CC BY
8
УДК 514.76 ББК 22.1 Р 89
Рустанов А.Р.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической и специальной социологии Института социально-гуманитарного образования Московского педагогического государственного университета, Москва, e-mail: aligadzhi@yandex.ru
Харитонова С.В.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии и компьютерных наук Оренбургского государственного университета, Оренбург, e-mail: hcb@yandex.ru
Казакова О.Н.
Кандидат педагогических наук, доцент кафедры геометрии и компьютерных наук Оренбургского государственного университета, Оренбург, e-mail: olnikka@yandex.ru
NClo-многообразия класса R4
(Рецензирована)
Аннотация. Получены четвертое и пятое тождества римановой кривизны почти контактных метрических многообразий класса NC10. На основе этих тождеств выделены классы ЫС10-многообразий и получены локальные строения выделенных классов NC ¡(-многообразий. Получено строение тензора Ф-голоморфной секционной кривизны NC¡g-многообразия и изучены свойства этого тензора.
Ключевые слова: косимплектическая структура, тензор Ф-голоморфной секционной кривизны, приближенно келерово многообразие, точнейше косимплектическая структура, тензор Римана-Кристоффеля, NC¡0-многообразие класса R4.
Rustanov A.R.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Theoretical and Express Sociology of Institute of Social Arts Education of the Moscow Pedagogical State University, Moscow, e-mail: aligadzhi@yandex.ru
Kharitonova S.V.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Geometry and Computer Science Department, Orenburg State University, Orenburg, e-mail: hcb@yandex.ru
Kazakova O.N.
Candidate of Pedagogy, Associate Professor of Geometry and Computer Science Department, Orenburg State University, Orenburg, e-mail: olnikka@yandex.ru
NC10-manifolds of class R4
Abstract. In this paper we obtain the fourth and fifth identities of the Riemannian curvature of almost contact metric manifolds of the class NC10 On their basis, the classes NC1(rmanifolds are distinguished and local structures of the distinguished classes NC10-manifolds are obtained. The structure of the tensor Ф-holomorphic sectional curvature NC10-manifold is obtained and the properties of this tensor are studied.
Keywords: cosymplectic structure, tensor of the Ф-holomorphic sectional curvature, approximately Kähler manifold, finitely cosymplectic structure, Riemann-Christoffel tensor, NC10-manifold of class R4.
Введение
В работе [1] был введен в рассмотрение новый класс почти контактных метрических многообразий, обобщающий косимплектические и точнейше косимплектические многообразия. Этот класс был назван классом NC10. В статьях [2, 3] мы изучали геометрию тензора римановой кривизны NC1o-многообразий. Представляет интерес изучение геометрического смысла обращения в нуль одного из элементов спектра тензора римановой кривизны, являющегося дополнительным дифференциально-геометрическим инвариантом второго порядка. В частности, были выделены классы R1, R2, R3 NC10-многообразий и получена их локальная характеризация. В данной работе мы завершаем изучение геометрии тензора ри-мановой кривизны NC10-многообразий. Основным методом исследования является метод присоединенной G-структуры в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля.
Работа организована следующим образом. В параграфе 1 напоминаются необходимые для дальнейшего исследования сведения об NC10-многообразиях, получено аналитическое выражение тензора Ф-голоморфной секционной кривизны и изучены свойства этого тензора.
В параграфе 2 получено четвертое дополнительное тождество тензора римановой кри-
визны ЛС10-многообразия, на его основе выделяем класс Я4 ЛС10-многообразий. Доказано, что ЛС10-многообразие класса Я4 с нулевым тензором Ф-голоморфной секционной кривизны является Сю-многообразием.
В параграфе 3 получено пятое тождество римановой кривизны, являющееся следствием четвертого тождества. На основе этого тождества выделили класс Я5 ЛС10-многообразий и доказали, что этот класс многообразий совпадает с классом Сю-многообразий.
1. Тензор Ф-голоморфной секционной кривизны почти контактных метрических многообразий класса МСю
Пусть М - гладкое почти контактное метрическое многообразие размерности 2п +1, Х(М) - Сш -модуль гладких векторных полей на многообразии М. В дальнейшем все многообразия, тензорные поля и т.п. объекты предполагаются гладкими класса Сш.
Определение 1.1 [1]. АС-структура, характеризуемая тождеством
Ух(ф)У + Уу (ф)Х = £УХ(;7)ФУ + у(фх + + Х,У е Х(М), (1.1)
называется КСю-структурой. АС-многообразие, снабженное ЛС10-структурой, называется МСюг многообразием.
