Свойства интегрируемости обобщенных многообразий Кенмоцу Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2018, Том 20, Выпуск 3, С. 4^20

УДК 514.76

DOI 10.23671 /VNC.2018.3.17829

СВОЙСТВА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ОБОБЩЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ КЕНМОЦУ

А. Абу-Салеем1, А. Р. Рустанов2, С. В. Харитонова3

1 Университет Аль аль-Вайт, Иордания, Аль Джубэйха, 25113, Аль-Мафрака; 2 НИУ МГСУ, Институт фундаментального образования, Россия, 129337, Москва, Ярославское шоссе, 26; 3 Оренбургский государственный университет, Россия, 460000, Оренбург, пр. Победы, 13 E-mail: dr_ahmad57@yahoo.com, aligadzhi@yandex.ru, hcb@yandex.ru

Аннотация. Статья посвящена обобщенным многообразиям Кенмоцу, а именно исследованию их свойств интегрируемости. Исследование ведется методом присоединенных G-структур, поэтому вначале построено пространство присоединенной G-структуры почти контактных метрических многообразий. Далее определяются обобщенные многообразия Кенмоцу (короче GK-многообразия), приводится полная группа структурных уравнений таких многообразий. Определены первое, второе и третье фундаментальные тождества GK-структур. Сформулированы определения специальных обобщенных многообразий Кенмоцу (SGK-многообразий) I и II родов. В работе исследуются GK-многообразия, первое фундаментальное распределение которых вполне интегрируемо. Показано, что почти эрмитова структура, индуцируемая на интегральных многообразиях максимальной размерно-

GK

GK

второго структурных тензоров. Также в работе вычислены компоненты тензора Нейенхейса GK-многообразия. Поскольку задание тензора Нейенхейса равносильно заданию четырех тензоров N(1), N(2), N(3), N(4) , то исследуется геометрический смысл обращения в нуль этих тензоров. Получено

GK

GK

Теорема. Пусть M — GK-многообразие. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1) GK-многообразие имеет замкнутую контактную форму; 2) Fab = Fab = 0; 3) N(2) (X, Y) = 0; 4) N(3) (X) = 0; 5) M — второго рода; 6) M — локально канонически конциркулярио произве-

дению приближенно келерова многообразия на вещественную прямую.

Ключевые слова: обобщенное многообразие Кенмоцу, многообразие Кенмоцу, нормальное многообразие, тензор Нейенхейса, интегрируемая структура, приближенно келерово многообразие. Mathematical Subject Classification (2000): 58А05.

1. Введение

В 1972 г. Кенмоцу [1] ввел в рассмотрение новый класс почти контактных метрических структур, характеризуемых тождеством

Vx= (ФX,Y}- n(Y)ФХ, X,Y € X(M).

© 2018 Абу-Салеем А., Рустанов A. P., Харитонова С. В.

Структуры Кенмоцу естественно возникают в классификации Танно связных почти контактных метрических многообразий, группа автоморфизмов которых имеет максимальную размерность [2]. Они обладают рядом интересных свойств. Например, структуры Кенмоцу нормальны и интегрируемы, они не являются ни сасакиевыми структурами, ни косимплектическими структурами. Известны примеры структур Кенмоцу на нечетномерных пространствах Лобачевского кривизны (-1). Такие структуры получаются с помощью конструкции косого (warped) произведения R х f Cn в смысле Бишопа и О'Нейла [3] комплексного евклидова пространства и вещественной прямой, где f (t) = ce*. Всякое конформно-плоское многообразие Кенмоцу, а также локально-симметрическое многообразие Кенмоцу локально эквивалентно многообразию Кенмоцу такого типа [1]. Кириченко В. Ф. [4] доказал, что класс многообразий Кенмоцу совпадает с классом почти контактных метрических многообразий, получаемых из косимплектиче-ских многообразий каноническим конциркулярным преобразованием косимплектической структуры.

В своей диссертационной работе [5] Умнова С. В. изучала многообразия Кенмоцу и их обобщения. Она выделила класс почти контактных метрических многообразий, являющийся обобщением многообразий Кенмоцу и названный классом обобщенных (короче, GK-многообразия) многообразий Кенмоцу. Умнова С. В. выделяет два подкласса обобщенных многообразий Кенмоцу, названных специальным,и обобщенными многообразиями Кенмоцу (коротко, SGK-многообразия) I и II рода. В работе [5] доказано, что обобщенные многообразия Кенмоцу постоянной кривизны являются многообразиями Кенмоцу постоянной кривизны (—1). Кроме того, доказано, что класс SGK-многообразий II рода совпадает с классом почти контактных метрических многообразий, получаемых из точнейших косимплектических многообразий каноническим преобразованием точнейшей косимплектической структуры, а также дано локальное строение этих многообразий постоянной кривизны.

В данной статье мы изучаем свойства интегрируемости обобщенных многообразий Кенмоцу. Работа организована следующим образом. Во введении мы приводим предварительные сведения, необходимые в дальнейшем изложении, строим пространство при-G

GK

G SGK

GK

рых вполне интегрируемо. Показано, что почти эрмитова структура, индуцируемая на интегральных подмногообразиях максимальной размерности первого фундаментального распределения обобщенного многообразия Кенмоцу, является приближенно келеровой

GK

формой, приведены аналитические выражения первого и второго структурных тензоров. В п. 3 исследуются свойства тензора Нейенхейса, получено локальное строение ин-

GK

GK

тензоров N(2), N(3), N(4). Основные результаты сосредоточены в параграфах 2 и 3.

Пусть M — гладкое многообразие раз мерности 2 n + 1 X (M) — C ^-модуль гладких векторных полей на многообразии M. В дальнейшем все многообразия, тензорные поля и т. п. объекты предполагаются гладкими класса C

M

ется тройка (п, С, Ф) тензорных полей на этом многообразии, где п — дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры, С — векторное поле, называемое

характеристическим, Ф — эндоморфизм модуля X (М), называемый структурным эндоморфизмом. При этом

1) п(С) = 1 2) п ◦ Ф = 0; 3)Ф(С) = 0; 4) Ф2 = —^ + п ® С- (1.1)

Если, кроме того, на М фиксирована риманова структура д = (■, ■) такая, что

(ФХ, ФГ) = (X, Г) - п(Х)п(Г), X, Г € X(М),

то четверка (п, С, Ф,д = (■, ■)) называется почти контактной метрической структурой (короче, АС-ст,рукт,урой).

