (1.2), (1.4) и (1.8), на пространстве присоединенной G-структуры, получим:
га _ _radhr . пл га _ nadir . га _ _rabhr
1) С Ъс,й = С сИЬс; 2) С bc,d = С сИЬd; 3) С Ьс,d = С сИсd;
га„ „ _ _гabсd. гч г— _ г . (Г\ г— _ _ГСАНГ
А) С Ь с,Ь = С ; 5) С bс,d = Сabсd; 6) С Ьс,Ь = С Сhab;
г— _ rbdhr . о^ г— _ _rbdun io
7) С Ьс, Ь = С С h а с; 8) С Ьс, d= С С had. (21)
Остальные компоненты нулевые.
Компоненты {Fвторого структурного тензора на пространстве расслоения всех реперов удовлетворяет следующим уравнениям:
aFh ] + Fh] в h — F1 hвf = F \ hC0h,
где {Fh ]hh} - система функций, служащая компонентами ковариантной производной второго структурного тензора. Расписывая эти соотношения, с учетом (1.2), (1.4) и (1.8), на пространстве присоединенной G-структуры, получим:
п 0 _ п псЬ. п 0 _ п пса. i>\ па _ п пса. zi^ па _ п псЬ ¡^ о\
1) F а,Ь = — Ьас? ; 2) F a,b = — FbсF ; 3 ) F 0, b = FbсF ; А) F 0, Ь = Ьас? . (2 2)
Остальные компоненты нулевые.
Применяя процедуру восстановления тождества к соотношениям (2.1) и (2.2), получим свойства ковариантных производных структурных тензоров, сформулированных в следующей теореме.
Теорема 2.1. Тензоры V С и V F удовлетворяют следующим тождествам: 1) Vx(F)i;=0; 2) V^F)(<S>2X) = 0; 3) Vox(F)(OY) = 0; А) V ф2x(F)(<b2Y) = 0; 5) V £С)(Ф2X^2Y) = 0; 6) V £С)(ФХ,Ф Y) = 0;
7) Vф 2x(С)(Ф2Y,Ф2Z) — Vф2x(С)(Ф Y^Z) — Vфx(С)(Ф2Y,ФZ) — Vфx(С)(Ф ^Ф2 Z) = 0 ;
8) Vф 2x(С)(Ф2Y,Ф2Z) — Vф2x(С)(Ф Y^Z) + Vфx(С)(Ф2Y,ФZ) + Vфx(С)(Ф Y , Ф 2Z) = 0 ;
9) Vф2x(С)(Ф2Y,Ф2Z) + Vф2x(С)(Ф Y^Z) — Vфx(С)(Ф2Y,ФZ) + Vфx(С)(Ф ^Ф2 Z) = 0;
10) V ф2x(С)(Ф2Y,Ф2Z) — Vtfx(С)(Ф Y^Z) + Vфx(С)(Ф2Y,ФZ) + Vфx(С)(Ф^Ф2 Z) = 0;
( ).
3. Дополнительное тождество кривизны почти контактных метрических многообразий класса N С ^ о
Напомним [1], что существенные ненулевые компоненты тензора Римана-Кристоффеля на пространстве присоединенной G-структуры имеют вид:
14 оЪ _ п neb. па _ дad radhr
1) К0 0 а = Гас? ; 2) кbсЬ = Аbс — С Сhbс;
3) RBed = 2СаbhС hсd; Rted = Сaсdb — FabFсd■ (31)
Применяя процедуру восстановления тождества [3, 4] к равенствам
о0 _ п0 сп _ п0 пЬ _ пЬсп _ пЬ иЪ _ пЪсп _ пЪ
Я 0 0 а — - -са — - 0, а , Я 0 0 а — - -са — - 0, а- Я 0 0 а — - -са — - 0, а,
мы в работе [2] получили первое дополнительное тождество тензора римановой кривизны ^С-многообразия класса N Сх 0:
я(ф2 х)£ — Уф2 ух е х(м ). (3.2)
Поскольку Ф2 Х — — Х + ?7(Х)^, — 0 , то тождество (3.2) можно записать в виде
ВДХХ —^те УхеХ(м). (3.3)
Теорема 3.1. Тензор римановой кривизны NСх 0 -многообразия удовлетворяет следующим тождествам:
) ( ) ( )
2 ) Я(Х, У)£ — Т7(Х)УГ( — >?( УШ-Х ; ) ( ) ( )
4) Я(£ Ф2 Х)Ф 2У + Я(£ ФХ)Ф Г — vф2 х(-)( Ф2У) + -)( Ф У); УХ, Г е Х(М). (3.4) Доказательство. Применяя процедуру восстановления тождества к равенствам
Я ОаЬ — Я оаЬ — Я ОаЬ — 0 и Я Оа 6 — Я 0а 6 — Я 0а 6 — 0 ,
получим тождества:
Я(Ф2 Х,Ф2У)£ —Я(ФХ,Ф У)£ —0 ; Я(Ф2 Х,Ф2У)^ + Я(ФХ,Ф У)£ — 0 ; УХ,УеХ(М).