Полная группа структурных уравнений ЛС10-структуры на пространстве присоединенной С-структуры имеет вид [3]:
1) ёо = РаЬоа люЬ + РаЬюа лоЬ;
2) йоа =-в1 Л0Ь + СаЬсоъ л о с + РСьюъ л о;
3) С(С =#Ь Л(Ь + СсЬс( л( + РаЬ( Л( (1.2)
'а ~wa ' ^-abc™ 1 * abL
4) dea +ва Авс=Ad -2cadhchbc -FadFbcу л
где
Fab =-V-l$a,b; Fab = 7-"!®^; Fb +Fba = 0; Fa +Fba = 0; Fab = FA ; ^ v-r sf^a z^abc v-r
Cabc 2 b,c ; C ~ 2 b,c ; Cabc~C[abc]; C ~C ;
где
С^ = С aЬc; А[ЬС] = 4?] = 0; FadСdbc = FadСdbc = 0. (1.3)
При этом справедливы следующие равенства:
1) dFaь - Fcьв: — РаД = 0;
2) dFaЬ + FcЬвa + Расв1 = 0;
3) dСabc — САс@а — СССС^Ь — ССЬС^С = ССЬСС( ;
4) ССаЬс + С^ + С^ + СсЬС0; = С^Ю ; (1.4)
5) 4 + + АЬОС^^С — 41^ — 4^ = 4>' + 4?®,
С = Р Р • Сс[ЬсС] = ра[Ь РсС] • А^ = Аа[сй] = 0- (1 5)
^с[ЬсС] _ ^ а[Ь сС]> ^ _ ^ 1 5 ЛЬ[с^ _ ЛЬс _ V1--','
4Ь[сС&]С ~ 2С ]С ; 4Ьс С ~ 2СhЬcС С ;
А^р = РсС Р Р - л^рк^] = Я Ра[|с^]
|d|g] 1 1 Ь[с* |d|gР ^Ьс 1 1 Ьс1 1
Тождество Р'"сСс1Ьс = 0 называется первым фундаментальным тождеством ЫСю-структуры; тождество 4aсlcСgf= 2Сс"снСщсС^- вторым фундаментальным тождеством; тождество АЬ^Р^] = ] - третьим фундаментальным тождеством [2, 3].
Предложение 1.1 [1]. ЫСю-структура является: 1) точнейше косимплектической тогда и только тогда, когда второй структурный тензор равен нулю, то есть Р = 0;
2) структурой класса Сю тогда и только тогда, когда первый структурный тензор равен нулю, то есть Cabc = СЛс = 0 ; 3) косимплектической структурой тогда и только тогда,
когда Cabc = Cabc = 0, F* = Fab = 0.
Согласно (1.4:5), система функций {аьС }, глобально определенная на пространстве присоединенной G-структуры, симметричная по верхним и нижним индексам, образует чистый тензор на M2n1, называемый тензором Ф-голоморфной секционной кривизны [4]. Тензор ä : X(M) х X(M) х X(M) ^ X(M) задается формулой
Ä(X,Y,Z) = ÄbaadXbYcZdea + AdXbYcZdea. (1.6)
Теорема 1.1. Тензор Ф-голоморфной секционной кривизны ЫСю-многообразия обладает свойствами:
1) А(ФХ, Y, Z) = A(X, OY, Z) = -A(X, Y, OZ) = Ф ° Ä(X, Y, Z);
2) A(X, Y, Z) = A(Y, X, Z);
3) r°Ä(X,Y,Z) = 0; (1.7)
4) A(£Y,Z) = A(X,Y,¿;) = 0, VX, Y, Z e X(M) . Доказательство. 1) В самом деле,
Ä(OX,Y,Z) = Äaadd(OX)bYcZdea + A^{OX)bYcZ-ea = 4-1ÄldcXbYcZdea -
-V-lAbcdXbYcZ-ea =-ÄfcXbYc(OZ)-ea - аЦXbYc(OZ)-ea =-A(X,Y,OZ)
и
Ф ° Ä(X,Y,Z) = o(AbacdXbYcZd e a + А;- XbYc Z - e a )= ÄfcXbYcZd O(e) a + Ab- XbYc Z-Ф(е *) = = 4-\AfcXbYcZdea -уГлА*!XbYcZäea = Ä(OX,Y,Z), VX,Y,Z e X(M).