Многообразие, на котором фиксирована почти контактная (метрическая) структура, называется почти контактным (м,ет,рическим, (короч,е, АС-)) многообразием.

Кососимметричный тензор Г) = (X, ФГ), X, Г € X(М), называется фундаментальной формой АС-структуры [6].

Пусть (п, С, Ф, д) — почти контактная метрическая структура на многообразии М2п+1. В модуле X (М) внутренним образом определены два взаимно дополнительных проектора т = п ® С и I = г^ — т = — Ф2 [5, 6]. Таким образом, X (М) = Ь ® М, где Ь = 1т(Ф) = кег п — так называемое контактное распределение, ётЬ = 2п, М = 1т т = кег(Ф) = £(С) — линейная оболочка характеристического вектора (причем I т

Очевидно, распределения ЬиМ инвариантны относительно Ф и взаимно ортогональны. Очевидно также, что Ф2 = — г^, (ФX, ФУ) = (X, Г), X, Г € X(М), где Ф = Ф|Ь. Следовательно, {ФР,дР|Ь} — эрмитова структура на пространстве ЬР.

Комплексификация X (М )с модул я X (М) распадается в прямую сумму X (М )с = ф ® Иф собственных подпространств структурного эндоморфизма Ф, отве-

чающих собственным значениям л/—1, —у/—1 и 0 соответственно. Причем проекторами на слагаемые этой прямой суммы будут, соответственно, эндоморфизмы [6]

7Г = а о I = -^(Ф2 + У^ТФ), 7г = а о I = -^(-Ф2 + У^Ф),

т = 1(1 + Ф2, а = - \/^1Ф), а = \{г(1 + ^1Ф).

Отображения ар : Ьр —>■ и <тр : Ьр —>■ являются соответственно

изоморфизмом и антиизоморфизмом эрмитовых пространств. Поэтому к каждой точке р € М2п+1 можно присоединить семейство реперов пространства ТР(М)С вида (р,е0,ег,... ,еп,е1,... ,ей), где еа = л/2сгр(еа), еа = у/2ар{еа)\ е0 = £Р, где {еа} — орто-нормированный базис эрмитова пространства ЬР. Такой репер называется А-репером [6]. Легко видеть, что матрицы компонент тензоров ФР и дР в А-репере имеют вид

/00 0 \ / 1 0 0 \

(Ф^) = 0 у/=11п 0 , {9гз) = 0 0 1п , (1.2)

V о о -уГл1п ) \ о 1п о /

где 1п — единичная матрица порядка п. Хорошо известно [6, 7], что совокупность таких реперов определяет С-структуру на М со структурной группой {1} х и (п), пред-

( 1 ^ 0 I

ставленной матрицами вида I 0 А 0 I , где А € и (п). Эта С-структура называется

00А

присоединенной [6, 7].

Подчеркнем, что пространство присоединенной С-структуры состоит из комплексных реперов, т. е. реперов комплексификации соответствующих касательных пространств. Поэтому, даже имея дело с вещественными тензорами, мы, говоря об их компонентах на пространстве присоединенной С-структуры, подразумеваем компоненты комплексных расширений этих тензоров. В свою очередь, комплексный тензор является комплексным расширением вещественного тензора тогда и только тогда, когда он инвариантен относительно оператора комплексного сопряжения. Следуя общепринятой традиции, будем называть такой тензор вещественным. В частности, сумма чистого комплексного тензора и комплексно сопряженного ему тензора является вещественным тензором.

На протяжении всей работы будем подразумевать, что индексы 1], к,... пробегают значения от 0 до 2и, индексы а, I, с,(, /,д,... — значения от 1 до и, и положим а = а + и, а = а, 0 = 0. Поскольку Ф и д — тензоры типов (1,1) и (2, 0) соответственно, их компоненты на пространстве расслоения всех реперов над М удовлетворяют уравнениям

(Ф!- + Ф,квгк - Фгке) = Ф))кшк, !дг] - дкзв\ - дгкв] = дг]Мвк,

(1.3)

где {Шг}, {в!!} — компоненты форм смещения и форм римановой связности V соответственно, Ф^к' дг!,к — компоненты ковариантного дифференциала Ф и д в этой связности соответственно. Более того, в силу определения римановой связности Vg = 0 и, значит,

дгг,к =

(1.4)

С учетом (1.2) и (1.4) соотношения (1.3) на пространстве присоединенной С-структуры перепишутся в форме [6]

ф£г = 0, Ф?,. = 0, Ф8,г = 0, <£ = -\/=1Ф°У, 91 = °а,ги\

'а

в0 = вг+в{ =

2 ь,г 1 ъ 2

Кроме того, заметим, что в силу вещественности соответствующих форм и тензоров Шг = Шг, в\! = в\, Ф! к = Ф! д,' ВД6 ^ ^ I — оператор комплексного сопряжения.

С учетом этих соотношений первая группа структурных уравнений римановой связности йШг = —в! Л Ш! почти контактного метрического многообразия на пространстве присоединенной С-структуры запишется в следующей форме [6]:

1) (Ш = СаЪШа Л ШЪ + СаЪШа Л ШЪ + СъаШа Л ШЪ + СаШ Л Ша + СаШ Л Ша;

2) Iша = -ваь Л шъ + ВаЪсшс Л шъ + ВаЪсШЪ Л Шс + Ваъш Л шъ + ВаЪш Л ШЪ;

3) IШа = вЬа Л Шъ + ВаЪСШс Л ШЪ + ВаъШ Л ШС + В^Ш Л Шъ + ВаЪШ Л ШЪ,

где Ш = п*(ц), п — естественная проекция пространства присоединенной С-структуры М

ваЬ = а ■

с 2 ъ, с

ВаЬ = л/^Т (Фа~ - -Ф" у 1 0,6 2 ь'°

Ваъ = -

£>аЬс _ а/ ^ фа

[Ъ, су

ВаЬС = ^Ф"

ъ,с ;

в\ = лГ1Фа0,ь;

у/-[ &

ВаЪс = ^ Ф[Ь,с]5

Ъ,0

Cab = СаЬ = ^ТФ^;

С£ = -^1{Ф1ь + Ф0ьл)=В\-Вьа] Ca = V^l Ф°о; Са = — л/—ТФ°,о-

При этом

Babc = Babc, Bab = Bab, dba = -e Введем обозначения:

= Cabc = -^ Ф«С;

Fab = ^ =

Для тензорных компонент формы римановой связности имеют место следующие со-

(1.5)

С

1) ва = 2) в! = 3) = ^П,гсог;

4)08 = 5) в°а = У; 6) в0, = (1.6)

7) в° = 0; 8) в) + в) = 0; 9) в°< = = % = 0.