Складывая и вычитая почленно эти тождества, получим
( ) ( ) ( ).
Используя соотношения Ф 2 Х — — Х + ?7(ХХ и (3.3), тождество Я(Ф2 Х,Ф2У)£ — 0 записывается в виде
Я(Х, У)£ — т/(ХШ — Т7( УХ, У е Х(М).
Применяя процедуру восстановления тождества к равенствам Я ° 0 Ь — Я с 0 Ь — Я с 0 Ь — 0 , получим тождество
я(£ ф 2 х)ф 2У — Я( фх)ф У — 0, ух, У е х(м ).
И, наконец, применяя процедуру восстановления тождества к равенствам /?0 — _и рсЬ _ п0 р с _ п _ г с г>с _ п _ п-с
Ъ Ъ Ъ Ъ Ъ Ъ ,
получим тождество
Я(£, Ф 2 Х)Ф 2У + Я( £ ФХ)Ф У — VФ2Х(-)(Ф2У) + -)( Ф У), УХ, У е Х(М). ■ Назовем тождество
Я(£, Ф2 Х)Ф 2У + Я( £ ФХ)Ф У — VФ2х(-)( Ф2У) + VфX(-)( Ф У), УХ, У е Х(М),
вторым дополнительным тождеством тензора римановой кривизны N С^ 0-многообразия.
Определение 3.1 [5]. ^С-многообразие называется многообразием класса Я 2, если его тензор римановой кривизны удовлетворяет условию
я( ф2 х)ф2у + Я( фх)ф У — 0, ух, У е Х(м).
Замечание. С учетом равенства (3.3), из теоремы 3.1 условие предыдущего определения для -многообразия примет вид
я(£,ф 2 х)Ф 2У — Я( £,фх)ф у — 0, ух, у е Х(м).
Теорема 3.2. N Сх 0-многообразие является многообразием класса Я 2 тогда и только тогда, когда Vф2 х(-)( Ф2У) + -)( Ф У) — 0, УХ, У е Х(М ).
Доказательство непосредственно следует из определения 3.1 и второго дополнительного тождества тензора римановой кривизны -многообразия.
Теорема 3.3. NСг^-многообразие является многообразием класса R2 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры R°0g = 0.
Доказательство. Пусть NСго-многообразие является многообразием класса R2. Тогда согласно определению 3.1 имеет место тождество
R(Ф2Х)Ф2У + R(ФХ)ФY = 0, УХ, Y е Х(М),
которое с учетом (3.4:3) запишется в виде
R(Ф2Х)Ф2Y = Rtf, ФХ)Ф Y = 0, УХ, Y е Х(М).
На пространстве присоединенной G-структуры тождество R(^ , ФХ)ФY = 0 запишется в виде
R OOjФт Ф k + R ¡0]ФшФ kc + R i0 j Ф тФ k = 0 ,
которое с учетом (3.1) и вида матрицы структурного эндоморфизма примет вид
RО о S$ + R S о ¿ = °, то есть R l Q s = 0.