2) Поскольку Äbdc] = 0, то
Ä(X,Y,Z) = Ä?cXbYcZd e * + А*: XbYc Z-e * = = AadXbYcZdea + ä|XbYcZ-e* = Ä(Y,X,Z), VX,Y,Z e X(M).
3) Так как rt(sa) = ra = 0 и r(e a) = Ла = ^ то
Л ° Ä(X,Y,Z) = r{ÄbacdXbYcZd e * + Ä* XbYc Z-e * )= Ä?cXbYcZd r(e) * + + А-XbYcZ-r(ea) = ÄfcXbYcZdr + Ä^XbYcZär = 0, VX,Y,Z e X(M) .
4) С учетом равенств E,а = E,а = 0 имеем:
и
Ä(Z,Y,Z) = Äbad eYcZd e a + ÄbC ibYc Z-e * = 0
ad
bc "" "эd ~а ' "~"bC
Ä(X,Y£) = Ä*:XbYc$-e* + ÄadXbYc$,e* = 0, V^Y,Z e X(M). ■
В работе [1] доказана следующая теорема.
Теорема 1.2 [1]. ЫСю-многообразие М является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с тогда и только тогда, когда на пространстве при-
соединенной О-структуры тензор Л^ имеет вид Л^ = 8ьас , где 8ьас = 8Ь,8С +8ъ8ас . Применим процедуру восстановления тождества [4, 5] к равенствам:
ЛС = -2 8Т = 2 ( )= 0; Л£ = -2 8£ = 1 (88 + 8^);
Ad = c btd=1 («ъ sd+sd sa )=o,
то есть 4Ьс = 25г£ = 2(^Ь^ ). С учетом (1.6) последнее равенство запишем в виде:
4((, в с, в с )= 2 (е с, е + еДбь, в Поскольку векторы {е с }, {еЬ } образуют базисы подпространств оф^1 и 1 соответственно, а проекторами модуля Х(М) на подмодули Дф"1 и Дф^1 являются эндоморфизмы Ж = — 2 (ф2 +л/—1ф) и Ж = — -2 (—Ф2 +л/—1ф), то
последнее равенство запишется в виде:
+ л/-!ФХ ®Y +V-,-Ф'Z + V-
а(ф 2 X+V-гфх , Ф 2Y+V-!®Y ,-Ф2 Z + V-r®z )=
= -2-{(ф 2 x+4-\фх ^ф 2y+4-\фу ,-ф 2 z + V-r®z) +
(ф2Y + V-r®Y^Ф2X + V-ГФХ,-Ф2Z + V-r®z)}, VX, Y, Z е X(M).
Расписывая полученное равенство по линейности и выделяя действительную и мнимую части, получим эквивалентное тождество:
А(ф2 X, ф 2У, ф2 7 ) + А(ф2 X, ФY, Ф7 ) + 4(фХ, ф 2Y, Ф7) — 4(фХ, ФY, ф2 7 ) =
= 2{Ф2 Х( Ф 2Y, Ф2 Z) + Ф2 Х( ®Y, ®Z) + ФХ( Ф 2Y, ®z) - ФХ( ®Y, Ф2 Z) +
+ Ф2y(Ф2х, Ф2Z) + Ф YФХ, ®Z) + ®y(Ф2X, ®z) - Ф y(ФХ, Ф2Z)}, VX, Y, Z е X(M).
С учетом теоремы 1.1 и равенств (ФХ, ®Y) = ( X, Y) - r( X )r(Y), Ф2 X = - X + r( X )£ и Q(X, Y) = {X, ®Y) последнее тождество можно записать в виде:
A(X, Y, Z) = 2{Ф2Х(®Y, ®Z) + Ф2Х(ФY, ®Z) - ®XQ(Y, Z)- ®YQ(X, Z)}, VX, Y, Z е X(M). Таким образом, имеет место следующая теорема.
Теорема 1.3. Тензор Ф-голоморфной секционной кривизны NCio-многообразия имеет вид: A(X, Y, Z) = 2{Ф2Х(®Y, ®Z) + Ф2Х(ФY, ®Z) - ®XQ(Y, Z)- ®YQ(X, Z)}, VX, Y, Z е X(M).
