CC BY
16
4. Алгебра и геометрия
УДК 513.7 © Б.В. Заятуев
СЕЧЕНИЯ КАСАТЕЛЬНЫХ РАССЛОЕНИЙ
Показано, что на сечении касательного расслоения [1] может быть естественным образом построена почти эрмитова структура инвариантного типа [2]. Кроме того, найдены условия интегрируемости соответствующей комплексной структуры.
Ключевые слова: касательное расслоение, сечение, почти эрмитова структура.
B.V. Zayatuev
SECTIONS OF TANGENT BUNDLES
It has been shown that on a section of tangent bundle [1] the almost Hermitian structure of invariant type can be naturally constructed [2]. In addition, the integrability conditions of corresponding complex structure have been found.
Keywords: tangent bundle, section, the almost Hermitian structure.
Пусть V - гладкое векторное поле на многообразии M, которое, как известно, можно рассматривать как сечение Д, (M) : M ^ T(M) касательного расслоения [1]. Сечение в (M) может быть рассмотрено как подмногообразие в T(M), заданное локально уравнениями:
х' = X, / = V' (X).
Локальный базис B (i) сечения, очевидно, имеет вид
B(') :(B' )A =
( gh \
. дVh ,
V i j
\ д 9 1
относительно локального базиса \--1 . Вве-
[ дх' ' ду' \
дем также в рассмотрение локальный базис слоев касательного расслоения
С,о. где C„:(€?) = (° ).
Очевидно, что C(i) дх' ) . Базис {В('), Сд} называется адаптиро-
д
■I с™
ванным к сечению Ру (М).
Выразим в адаптированном к сечению (короче А8-) базисе горизонтальный лифт X векторного поля X . Имеем
хн = X* дх7 - X' ду/=X* Б» -ду*сда) - а^Х'С{К) = х"Бт - Фу'с*^ те.
xя = бx - с vу) , (1)
где бx - тангенциальная к ву (М) составляющая Xя, с (v xv)
\Н
- вертикальная составляющая X .
Б.В. Заятуев. Сечения касательных расслоений
Предложение 1. Горизонтальный лифт ХН касается подмногообразия &(М) тогда и только тогда, когда V х V — 0 .
Связь между Л8-базисом, базисом |В(г), С^} и адаптированным к
д г г д ^
связности базисом ]е(г) I дх1 J ' 1 дх1 ) \ имеет вид
e = bw -(v,v)hc(А);
eI = C(I);
и соответственно для двойственных базисов {ß(i), C(i)} и {, e' } -
e' = b(i); [e. = (vhV1 )ß(h) + C(i) .
Воспользовавшись этими соотношениями, выразим тензоры J и g в AS-базисе:
J = J'e ®e + Je ®ej = J'.Br) ®B(J) - J'VVhC(h) ®B<J) + J'VhVJQ., ®B(h) + J'Cf, ®C0)
j 1 j 1 J (i) J 1 (h) J h (i) J (i)
т.е.
JH : (J1hVJVh - Х^У'Х]) .
Следовательно,
JH(ВХ) = В(JX) + С^хГ-VJхV) . Таким образом, имеет место
Предложение 2. Подмногообразие в(м) инвариантно относитель-
1 = тн д д д ^хУ^у,ухек(м) .
но и — 1 тогда и только тогда, когда
Если Д,(м) инвариантно относительно 1, то определим оператор X1 е Т/ (Д, (М)) следующим образом: X1 (ВХ) — 1Н (ВХ) — в( хх) . Очевидно, что X - также почти комплексная структура. Пусть N - тензор Нейенхейса оператора 1 . Тогда
Ы(Х X) — 0;
М(Х X)—(М(Х,Г)+2УхГ+Х?ХУ+ivХХ ;
Ы(ХУХ)—(Ы(Х,У)Н + 2(]Я(Х,У) + ХНЯХ, ХУ) + ХНЯХХ,У)-ЯХХ,ХУ)) где уЯ( Х, У ) — Я (Х, У) у.
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 1/2014
Легко проверить, что если подмногообразие в (М) инвариантно относительно Т , то N (ВХ, ВУ) = N(ВХ, ВУ), где ^ - тензор Нейенхей-т г
са оператора . Значит,
И(БХ, ВУ) = Й(БХ, ВУ) = Й(ХН + (УХ¥)у, Ун + (УУУ)у) = = N(x, У)н + 2(/Я( X, у)).
Тем самым доказано
Предложение 3. Если подмногообразия ву (М) инвариантно отно-
Т Т г
сительно , то АС-структура и интегрируема тогда и только тогда, когда интегрируема Т и имеет место тождество Я2
Для римановой метрики £ = (Дё- )Ув' 0 в + (ё-)Ув' 0 в, вычислив ее выражение в Л8-базисе, получим:
g:
Отсюда
ghVV g
v °ih j у •
g (BX, BY ) = Ag (X, Y) + g (v XV, VrV)
g' g
Обозначим через сужение метрики 6 на подмногообразие
в (m В pv (м) j
. В случае, когда V - инвариантно, с учетом предложе-
ния 2 получаем предложение 4.
Предложение 4. Пара J ', g'} - почти эрмитова структура на Pv (M) тогда и только тогда, когда JVXV = VJXV , Vx Е K(m) .
Литература
1. Yano K. and S. Ishihara. Tangent and Cotangent Bundles// New York, Marcel Dekker, INC., 1973, XII.
2. Заятуев Б.В. Об одном примере AH-структуры на касательном расслоении // Матем. заметки. - 2004. - Вып. 5. - Т. 76.
Заятуев Батор Владимирович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии Бурятского государственного университета. Тел. 8(914) 832-91-95, е-mail: zayatuyev@yandex.ru
Zayatuev Bator Vladimirovich, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of geometry, Buryat State University. Tel. 8(914) 832-91-95, е-mail: zayatuyev@yandex.ru