Обратно, пусть для N Сг о-многообразия R = 0. Поскольку для N Сг о-многообразия имеют место равенства R ca0s = 0 и R caQs = 0 , то, применяя процедуру восстановления тождества к равенствам R la0g = 0 , получим
R((, Ф2Х)Ф2Y + R((, ФХ)ФY = 0, УХ, Y е Х(М). ■
Из теоремы 3.1 [2] и предыдущей теоремы непосредственно следует следующая теорема.
Теорема 3.4. Множество NСго-многообразий класса Rг совпадает с множеством
-многообразий класса .
Замечание. Множество AC-многообразий класса R^ не совпадает с множеством AC-многообразий класса .
Тогда теорема 3.3 из [2] может быть перефразирована в следующем виде:
Теорема 3.5. NСго-многообразие является многообразием класса R2 тогда и только тогда, когда оно является точнейше косимплектическим многообразием.
Используя локальное строение точнейше косимплектических многообразий [2], предыдущую теорему можно сформулировать в форме:
Теорема 3.6. NСго-многообразие класса R2 локально эквивалентно произведению приближенно келерова многообразия на вещественную прямую.
4. Почти С(.)-многообразия класса N 0
Понятие почти С (Л)-многообразий, где Л - вещественное число, было введено и начато их исследование в работе [6]. Впоследствии к этим многообразиям в своих работах обращались З. Олчек и Р. Роска [7], Харитонова С.В. [8] и др. [9-12].
Определение 4.1 [6, 7]. Почти контактное метрической многообразие называется почти С (XX)-многообразием, если его тензор римановой кривизны удовлетворяет соотношению
(.R(Z,W)Y, Х) = (R(Фг,ФW)Y^) —
~Л[д(Х,\У)д( Y,Z) — д(Х,2)д( Y,W) — д(Х,Ф W)g( Y^Z) + д(Х,Ф2)д( Y, Ф W)}, где Х , Y,Z,W е Х(М), а Л - вещественное число.
Определение 4.2 [6, 7]. Нормальное почти С (Л)-многообразие называется С(Л)-многообразием.
Д. Янссен и Л. Ванхекке показали, что косимплектическое многообразие, сасакиево многообразие и многообразие Кенмоцу являются соответственно С( 0), С( 1) и С(—1)-многообразиями [6]. Имеет место следующая теорема.
Теорема 4.1 [8]. AC-многообразие является почти С (X)-многообразием тогда и только тогда, когда компоненты его тензора римановой кривизны на пространстве присоединенной G-структуры удовлетворяют соотношениям: Rqgcd = ЛSRqо bо = ЛSb, Rqbcs -
любое, в силу тождества Риччи, удовлетворяющее тождеству Я аЬс ъ — Я асЬа — —Я 50(г, где Я - вещественное число, 5£а — ^а^д? — 5а 5С, а остальные компоненты нулевые.
Пусть М - N С, 0-многообразие, являющееся почти С (Я)-многообразием. С учетом теоремы 4.1 соотношения (3.1) можно записать в виде:
1 ) Я 0а 0 — — —ас- сЬ — Я 5а; 2 ) Я Ъс? — 2 Са Ь — Я 5«г'; 4) Я Ьс? — Са с? Ь — -аЬ-с? — 0 ■ (41)
Теорема 4.2. N0, 0-многообразие, являющееся почти С (Я)-многообразием, является С( 0 )-многообразием.
Доказательство. Свернем третье фундаментальное тождество N С, 0-многообразия по индексам а и Ъ , тогда с учетом (4.1:1) получим: А а—сь — А Ь—са — 2 Я—а ь. Полученное равенство свернем с объектом —а?, тогда с учетом (4.1:1) получим: А а—сЬ— а? — ЯА Ь — . Наконец, свернем последнее равенство по индексам и , тогда , то
есть . ■
Учитывая результат Д. Янссен и Л. Ванхекке [6], что косимплектическое многообразие является С( 0 )-многообразием, а также учитывая, что косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую, предыдущую теорему можно сформулировать в следующем виде.
Теорема 4.3. -многообразие, являющееся почти ( )-многообразием, то есть
косимплектическим многообразием, а значит, локально эквивалентно произведению келеро-ва многообразия на вещественную прямую.