2. Обобщенные многообразия Кенмоцу

Пусть (М2п+1, Ф,С,д = (■, ■)) — почти контактное метрическое многообразие. Определение 2.1 [1]. Почти контактная метрическая структура, характеризуемая тождеством

Ух(Ф)Г = — п(Г)ФX — (X, ФГ) , X,У € X(М),

называется структурой Кенмоцу.

Многообразие, снабженное структурой Кенмоцу, называется многообразием Кенмо-

цу.

Положим в этом тождестве Г = X. Тогда получим

Ух(Ф^ = — п^^, X € X(М).

В полученном тождестве сделаем замену X ^ X + Г (поляризация по X), тогда получим

Ух(Ф)Г + Уу(Ф^ = — п(Г^ — п(X)ФГ, X,У € X(М). (2.1)

Определение 2.2 [5]. Класс почти контактных метрических многообразий, характеризуемых тождеством (2.1), называется обобщенными многообразиями Кенмоцу (короче, СК-многообразиями).

С

следующее.

Предложение 2.1. Компоненты ковариштното дифференциала структурного эн-

С

соотношениям:

1) Ф0,г = Ф£,0 = Ф|0 = 2) Ф",0 = Ф0,0 = 0; 3) Ф*>0 = -Ф" - =

а

(2.2)

4) П,С = ФЬ,С = 0; 5) ф0,ь + Фь,о = 0; 6) Ф0Ь + Ф?0 = 0:

7) Фаь + Ф0'а = 0; 8) Ф0 С + Ф0. =0; 9) Ф0'С + ф0 =0

/ a,b b,a / a, b b,a a,b b,a

i0Xb + ФС,a = 0; 11) фab + ФС. = 0-

,a

siabc V-i «ъ® ■ г* - V-i ла . s~f\abc] siabc. /~i /~i

^ — —— ^abc —--С-1 J— С- , C[abc] — <^abc,

С учетом предложения 2.1 первая группа структурных уравнений GK-многообразий примет вид [8]

1) du = Fabua Л ub + FabWa Л ub;

2) = -еаъ Ашь + Cabcub Л wc - Дц + Л w6; (2.3)

3

3) du)a = ebaAu)b + Cabcu)b A U)c - -Fabuj Au)b + 5bau А wb,

где

2 b,c '

Fab + F6a = 0; Fa6 + F6a = 0; F^ = Fab.

Из (2.3) следует

Предложение 2.2 [5]. Если Cabc = Cabc = 0 и Fab = Fab = 0, то GK-многообразие является многообразием Кенмоцу

GK

Стандартная процедура дифференциального продолжения первой группы структур-GK

GK

G

1) du = Fabua Л ub + FabUa Л Ub;

2) dwa = -et АшЧ Cabc0Jb Л We - Л wb + Л w6;

3) = Ca6cw6 Awc — ?^Fabuj A <J> + Л

4) = -С Л + (At ~ 2CadhChbc - ?^FadFbc)j шс A ud

+ ^abFcd + ^6acFdb + ^6adFb)j ujcAujd+(^5abFcd-^6cbFda-^6dbFa^ ujcAujd; (2.5)

5) dCabc + Cdbcead + Cadce\ + Cabd^d = Cabcdud - 2^^Fbc]ud - Cabcu;

^ + С + С ва = С -

6) (СаЪс — СдЪсвЛа — Са(1свЬ — СаЪ?в? = СаЪсЛшЛ — 2$[а^с]Ш? — СаЪсШ;

7) dFаЪ + FсЬвас + FасвЪ = -2FаЪш;

8) (^аЪ — ^ — ПсМ = —2^Ш-При этом

А[Ьс] = Аас] = 0; са[ЬЫ] = РаЛСЛЪс = 0;

и формулы комплексно сопряженные.

Продифференцировав внешним образом уравнения (2.5), получаем

1) (Ла? + Л^ва + ласнв£ - ЛЦв* - вас = Л^ша + Лаь^шн + ^ош;

2) IСаЪс? + СЬЪсйви + СаЬсйвЪ + саЫгй^с + саЪсНв<1 _ С^ЪСЛЫШ + саЪс/ЮШ-

} а а а а ^ '

3) (СаЪа1 - СНЪс(1ва - СаНс(1вЬ - СаЪМвс - СаЪсЬ,в?1 = СаЪс?Ь,шН + СаЪс?0Ш■

При этом справедливы следующие тождества:

1) Aafch] = 0; 2) AOf]=0;

3) АС0 = -2Ad - 4CadhChbc + FadFbc - 2^aFdhFhc - 2^aFdhFhb - 2£dFahFhc;

4) (Agc - 2Cag/ C/b[c)qfl|dh]=0;

5) (<e - *|/>и = 0;

6) CabcgCgdh = 0; 7) Cabchi)hd = 0;

8) 2FabFcd = (¿aFk - №h)Fhb + (feh - $Fch)Fha;

9) 2Fab^cd _ ^ac^db + F^a^Fbc

и формулы комплексно сопряженные.

Тождество FadCdbc = 0 назовем первым фундаментальным тождеством GK-струк-туры; тождество Aa^Cg/]d = 2CadhChb[cCg/]d — вторым фундаментальным тождеством!; тождество A^i7]^] = — третьим фундаментальным тождеством.

Определение 2.3 [5]. GK-структура называется: специальной обобщенной структурой Кенмоцу I рода (коротко, SGK-структурой I рода), если Cdbc = Cdbc = 0; специальной обобщенной структурой Кенмоцу II рода, (коротко, SGK-структурой II рода), если Fad = Fad = 0.

