Псевдосферическая конгруэнция эллиптических прямых квазиэллиптического пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

Л. В. Львова

Псевдосферическая конгруэнция эллиптических прямых квазиэллиптического пространства

L. V. Lvova

Pseudo-spherical Congruence of Elliptical Lines in Quasi-elliptic Space

Рассматривается псевдосферическая конгруэнция квазиэллиптического пространства и устанавливается ее связь с отображением двух евклидовых плоскостей.

Ключевые слова: квазиэллиптическое пространство, конгруэнция.

The article deals with pseudo-spherical congruence of elliptical lines in quasi-elliptic space and shows its connection with reflection of two Eucle-dean planes.

Key words: quasi-elliptic space, congruence.

Квазиэллиптическое пространство £| впервые рассматривал В. Бляшке. Он показал, что метрикой этого пространства обладает группа движений евклидовой ПЛОСКОСТИ Е-2 и выдвинул идею изображения эллиптических прямых этого пространства парами точек двух евклидовых плоскостей К‘2 [1, 2]. В работе [3] квазиэллиптическое пространство определяется как метризованное проективное пространство, абсолют которого состоит из пары мнимо-сопряженных плоскостей (абсолютных плоскостей) и пары мнимо-сопряженных точек (абсолютных точек) на линии пересечения абсолютных плоскостей (абсолютной прямой). Там же построена интерпретация квазиэллиптического пространства на паре евклидовых плоскостей. Всякой эллиптической прямой пространства £| ставится в соответствие пара точек на двух вполне ортогональных плоскостях Щ и Я- евклидова пространства Д4 и находятся соотношения, связывающие метрические инварианты двух эллиптических прямых с расстояниями между точками,

Я

И Щ.

В пространстве £3 рассмотрим подвижный репер Я = {Ао, Аь А, А} некоторого геометрического образа, при этом точки А и Ах полярно сопряжены относительно пары абсолютных плоскостей и их координаты нормированы, АА

они полярно сопряжены относительно пары абсолютных точек и их координаты также нормированы. Уравнения инфинитезимальных пере-

мещений репера R имеют вид

dAo

dA

dA

dA

woAi + uqA + ^A^

—&qA + ^A + ші A, w2 A j —^2A'2-

(1)

Дифференцируя (1) внешним образом, получим уравнения структуры

= О, = О,

4}

D<4 = [uk j (во всех оставшихся случаях)

квазиэллиптического пространства.

В соответствии с построенной интерпретацией квазиэллиптического пространства на паре

Я

£| отвечают в пространстве Я4 на плоскостях Я и Я- два репера {Х+, вх, } и {X ,63,64},

в которых базисы {6х,в2} и {63,64} ортонорми-рованные.

Уравнения инфинитезимальных перемещений реперов {Х+,вх,в2} И {X-, 63,64} в плоскостях Я£ и Я- имеют, как известно, вид:

dX+ = йвх + dX- = й3вз + й4Є4,

dex = de%

de2 = —йхвх de4

~ 4 ~*

А —*

—Щвз

(2)

с уравнениями структуры:

DQ1 = — [Q2 Q'x], DQ = [Q1 Q'x], D&X = О DQ = — [Q4Qf], DQA = [Q3 Qf], DQf = 0.

Дифференциальные формы инфинитезимальных перемещений подвижного репера про-

£

Я Я-

,, шо ш0 +

(3)

, = Ь'ш« + с,.

(4)

Внешнее дифференцирование их дает

6а= — (а2 + ЬЬ^ 1 + (Ь+ Ь') ,

5Ь = —^^ + — (а — с)эт|,

5Ь' = —Ь'( а + с) Яд — (а — с)эт|,

6с = — (1 + ЬЬ^ с2)^ — (Ь + Ь^эт|.

Полученные дифференциальные уравнения

Я

О, = О, Ь + Ь' ф 0.

(5)

Тогда имеем

Ь,

Ь'

У1 - ишо > "1 - и • (6)

,,

щие в этом случае только от первичных параметров, представим в виде

: рШд + д,д , = Ьшд + к,

(7)

: а^1 + в,,

в', + 7,.

(9)

Воспользовавшись равенствами (3), связывающими дифференциальные формы , {%,] = , , , Я

мами шк (к = 1, 2, 3, 4), ш| соответствующих

Я Я-жениями (4), (9), получим

Будем называть двупараметрическое семейство Ь = Ци^и2) эллиптических прямых Ь конгруэнцией эллиптических прямых, прямые Ь(и,и2) - лучами конгруэнции.

Присоединим к каждому лучу конгруэнции Я {А , А , А , А } А

А принадлежат лучу, а точки А и Аз - абсолютной прямой. Выбирая формы , и за базисные, запишем:

а в

в' 7

Ь'

—а — — Ь

Ь' с

—а

Ь'

—Ь

-

1 — а в \ ( —в — 1 — а

—в'1 + 7) VI— 7 —в'

соответственно

Эти формулы (выражают связь между опе-а в а Ь

в' 7 Ь'

Якоби и Кум мера.