Примечания:
1. Рустанов А.Р. Многообразия класса NC10 // Преподаватель XXI век. 2014. № 3. С. 209-218.
2. Рустанов А.Р., Харитонова С.В. NC^-многообразия класса R // Вестник Адыгейского университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2016. Вып. 2(181). С. 48-54. URL: http://vestnik.adygnet.ru
3. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. 2-е изд., доп. Одесса: Печатный дом, 2013. 458 с.
4. Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий // Мате-магический сборник. 2002. Т. 193, № 8. С. 71-100.
5. Рустанов А.Р., Швецова И.И. Тождества кривизны для квази-сасакиевых многообразий // Вестник ЗабГУ. 2014. № 10(113). С. 34-43.
6. Janssen D., Vanhecke L. Almost contact structures and curvature tensors // Kodai Math. J. 1981. No. 4. P. 1-27.
7. Olszak Z., Rosca R. Normal locally conformal almost cosymplectic manifolds // Publ. Math. Debrecen. 1991. Vol. 39, No. 3-4. P. 315-323.
8. Харитонова С.В. Почти С(Х)-многообразия // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16, № 2. С. 139-146.
9. Рустанов А.Р., Харитонова С.В., Казакова О.Н. О двух классах С(Х)-многообразий // Вестник ОГУ. 2015. № 3(178). С. 228-231.
10. Akbar А. Some results on almost C(X)-manifolds // International Journal of Mathematical Sciences Engineering and Applications (IJMSEA). 2013. Vol. 7, No. 1. Р. 255-260.
11. Akbar А., Sarkar A. On the Conharmonic and Concircular curvature tensors of almost C(X)-manifolds // International Journal of Advanced Mathematical Sciences (IJMSEA). 2013. Vol. 1, No. 3. Р. 134-138.
12. Akbar А. Some curvature properties of almost C(X)-manifolds // International Journal of Mathematical Sciences Engineering and Applications (IJMSEA). 2013. Vol. 7, No. 1. Р. 363-369.
References:
1. Rustanov A.R. Varieties of NC10 class // Teacher XXI century. 2014. No. 3. P. 209-218.
2. Rustanov A.R., Kharitonova S.V. Class R1 NC10-variety // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 2(181). P. 48-54. URL: http://vestnik.adygnet.ru
3. Kirichenko V.F. Differential-geometric structures on manifolds. Second edition, enlarged. Odessa: Printing House, 2013. 458 pp.
4. Kirichenko V.F., Rustanov A.R. Differential geometry of quasi-Sasakian manifolds // Mathematical Collection. 2002. Vol. 193, No. 8. P. 71-100.
5. Rustanov A.R., Shvetsova I.I. The identities of the curvature for quasi-Sasakian manifolds // Bulletin of ZabSU. 2014. No. 10(113). P. 34-43.
6. Janssen D., Vanhecke L. Almost contact structures and curvature tensors // Kodai Math. J. 1981. No. 4. P. 1-27.
7. Olszak Z., Rosca R. Normal locally conformal almost cosymplectic manifolds // Publ. Math. Debrecen. 1991. Vol. 39, No. 3-4. P. 315-323.
8. Kharitonova S.V. Almost C(X)-manifolds // Fundamental and Applied Mathematics. 2010. Vol. 16, No. 2. P. 139-146.
9. Rustanov A.R., Kharitonova S.V., Kazakova O.N. On two classes of C(X)-manifolds // OSU Bulletin. 2015. No. 3(178). P. 228-231.
10. Akbar A. Some results on almost C(X)-manifolds // International Journal of Mathematical Sciences Engineering and Applications (IJMSEA). 2013. Vol. 7, No. 1. P. 255-260.
11. Akbar A., Sarkar A. On the Conharmonic and Concircular curvature tensors of almost C(X)-manifolds // International Journal of Advanced Mathematical Sciences (IJMSEA). 2013. Vol. 1, No. 3. P. 134-138.
12. Akbar A. Some curvature properties of almost C(X)-manifolds // International Journal of Mathematical Sciences Engineering and Applications (IJMSEA). 2013. Vol. 7, No. 1. P. 363-369.