Заметим, что из вида уравнения (2.5(1)) вытекает тождество

Y) + ^(ФХ, ФГ) = 0,

а также равносильное ему тождество ^(ФХ, Y) = dn(X, ФГ) для любых X, Y € X(M).

В самом деле,

(dn)ab = dn(ea, £b) = -dn^a, Фсь) = Fab, (dn)ab = dn(ea, £b) = dn^ea, Фсь) = 0, (dn)ab = dn(ea,eb) = dn^, Фе^ = 0, (dn)ab = dn(ea,eb) = -dn^ea, Фе^ = Fab,

(dn)ao = dn(ea, 0 = -dn^a, Ф£) = 0, (dn)ao = dn(ea, 0 = -dn^ea, Ф£) = 0, (dn)oa = ea) = Фea) = 0, (dn)(0a) = dn(£, ea) = Фea) = 0,

(dn)oo = dn(e,0 = -¿П(ФС, ФО = 0.

Обратно, очевидно, что выполнение этих соотношений влечет справедливость тождества dn(X, Y) + ^п(ФХ, ФГ) = 0 для любых X, Y € X(M).

Пусть M — GK-многообразие, первое фундаментальное распределение которого вполне интегрируемо. Дифференциальная 1-форма w = п ◦ п*, п — естественная проекция в главном расслоении реперов над многообразием M, а п* — порожденное ей увлечение п-связных векторных полей на многообразии M, является формой Пфаффа первого фундаментального распределения, т. е. кобазисом кораспределения ассоциированного с первым фундаментальным распределением L. По классической теореме Фро-бениуса вполне интегрируемость первого фундаментального распределения равносильна существованию формы 0, что dw = в Л ш.

Теорема 2.2. GK-многообразие, первое фундаментальное распределение которого вполне интегрируемо, является SGK-многообразием II рода.

< Почти контактная метрическая структура является вполне интегрируемой, если (п Л п = Так как ш = п*(ц), п — естественная проекция пространства присоединенной С-структуры та многообразии М, из (2.5(1)) следует, что для того чтобы первое фундаментальное распределение было вполне интегрируемо, необходимо и достаточно, чтобы слагаемые Faъша Л шъ Л ш и FаЪша Л Шъ Л ш были равны нулю. Значит, необходимо, чтобы Faъ = FaЪ = 0. Согласно определению 2.3 СК-структура является £СК-структурой II рода. >

Поскольку всякое £СК-многообразие II рода локально канонически конциркулярно точнейше косимплектическому многообразию [5], а точнейше косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению приближенно келерова многообразия на вещественную прямую [6], то предыдущую теорему можно сформулировать в следующем виде.

Теорема 2.3. СК-многообразие, первое фундаментальное распределение которого вполне интегрируемо, локально канонически конциркулярно произведению приближенно келерова многообразия на вещественную прямую.

М СК

вполне интегрируемо. Тогда первая группа структурных уравнений такого многообразия имеет вид

1) (Ш = 0;

2) Iша = -ва Л шъ + СаЪсШъ Л Шс + л шъ;

3) IШа = вЬа Л Шъ + СаЪсШЬ Л Шс + ^Ш Л Шъ.

Пусть N С М — интегральное многообразие максимальной размерности первого фун-

СК М

индуцируется почти эрмитова структура (,1, д), где .] = Ф^, д = Так так форма ш является формой Пфаффа первого фундаментального распределения, то первая группа структурных уравнений почти эрмитовой структуры на N имеет вид

1) dш = 0;

2) dшa = -ва Л шъ + СаЪсШъ Л шс;,

3) dШa = вЬа Л Шъ + СаЪсШЪ Л Шс.

Используя таблицу «Обобщенные классы Грея — Хервеллы» [6], получаем, что почти эрмитова структура, индуцируемая на интегральных подмногообразиях максимальной

СК М

приближенно келеровой структурой.

Теорема 2.4. Почти эрмитова структура, индуцируемая на интегральных подмногообразиях максимальной размерности первого фундаментального распределения СК М

Теорема 2.5. СК-многообразие с замкнутой контактной формой является БСК-многообразием II рода, т. е. многообразием локально канонически конциркулярным произведению приближенно келерова многообразия на вещественную прямую.

< Поскольку ш = ш0 = п* (п), где п — естественная проекция пространства при-

СМ форма СК-многообразия замкнута тогда и только тогда, когда Faъ = FaЪ = 0, т. е. согласно определению 2.3, тогда и только тогда, когда многообразие является БСК-многообразием II рода. А значит, локально канонически конциркулярным произведению приближенно келерова многообразия на вещественную прямую. >

Рассмотрим системы функций на пространстве присоединенной G-структуры: 1) C = {Cj}, положив = Cabc, Cabc = Ca¿c, все остальные компоненты — пу-

левые; 2) F = {Fj}, положив Fa~b = Fab, Fab = Fa¿, все остальные компоненты F — нулевые.

По Основной теореме тензорного анализа с учетом (2.5(5))-(2.5(8)) семейства функций C и F определяют вещественные тензорные поля типа (2,1) и (1,1) па многообразии M, которые мы обозначим теми же символами. Назовем эти тензоры первым и вторым структурными тензорами GK-структуры.

Теорема 2.6. Структурные тензоры GK-структуры имеют следующие выражения:

1) С(Х, Y) = -^Ф о УФу(Ф)ФХ = -^Ф2 о УФу(Ф)Ф2Х;

2) (X) = Ф о УФ2Х(Ф)£ - Ф2Х = -Ф о VX(Ф)£ - Ф2Х = -VX£ - Ф2Х

= -Ф2 о (Ф)С - Ф2Х = -Ф о (Ф)С - Ф2Х (VX, Y е X(M)).

< В [8] получено аналитическое выражение первого структурного тензора

С(Х, Y) = j {Ф о Уф2у(Ф)Ф2Х - Ф2 о Уф2у(Ф)ФХ}

1 4 (2-6) = --{Фо УФу(Ф)ФХ + Ф2 о УФу(Ф)Ф2Х} (УХ,Y € Х(М)).