2. Четвертое дополнительное тождество кривизны почти контактных метрических многообразий класса NC10
Напомним [1], что существенные ненулевые компоненты тензора Римана-Кристоффеля на пространстве присоединенной G-структуры имеют вид:
1) Roa = FF ;
2) RL = AOd - CadhChbc;
3) Racd = 2cabhchcd;
4) Rbcd = Cacdb - FabFcd . (21)
Применим процедуру восстановления тождества [4, 5] к равенствам
Kd = A0d -C0dhChbc = 0, Rabc- = Aad -CadhChbc, Raacä = Aad -CadhC№c = 0.
Таким образом, R'bc~ = Aldc - C'dhChbc = Aldc - C'bc~, а значит, в каждой точке p е M R(s c, s ^ )в ъ = a(s ъ , s c, s - )+Ve. (C )(s ъ , s c). Поскольку векторы {s a}, { ~} образуют базисы под-
пространств Dф-1 и Dф"^"1 соответственно, а проекторами модуля X(M) на подмодули
2 , ^ и 7 = -—1-Ф"+л/- 1Ф), то
D^- и D-^- являются эндоморфизмы 7 - --2 (ф2 +л/-Гф) и 7 - --2(-Ф2 + V=—ф)
последнее равенство запишется в виде:
+ л/-Гф7,-ФZ +V-1—Z АФ'А + V-
^(ф 2 Y + V-ТФ Y ,-Ф2 Z + V-—-Z )ф2 X + V-ТФХ) =
^(ф 2 x +т-гфх , ф 2y+уг—фу ,-ф 2 z+^г—фz)+
+ У Ф27(с)(ф2X + уПфх, Ф2¥ + уПФ¥) УХ, ¥, 7 е Х(М).
Расписывая полученное равенство по линейности и выделяя действительную и мнимую части, получим эквивалентное тождество:
Я(Ф2X, Ф 2¥)Ф27 + Я(Ф2X, Ф¥)Ф7 - Я(ФХ, Ф2¥)Ф7 + Я(ФХ, Ф¥)Ф27 = = А(Ф2 X, Ф 2¥, Ф2 7 ) + А(Ф2 X, Ф¥, Ф7 ) + А(ФХ, Ф 2¥, Ф7 ) - А(ФХ, Ф¥, Ф2 7 ) + + УФ 2 7 (с )(ф 2 X, Ф 2¥ )- УФ 2 7 (с )(ФХ, Ф¥ ) + уф7 (с )(ф2 X, Ф¥ )+
+ ^ф7 (С)(ФХ, Ф2¥) УХ, ¥, 7 е Х(М).
С учетом теоремы 1.1 и теоремы 2.1 [3] последнее тождество примет вид:
Я(Ф2 X, Ф 2¥ )Ф2 7 + Я(Ф2 X, Ф¥ )Ф7 - Я(ФХ, Ф 2¥ )Ф7 + Я(ФХ, Ф¥ )Ф2 7 = = -4 А( X, ¥, 7 ) + Уф 2 7 (С )(Ф2 X, Ф 2¥ )- Уф 2 7 (С )(ФХ, Ф¥ ) +
+ УФ7 (С)(Ф2X, Ф¥)+Уф7 (С)(ФХ, Ф2¥) УХ, ¥, 7 е Х(М). (2.2)
Назовем тождество (2.2) четвертым дополнительным тождеством тензора римано-вой кривизны АС-многообразия класса ЫС10.
Определение 2.1. АС-многообразие назовем многообразием класса Я4, если его тензор римановой кривизны удовлетворяет условию:
Я(Ф2X, Ф2¥)Ф27 + Я(Ф2X, Ф¥)Ф7 - Я(ФХ, Ф2¥)Ф7 + Я(ФХ, Ф¥)Ф27 = 0, УХ, ¥, 7 е Х(М).
Теорема 2.1. ЫСю-многообразие является многообразием класса Я4 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной О-структуры Я^ = 0.
Доказательство. Пусть ЫС10-многообразие является многообразием класса Я4. Тогда, согласно определению 2.1, имеет место тождество
Я(Ф2X, Ф2¥)Ф27 + Я(Ф2X, Ф¥)Ф7 - Я(ФХ, Ф2¥)Ф7 + Я(ФХ, Ф¥)Ф27 = 0, УХ, ¥, 7 е Х(М), которое на пространстве присоединенной О-структуры перепишется в виде:
Я1 Ф ;Ф кФк Ф тФ1 Ф* + Я1 Ф ;Фк Ф тФ1 - Я1 Ф ;Фк Ф1 + Я1 Ф ;Ф кФк Ф1 = 0
¿Ы к г т р * д ]к\ г т р д ]к1 г р * ]к\ к г р д
С учетом (2.1) и вида матрицы Ф получим 4Я? - + 4Я? = 0, то есть ЯЬ^ = 0,
RL = °.