Продифференцировав ковариантно равенство Ф2 = -id + n® получим Vy(Ф)ФХ + Ф о V^k(Ф)Х = (n)X + n(X)VyВ последнем равенстве сначала сделаем замену X ^ Ф^, а затем на полученное тождество подействуем оператором Ф2. Тогда получим Ф о Vy^^X = Ф2 о Vy(Ф)Ф2^. В полученном тождестве сделаем замену Y ^ ФY. Тогда

Ф о VфY(Ф)ФX = Ф2 о VфY(Ф)Ф2X (VX, Y е X(M)). (2.7)

С учетом (2.7) равенство (2.6) запишется в виде

С(Х, Y) = -^Ф о УФу(Ф)ФХ = -^Ф2 о УФу(Ф)Ф2Х (VX, Y € Х(М)).

Напомним [6, 9], что третий, четвертый и пятый структурные тензоры почти контактной метрической структуры имеют следующие аналитические выражения:

1) D(X) = |ф о Уф2Х(Ф)е - Ф2 о Уфх(Ф)£ - ^Ф о У?(Ф)Ф2Х + ^Ф2 о У?(Ф)Фх|;

2) е(Х) = {Ф о уФ2Х(Ф)е + Ф2 о Уфх(Ф)е}; (2-8)

3) F(X) = i {Ф О Уф2Х(Ф)е - Ф2 О Уфх(Ф)е} (vx е Х(М)).

Применив процедуру восстановления тождества [6, 7] к равенству Фда = —\/—1 ób, получим Ф2 о ^7ф2Х(Ф)£ - Ф о Vфx (Ф)С = -2ФX для любого X е X (M). Подействуем Ф Тогда Ф о Vф2x(Ф)С + Ф2 о Vфx(Ф)С =

2Ф^ для любого X е X (M).

Поскольку третий и пятый структурные тензоры для любого X е X (M) связаны соотношением D(X) = — | F(X), то

Ф о (Ф)£ - Ф2 о Vфx(Ф)С + Ф о ^(Ф)Ф^ - Ф2 о V(Ф)ФX = 0 (VX е X(M)).

В (2.1) положим У = Тогда получим Ух(Ф)С + У^(Ф)Х = -ФХ (VX € X(М)).

В последнем тождестве подставим сначала X ^ ФХ, а затем X ^ Ф2Х. Тогда получим

1) Уфх(Ф)С + У?(Ф)ФХ = -Ф2Х;

2) Уф2х(Ф)С + у(Ф)Ф2Х = ФХ (VХ € X(М)).

2

Ф2

Ф

1) Ф2Уфх(Ф)С + Ф2У?(Ф)ФХ = Ф2Х;

(2.11)]

)2УФх (Ф)С + Ф2У? (Ф)ФХ = Ф2. 2) ФУф2х(Ф)С + ФУ?(Ф)Ф2Х = Ф2Х (VХ € X(М)).

Продифференцировав ковариантно равенство п ◦ Ф = 0, получаем

Ух (п)(ФУ) + П о Ух (Ф)У = 0 (V Х,У € X (М)). (2.11)

В частности, если в последнем равенстве положить У = то п{Ух(Ф)С} = 0 Для любого Х € X (М).

Продифференцировав ковариантно равенство Ф2 = -И + п ® С> получаем

Ух(Ф)ФУ + Ф о Уфх(Ф)У = СУх(п)У + п(У)УхС.

В полученном равенстве сделаем замену У = С- Тогда с учетом тождества Ух(п)С = 0 для любого Х € X (М), получим тождество

Ф о Уфх (Ф)У = Ух С (V Х € X (М)). (2.12)

С учетом (2.10) и (2.12) для (2.8(3)) имеем

^(х) = ^{фо уф2х(Ф)е - Ф2 о УфХ(Ф)е} = \ {УФ - Ф о Vфxe}

= Ф о Уф2х(Ф)С - Ф2Х = -Ф о Ух(Ф)С - Ф2Х = -УхС - Ф2Х = -Ф2 о Уфх(Ф)С - Ф2Х = -Ф о Уфх(Ф)С - Ф2Х (VХ € X(М)). >

СК

Напомним [6], что компоненты тензора Нейенхейса

ХФ(Х,Г) = ^{Ф2[Х,Г] + [ФХ,ФУ] - Ф[ФХ,Г] - Ф[Х,ФГ]} С

л № -• 9^1 х° — —№ -• № - •

4) ту" = -X" = - 5) X" = л/^Тф" •

> ьо о ъ 4 б,о 2 °>6' ье М'

6) X" = -X" = ~ 7) X" = -У^1Ф|>С].

Остальные компоненты этого тензора тождественно равны нулю.

С учетом (2.2) компоненты тензора Нейенхейса Хф(Х, Y) GK-структуры на пространстве присоединенной G-структуры примут следующий вид:

1) Кь = \Fab-, 2) Х°. = li^; 3) X» = -X» = fF^,

4) X» = 2Cabc; 5) X» = -N0% = fFab; 6) X» = 2Cabc. { ' ;

Остальные компоненты этого тензора тождественно равны нулю.

Теорема 3.1. Тензор Нейенхейса оператора Ф GK-структуры обладает свойствами:

1) Хф (Ф2Х, Ф2Y) + Хф (ФХ, ФY) = 0;

2) Хф (Ф2Х, ФY) - Хф (ФХ, Ф2Y) = 0;

3) ХФ(Х,£) = -i {ФУфх£ + 2УХ£ + Ф2Х} (VX,F е Х(М)).

< 1): Применяя процедуру восстановления тождества [4, 7] к равенствам = Nb = Ncy = 0 получим тождество Хф(Ф2Х, Ф2Y)+ Хф(ФХ, ФY) = 0 для любых X,Y € X(M).

2): Сделав в последнем тождестве замену Y — Ф^, для любых Х,Y € X(M) получаем тождество Хф(Ф2Х, ФY) - Хф(ФХ, Ф^) = 0.

3): Вид тензора Нейенхейса

ХФ (X, У) = i { Ф2 [X, У] + [ФХ, ФУ] - Ф [ФХ, У] - Ф [X, ФУ]}

с учетом формулы [Х, Y] = VxY — VyХ, выражающей отсутствие кручения связности, примет вид

Хф(Х, У) = \ {УФх(Ф)У - УФ¥($)Х + ФУу(Ф)Х - ФУх(Ф)У} (VX, У € Х(М)).

Отсюда

ХФ(Х,£) = ^{Уфх(Ф)е + ФУ?(Ф)Х-ФУх(Ф)С} (VXeX(M)). (3.2)

Положим в (2.1) Y = {.Тогда Vx(Ф)£ + Vg(Ф)Х = — ФХ для любого Х € X(M). С учетом полученного равенства соотношение (3.2) примет вид

ХФ(Х,£) = -i {ФУфхС + 2VxC + Ф2Х} (VX е Х(М)). >

Определение 3.1 [6]. Почти контактная метрическая структура называется unme-Хф = 0

GK

< Пусть GK-структура является интегрируемой. Тогда, согласно определению 3.1, Хф = 0. Последнее равенство с учетом (3.1) равносильно соотношениям Fab = Fab = 0; Cabc = Cabc = 0. И согласно предложению 2.2 структура является структурой Кенмоцу. >

Известно [10], что задание тензора Нейенхейса равносильно заданию четырех тензоров Х(1), Х(2), Х(3), Х(4), а именно:

Х(1)(Х, Y) = Хф(Х, Y) +2 йтц(Х, Y )£; Х (2)(Х, Y) = (&фх n)(Y) — Ly п)(Х); Х(3)(Х) = (^?Ф)(Х); Х(4)(Х) = (^п)(Х) (VХ^ € X(M)),

где Lx — производная Ли в направлении векторного поля Х.

Вычислим компоненты этих тензоров на пространстве присоединенной О-структуры.

Учитывая, что ш = ш0 = п*(п), где п — естественная проекция пространства присоединенной О-структуры та многообразие М, а также то обстоятельство, что па пространстве присоединенной О-структуры Са = Са = 0 С0 = 1) согласно (1.1(1)) находим, что на этом пространстве

1) (¿п ® = (^п ® С)а,- = 0;

3) (¿п ® С)0Ь =

5) (¿п ® С)0а = (¿п ® С)%0 = 0;

7) (¿п ® С)0о = 0.

2) (¿п ® = ^ь;

4) (¿п ® С)°ь = (¿п ® С)0Ь = 0;

6) (¿п ® С)0а = (¿п ® С)°0 = 0;

С учетом соотношений (3.1) и (3.3) получаем, что на пространстве присоединенной О-структуры, тензор N (1)(Х,У) = Жф (Х,У )+2 ^п(Х,У )С имеет следующие компоненты:

1) (Лг(1))°ь = 1 Я*; 2) (дг(1))0. = 5^6.

з) = = 4) (Х«)^ = = (3.4)

5) (Ж(1))«. = 2СаЬс; 6) (Ж(1))1 = 2СаЬс,

а остальные компоненты нулевые.

Определение 3.2 [6, 10]. Почти контактная метрическая структура называется нормальной, если Жф (X, У) + 2 У)С = 0.

Понятие нормальности было введено Сасаки и Хатакеямой [11] и является одним из наиболее фундаментальных понятий контактной геометрии, тесно связанным с понятием интегрируемости структуры.

Теорема 3.3. Нормальная ОК-структура является структурой Кенмоцу, а значит, локально канонически конциркулярна косимплектической структуре.

< Из определения 3.2 и (3.4) следует, что ОК-структура является нормальной тогда и только тогда, когда КаЬ = Гаь = 0 саЬс = Саьс = 0. Согласно предложению 2.2 ОК-структура является Кенмоцу структурой. Поскольку структура Кенмоцу получается из косимплектической каноническим конциркулярным преобразованием, то нормальная ОК-структура локально канонически конциркулярна косимплектической структуре. >

Из теорем 3.2 и 3.3 следует

Теорема 3.4. Пусть 5 = (С, п, Ф, д = (■, •)) — АС-структура. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) 5 = (С, п, Ф,д = (', ■)) — интегрируемая ОК-структура;

2) 5 = (С, п, Ф,д = (■, •)) — нормальная ОК-структура;

3) 5 = (С, п, Ф,д = (■, ■)) _ структура Кенмоцу

Теперь вычислим компоненты тензора N(2) (X, У) = (%фхп)(У) — (%фу п)(Х), где %х — производная Ли в направлении векторпого поля X.

Определение 3.3 [6]. Пусть М — гладкое многообразие, X — векторное поле на М, — соответствующая ему локальная однопараметрическая группа диффеоморфизмов многообразия, Т — тензорное поле типа (г, 8) па М. Производной Ли тензорного поля Т в направлении векторного поля X называется тензорное поле Т на М, в каждой точке р € М определяемое формулой

Оператор : Т(М) ^ Т(М), сопоставляющий тензорному полю Т € Т(М) тензорное поле Т, называется оператором дифференцирования Ли в направлении векторного поля X.

Оператор дифференцирования Ли обладает следующими свойствами [6]:

1) оператор является дифференцированием тензорной алгебры Т(М) многообразия, сохраняющим тип тензоров и перестановочным с операторами свертки;

2)%х/ = X(/), V/ € С~(М);

3) У = [X,У], VX,У € X(М).

Замечательным обстоятельством является то, что перечисленные свойства оператора дифференцирования Ли однозначно определяют этот оператор.

Замечание 3.1 [6]. Пусть Ь — произвольный тензор типа (г, 8) па М. Выражение (¿XXI,..., Xr, и1,..., и5), будучи линейным по аргументам XI,...,Xr, и1,...,и5, не является линейным по аргументу X.

С учетом перечисленных свойств имеем

%фх(п(У)) = %фх (с^п ® у) = сЭД^фх(п ® У)

= с(1)%фх (п) ® У + С^п <В> % ФX (У) = %фх (п) ® У + п ® %фх (У),

т. е. %фх(п(У)) = %фх (п) ® У + п ® %фх(У)•

С учетом тождества [X, У ] = Ух У — Уу X и свойств оператора дифференцирования Ли из полученного равенства имеем

%фх (п)(У) = %фх (п(У)) — п(%фх У) = ^ )(п(У)) — п([ФX, У]) = ^ )(п(У)) — п(Уфх У) + п('у (ФX)) = {(ФX )(п(У)) — п(Уфх У)} + п{Уу (Ф)X + ФУу X } = Уфх (п)(У) + п{Уу (Ф)X} + п{ФУу X } = Уфх (п)(У) + п{Уу (Ф)X},

т. е.