Обратно, пусть для ЛгС1°-многообразия R- 0. Поскольку для #Ст°-многообразия
имеют место равенства Я^ = 0 и Я V = 0 , то применяя процедуру восстановления тождества к равенствам Я'Ьа- = 0 , получим:
Я(Ф2 X, Ф 2¥ )Ф2 7 + Я(Ф2 X, Ф¥ )Ф7 - Я(ФХ, Ф 2¥ )Ф7 + + Я(ФХ, Ф¥)Ф27 = 0, УХ, ¥, 7 е Х(М) . ■
Из определения 2.1 и (2.2) непосредственно следует следующая теорема. Теорема 2.2. Тензор Ф-голоморфной секционной кривизны ЫСк-многообразия класса Я4 имеет вид
A(X, Y, Z ) = 1{Уф 2 z (С )(Ф2 X, Ф 2Y )- Уф 2 Z (С )(ФХ, ФУ ) -
+ УФ2 (с)(ф2X, ФУ)+УФ7 (с)(ФХ, Ф2У)}, УХ,У, 7 е Х(М).
Теорема 2.3. ЫСю-многообразие класса Я4 с нулевым тензором Ф-голоморфной секционной кривизны является многообразием класса Сш
Доказательство. Согласно теореме 2.1, ЛС1о-многообразие является многообразием класса Я4 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-структуры Я" ? = 0 с учетом (2.1) примет вид:
Afc = CadhCbcC. (2.3)
Если многообразие имеет нулевой тензор Ф-голоморфной секционной кривизны, то CadhChbc = 0. Сворачивая последнее равенство сначала по индексам a и b, затем по индексам c и d, получим ^ |Cabc|2 = CabcCabc = 0, то есть Cabbc = 0, то есть многообразие, со-
abc
гласно предложению 1.1, является многообразием класса Ci0. ■
Пусть M2n+1 - ЛгC10-многообразие класса R4 с нулевым тензором Ф-голоморфной секционной кривизны. Третье фундаментальное тождество с учетом (2.3) запишется в виде:
F = Fad F F
'hb[cr\d\g ]~r rb[cr\d\g ]
' Fad\ _
bc dg bg dc
СаЛСщсГщг] = Ра?РЪ[СР\?\8]. Полученное тождество с учетом первого фундаментального тождества запишется в форме Р^Р^Р^ = Ра?Рърйс ■ Свернем это равенство по индексам а и Ъ, тогда получим: РайРс^сРЛ„ = Р<а1Р<шР<к . В правой части переобозначим немые индексы а и
ас dg ag ?с
тогда Р^РР = Р^Р^Рас ="Ра£РРф , то есть РсаРа?Р^ = 0, то есть (р2(еДР(е8) = 0. В силу свойств второго структурного тензора (см. предложение 4 [1]) (р3 (ес), е^ = 0 и в силу
невырожденности метрики получим Р = 0. Значит, согласно предложению 1, многообразие является плоским косимплектическим. Учитывая локальное строение косимплектических многообразий [4], теорему 2.3 можно сформулировать следующим образом.
Теорема 2.4. ЫСю-многообразие класса Я4 с нулевым тензором Ф- голоморфной секционной кривизны локально эквивалентно произведению плоского келерова многообразия на вещественную прямую. Если многообразие односвязно, то указанные локальные эквивалентности можно выбрать глобальными.
Поскольку всякое полное односвязное келерово многообразие нулевой голоморфной секционной кривизны изометрично комплексному евклидову пространству С", снабженному стандартной эрмитовой метрикой ((у)) = ds2, в каноническом атласе задаваемой соотношением
то, подытожив вышеизложенное, сформулируем следующую теорему.
Теорема 2.5. №Сю-многообразие класса Я4 с нулевым тензором Ф-голоморфной секционной кривизны локально эквивалентно произведению комплексного евклидова пространства С" на вещественную прямую, снабженной канонической косимплектической структурой.
3. Пятое дополнительное тождество кривизны почти контактных метрических многообразий класса ^Сю
Как известно [4], тензор Римана-Кристоффеля обладает тождеством Риччи, то есть Я(Х, У )7 + Я(У, 7 )Х + Я(7, X )У
= 0, которое на пространстве присоединенной С-структуры примет вид: я«? + Я<~ъ + Я= 0. Из последнего равенства следует, что из равенства Яъы = 0 следует равенство ЯЪ = 0. Поэтому представляет интерес исследовать геометрический смысл равенства нулю компоненты Я.