%фх(п)(У) = Уфх(п)(У)+ п{Уу(Ф^} (VX,У € X(М)). (3.5)

ОК С

тензором типа (0,1), то его компоненты {Сг} на главном расслоении В(М) реперов над М удовлетворяют дифференциальным уравнениям [6]

С — Ск ^ = С^ , (3.6)

гДе {Г,,} — система функций, служащая компонентами ковариантпого дифференциала

С ' О

ры, с учетом соотношений Са = Са = 0, С0 = 1, и вида тензорных компонент формы римановой связности [3]:

1) 0аь = \раЬш + СаЬсшс] 2) в! = ^аыо + Саьсшс]

3) O* = SZub - Fabub; 4) Ol = Sbaub - Fabub; 5) = - ^^ь; 6) 00 = Fabwb - S^; 7) 00 = 0; 8) Oj + 0j = 0,

получим

1) £ab = -Fab; 2) £ab = -Fab; 3) £% = Sab; 4) £ab = Sa,

а остальные компоненты нулевые.

Теорема 3.5. Характеристический вектор £ GK-структуры не является вектором Киллинга.

< Поскольку Sba + Sa = £ab + £ba = £a,b + £b,a = 0, т. e. (Vx£, Y) + {X, Vy£) = 0 для любых X,Y € X (M), то £ не является вектором Киллинга. >

GK

1) Va,b = -Fab; 2) %:ь = -Fab; 3) Va -b = Sba; 4) na,b = Sa, (3.7)

а остальные компоненты нулевые.

GK

Согласно соотношению (3.5) N(2) (X,Y) примет следующий вид:

N(2) (X, Y) = V#x(n)(Y)+ n{Vy(Ф)Х} - Vфy(n)(X) - n{Vx(Ф)Y}, (3.8)

для любых X,Y € X(M).

Из (3.7) следует, что N (2)(X, Y) = - N (2)(Y, X), значит тен зор N (2)(X, Y) кососим-метричен, т. е. является 2-формой.

G

= Vj^k - Пг,кФк + ПкФЪ - ПкФк,г- (3-9)

С учетом соотношений na = na = 0 По = 1 и вида матрицы Ф на пространстве G

!) = 2) = -4^1РаЬ, (3.10)

остальные компоненты нулевые.

Из (3.10) непосредственно следует следующая

Теорема 3.7. На GK-многообразии N(2) (X, Y) = 0 тогда и только тогда, когда Fab = Fab = 0

Из определения 2.2 и теоремы 3.7 следует

GK N(2)(X, Y) = 0 является SGK-многообразием

II рода.

SGK

сформулировать следующим образом.

GK N(2)(X, Y) = 0 локально канонически концирку-

лярно точнейше косимплектическому многообразию.

Поскольку точнейше косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению приближенно келерова многообразия на вещественную прямую [5], то предыдущую теорему можно сформулировать так:

Теорема 3.10. СК-многообразие с N(2) (X, У) = 0 локально канонически концирку-лярно произведению приближенно келерова многообразия на вещественную прямую. Если многообразие односвязно, то указанные локальные эквивалентности можно выбрать глобальными.

Рассмотрим теперь тензор

N(3)(X) = ^(Ф)(Х) = ^(ФХ) - Ф^X = [С, ФХ] - Ф[С,Х] = у (ФХ) - Уфх С - Ф(У X - Ух о = У (Ф)Х + Фу X (3.11)

- УфхС - ФУ?X + ФУхС = У (Ф)Х - УфхС + ФУхС.

СК

N(3)(X) = у(Ф)Х -УфхС + ФУхС (VX е X(М)). (3.12)

С

ношениям

1) (дг(з))« = р*ь. 2) (^(3))« = (3.13)

остальные компоненты нулевые.

Из (3.13) и определения 2.3 следует

Теорема 3.11. На СК-многообразии N(3)(Х) = 0 тогда и только тогда, когда раь = раЬ = 0, т. е. когда многообразие является БСК-многообразием II рода.

Используя локальное строение £СК-многообразия II рода [5], теорему 3.11 можно сформулировать следующим образом.

Теорема 3.12. СК-многообразие с N(3)(Х) = 0 локально канонически конциркуляр-но произведению приближенно келерова многообразия на вещественную прямую. Если многообразие односвязно, то указанные локальные эквивалентности можно выбрать глобальными.

И, наконец, рассмотрим тензор N (4)(Х) = (^ п)(Х) для любо го X е X. Имеем

N(4) (X) = (^п)(X) = ^(п(Х)) - X) = С(п(Х)) - п([С,Х]) = У (п(Х)) - п(УпX) + п(УхС) = У (п)(Х) + п(У X) - п(УX) + п(Ух С) = У?(п)(Х) + п(Ух С) = У (п)(Х),

т. е.

N(4)(Х) = У (п) (X) (V X е X). (3.14)

С

носильно соотношениям (N(4)), = 0, т. е. N(4) (X) = 0. Таким образом, имеет место следующая Теорема 3.13. На СК-многообразии N(4)(Х) = 0.

Результаты теорем 2.5, 3.9-3.12 можно сформулировать в виде следующей основной теоремы.

М СК

эквивалентны: СК

2) КаЬ = Каь = 0;

3) N^(^У) =0;

4) N) = 0;

5) м — БСК-многообразие II рода; М

многообразия на вещественную прямую.

Если многообразие односвязно, то указанные локальные эквивалентности можно выбрать глобальными.

Литература

1. Kenmotsy К. A class of almost contact Riemannian manifolds // Tohoku Math. J.—1972.—Vol. 24, № l.-P. 93-103. DOI: 10.2748/tmj/l 178241594.

2. Таяло S. The automorphisms groups of almost contact Riemannian manifolds // Tohoku Math. J.— 1969.-Vol. 21, № l.-P. 21-38. DOI: 10.2748/tmj/1178243031.

3. Bishop R. L., O'Neil B. Manifolds of negative curvature I I Trans. Amer. Math. Soc.—1965.—Vol. 145.— P. 1-50. DOI: 10.1090/s0002-9947-1969-0251664-4.

4. Кириченко В. Ф. О геометрии многообразий Кенмоцу // Докл. РАН.—2001.—Т. 380, № 5.—С. 585587.

5. Умнова С. В. Геометрия многообразий Кенмоцу и их обобщений: Дис.... канд. физ.-мат. наук.— М.: МПГУ, 2002.-88 с.

6. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. 2-е изд., доп.— Одесса: Печатный дом, 2013.—458 с.

7. Кириченко В. Ф., Рустанов А. Р. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий // Мат. c6.-2002.-T. 193, № 8.-С. 71-100.

8. Abu-Saleem A., Rustanov A. R. Curvature identities special generalized manifolds Kenmotsu second kind // Malaysian J. Math. Sci.-2015.-Vol. 9, № 2.-P. 187-207.

9. Кириченко В. Ф., Дондукова Н. Н. Контактно геодезические преобразования почти контактных метрических структур // Мат. заметки—2006—Т. 80, № 2— С. 209-219.

10. Blair D. Е. Contact Manifolds in Riemannian Geometry.—Berlin: Springer-Verlag, 1976.—148 p.— (Lecture Notes in Mathematics; Book 509.)

11. Sasaki S., Hatakeyama J. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure. II // Tohoku Math. J.—1961.—Vol. 13, № 2—P. 281-294. DOI: 10.2748/tmj /1178244304.

Статья поступила 11 июля 2017 г.

Vladikavkaz Mathematical Journal 2018, Volume 20, Issue 3, P. 4 20

INTEGRABILITY PROPERTIES OF GENERALIZED KENMOTSU MANIFOLDS

Abu-Saleem A.1, Rustanov A. R.2, Kharitonova S. V.3

1 A1 al-Bayt University, P.O.Box 130040, Mafraq 25113, Jordan;

2 National Research University (MGSU), 26 Yaroslavskoye Shosse, Moscow 129337, Russia;

3 Orenburg State University, 13 Pobedy av., Orenburg 460000, Russia E-mail: dr_ahmad57@yahoo.com, aligadzhi@yandex.ru, hcb@yandex.ru

Abstract. The article is devoted to generalized Kenmotsu manofolds, namely the study of their integrability properties. The study is carried out by the method of associated G-structures; therefore, the space of the associated G-structure of almost contact metric manifolds is constructed first. Next, we define the generalized Kenmotsu manifolds (in short, the GK-manifolds) and give the complete group of structural

equations of such manifolds. The first, second, and third fundamental identities of GK-structures are defined. Definitions of special generalized Kenmotsu manifolds (SGK-manifolds) of the I and II kinds are given. We consider GK-manifolds the first fundamental distribution of which is completely integrable. It is shown that the almost Hermitian structure induced on integral manifolds of maximal dimension of the first distribution of

GK GK

and the expressions of the first and second structural tensors are given. We also compute the components of the GK

of four tensors N(1), N(2), N(3), N(4) , the geometric meaning of the vanishing of these tensors is investigated. The local structure of the integrable and normal GK-structure is obtained. It is proved that the characteristic vector of a GK-structure is not a Killing vector. The main result is Theorem: Let M be a GK-manifold. Then the following statements are equivalent: 1) GK-manifold has a closed contact form; 2) Fab = Fab = 0; 3) N(2) (X,Y) = 0; 4) N(3) (X) = 0; 5) M - is a second-kind SGK manifold; 6) M is locally canonically concircular with the product of a nearly Kahler manifold and a real line.

Key words: generalized Kenmotsu manifold, Kenmotsu manifold, normal manifold, Nijenhuis tensor, integrable structure, nearly Kahler manifold.

Mathematical Subject Classification (2000): 58A05.

References

1. Kenmotsy K. A Class of Almost Contact Riemannian Manifolds, Tohoku Math. J., 1972, vol. 24, no. 1, pp. 93-103. DOI: 10.2748/tmj/l 178241594.

2. Tanno S. The Automorphisms Groups of Almost Contact Riemannian Manifolds, Tohoku Math. J., 1969, vol. 21, no. 1, pp. 21-38. DOI: 10.2748/tmj/1178243031.

3. Bishop R. L., O'Neil B. Manifolds of Negative Curvature, Trans. Amer. Math. Soc., 1965, vol. 145, pp. 1-50. DOI: 10.1090/s0002-9947-1969-0251664-4.

4. Kirichenko V. F. On the Geometry of Kenmotsu Manifolds, Doklady RAN [Reports of the RAS], 2001, vol. 380, no. 5, pp. 585-587 (in Russian).

5. Umnova S. V. Geometriya mnogoobrazij Kenmocu i ih obobshenij: Dis.... hand, fiz.-mat. nauk [Geometry Kenmotsu Manifolds and their Generalizations: Dis....Cand. Sci. Sciences], Moscow, Moscow State Pedagogical University, 2002, 88 p. (in Russian).

6. Kirichenko V. F. Differencial'no-geometricheskie struktury na mnogoobrazijah. 2-e izd., dop. [Differential-Geometric Structures on Manifolds. Second edition, expanded], Odessa, Printing House, 2013, 458 p. (in Russian).

7. Kirichenko V. F., Rustanov A. R. Differential Geometry of Quasi-Sasakian Manifolds, Sbornik: Mathematics, 2002, vol. 193, no. 8, pp. 1173-1201. DOI: 10.1070/SM2002vl93n08ABEH000675.

8. Abu-Saleem A., Rustanov A. R. Curvature Identities Special Generalized Manifolds Kenmotsu Second Kind, Malaysian Journal of Mathematical Sciences, 2015, vol. 9, no. 2, pp. 187-207.

9. Kirichenko V. F., Dondukova N. N. Contactly Geodesic Transformations of Almost-Contact Metric Structures, Mathematical Notes, 2006, vol. 80, no. 1-2, pp. 204-213. DOI: 10.1007/sll006-006-0129-0.

10. Blair D. E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry. Series: Lecture Notes in Mathematics; book 509, Berlin, Springer-Verlag, 1976, 148 p.

11. Sasaki S., Hatakeyama Y. On Differentiable Manifolds with Certain Structures which are Closely Related to Almost Contact Structure. II, Tohoku Math. J., 1961, vol. 13, no. 2, pp. 281-294. DOI: 10.2748/tmj/l 178244304.

Received July 11, 2017