Применив процедуру восстановления тождества ([4, 5]) к равенствам Я? = 0,
R-L = 2С-Сйс, Rlc = о, получим:
Я(Ф2 X, Ф 2У )Ф2 Z + R(Ф2 X, ФУ )Ф1 - R(ФX, Ф 2У )Ф1 + R(ФX, ФУ )Ф2 Z = = 2{УФ 2 Z (С )(ф 2 X, Ф 2У )- уФ 2 Z (С )(ФХ, ФУ )+Vфz (С )(ф 2 X, ФУ )+
+ VФZ(С)^X,Ф2У)}, VX, Y,Z е X(M). (3.1)
Назовем тождество (3.1) пятым дополнительным тождеством тензора римановой кривизны ^С-многообразия класса NC10.
Определение 3.1. ^С-многообразие назовем многообразием класса R5, если его тензор римановой кривизны удовлетворяет условию:
R^2 X, Ф 2У )Ф2 Z + R^2 X, ФУ ф - R(ФX, Ф 2У )ФZ +
+ R(ФX, ФУ)Ф2Z = 0, VX, У, Z е X(M).
Из определения 3.1 и (3.1) вытекает справедливость следующей теоремы.
Теорема 3.1. NCic-многообразие является многообразием класса R5 тогда и только тогда, когда
Vф 2 z (C )(ф 2 X, Ф 2У)- Vф 2 Z (C )^X, ФУ) +
+ V<5Z (C)(ф2X, ФУ)+VM (C)(ФX, Ф2У)= 0, VX, У, Z е X(M).
Теорема 3.2. NCio-многообразие является многообразием класса R5 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры R^ = 0.
Доказательство данной теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 2.1, и мы опустим его.
Теорема 3.3. NCic-многообразие является многообразием класса R5 тогда и только тогда, когда многообразие является Сю-многообразием.
Доказательство. Из (2.1:3) и теоремы 3.3 следует, что МС10-многообразие является многообразием класса R5 тогда и только тогда, когда СаЪЪСш = 0 . Свертывая последнее равенство сначала по индексам a и d, затем по индексам c и b, получим ^аЪсСаЪс| = СЛсСЛс = 0, то есть СЪс = 0, то есть многообразие, согласно предложению 1.1,
является многообразием класса С10. Поскольку для ^С-многообразия класса С10 СаЪс = 0, оно является, согласно теореме 3.3, многообразием класса R5. ■
Примечания: References:
1. Рустанов А.Р. Многообразия класса NC10 // Пре- 1. Rustanov A.R. Varieties of NC10 class // Teacher подаватель XXI век. 2014. № 3. С. 209-218. XXI Century. 2014. No. 3. P. 209-218.
2. Рустанов А.Р., Харитонова С.В. NC^-многообразия 2. Rustanov A.R., Kharitonova S.V. Class R1 NC10-variety класса R1 // Вестник Адыгейского государственно- // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Nature университета. Сер. Естественно-математические ral-Mathematical and Technical Sciences. 2016. и технические науки. 2016. Вып. 2 (181). С. 48-54. Iss. 2 (181). P. 48-54. URL: http://vestnik.adygnet.ru URL: http://vestnik.adygnet.ru
3. Рустанов А.Р. Ж10-многообразия класса R2 // 3. Rustanov AR. On NC10-manifolds of class R2 // The Вестник Адыгейского государственного универси- Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-тета. Сер. Естественно-математические и техниче- Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 4 (191). ские науки. 2016. Вып. 4 (191). С. 43-48. URL: P. 43-48. URL: http://vestnik.adygnet.ru http://vestnik.adygnet.ru
4. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометриче- 4. Kirichenko V.F. Differential-geometric structures on ские структуры на многообразиях. 2-е изд., доп. manifolds. 2nd ed., enlarged. Odessa: Printing House, Одесса: Печатный дом, 2013. 458 с. 2013. 458 pp.
5. Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная 5. Kirichenko V.F., Rustanov A.R. Differential geometry геометрия квазисасакиевых многообразий // Мате- of quasi-Sasakian manifolds // Mathematical Collec-матический сборник. 2002. Т. 193, № 8. С. 71-100. tion. 2002. Vol. 193, No. 8. P. 71-100.