Я

соотношения (5) и поэтому

Ь+1

Ь-Г

1 — Ь' 1 + Ь'

, в в' .

(10)

Разложим дифференциальные формы ш2 и

по б^исным формам ш и ш

ш2 = Л^1 + ¡лш2 = V, + рш 2.

Тогда имеют место соотношения

(Н)

д — к

р — Ь

— Ь Ь'

д + к р + Ь

Р

(12)

Ь

Ь'

и тогда найдем основную систему дифференциальных уравнений

¿Ь = (д(1 + ЬЬ') — к(Ь + Ь')) ,,

¿Ь' = (р(1 + ЬЬ') + Ь(Ь+Ь')) ш$. (8)

Функции р, д, Ь, к и Ь, Ь' составляют полную систему инвариантов конгруэнции, т.е. опреде-

Ь

Ь(£) с точностью до положения в пространстве.

Я

ческих прямых Ь = Ь(£) отвечают на плоскостях Я+, Я- два репера {Ь+, 61,64 } и {Ь ,ез, 64}, деривационные уравнения которых имеют вид (2).

шшш

ш

базисные, положим

В работе [4] найдены основные формулы конгруэнции эллиптических прямых. Отнесем конгруэнцию эллиптических прямых к канониче-Я

формулы и уравнения примут следующий вид.

р

р

Ь' ш — Ь ш

1 +р2 (! + Ь'2) (,2)2 + (1 + Ь2)(,3)2’

Главные параметры Л 2— ^Ь2^ 2:

Л

Ь

Л

Ь'

Ь Ь'

Абсцисса ^ центра (горловой точки) Ь Ь' ш ш

^2«

(1— Ь'2) (ш2)2 + ( 1 — ^(,3)2-

шш

шш

Ь

а

с

ш

а

7

а

Л

ш

V

Если = 0 или = 0, то tg2v = 0. Значит, вершина Ад канонического репера находится в горловой точке луча конгруэнции.

Абсциссы щ и г>2 граничных точек:

tg2^i j2

±-

b + b'

'VT—bV i - Ь'2'

Абсциссы / и f-2 фокусов:

tgfl ,2 = ±vw ■

Расстояние между д фокусами:

ЬЬ' -

cos д = —------- ■

ЬЬ'

Угол р между фокальными плоскостями: -Ь Ь'

cosp

b+b' '

Уравнения главных линейчатых поверхностей:

(1- Ь'2)(^2)2 -(1- Ь2)(^)2=0.

Уравнения распределительных линейчатых поверхностей:

= о

Уравнения торсов:

Ь'(^)2 - Ь(^)2=0.

В соответствии с установленной интерпретацией конгруэнция эллиптических прямых пространства Б\ изображается в евклидовом пространстве Я4 двумерной поверхностью Ь* = Ь*и, и2) и определяет отображение некоторой области плоскости Я.|~ на некоторую область плоскости Я-.

В работах [4, 5] рассмотрены конгруэнции эллиптических прямых, выделены такие специальные классы конгруэнций, как нормальная, псев-донормальная, изотропная по параметру распределения и изотропная по центру конгруэнции, и установлена их связь с отображениями двух евклидовых плоскостей. В работе [6] наряду с указанными выше классами конгруэнций определены псевдосферические конгруэнции.

Псевдосферической конгруэнцией эллиптических прямых называется конгруэнция, у которой фокальное расстояние и угол между фокальными плоскостями постоянны.

Отнесем конгруэнцию к каноническому реперу Яо (а = с = 0). Тогда из формул для нахождения расстояния 6 между фокусами и угла

р между фокальными плоскостями, дифференцируя их, получим, что для псевдосферической конгруэнции

b = const, b' = con st. (13)

Выясним, каким свойством обладает отображение плоскости Щ на плоскость R-, соответствующее псевдосферической конгруэнции. Так

как оператор Якоби I = ^ удовлетво-

b

b'

плоскости R.J на плоскость R-, соответствующее псевдосферической конгруэнции, изменяет площади областей в постоянном отношении.

Отметим еще одно свойство псевдосферической конгруэнции: отношения кривизн к+ и

к- линий плоскоетей R.J и R-, соответствующих распределительным линейчатым поверхностям псевдосферической конгруэнции, постоянны. Докажем это.

Распределительные линейчатые поверхности псевдосферической конгруэнции определяются дифференциальными уравнениями Wq = 0,

w| = 0. Из формул (6) и (9), а также (3) найдем дифференциальные уравнения линий на плоскостях Щ и R-, соответствующих распределительным линейчатым поверхностям

0, W

.

(14)

Кривизны к+ и к этих линий, определяемые в общем случае формулами

к+

VP1)2 + (W2)2’ VP3)2 + (W4)2’

будут равны

W1 к 1 ~ А

W2 = И, _ W

= К к- А _ W.

W2 W3

Воспользовавшись (14), найдем, что

1 — h _ p + h при W1 = 0 : к+ = гг, k

b'

b'

q — к _ q + к при W¿ = 0 : к+ = г, к

b

b

Так как db = 0, db' = 0, то из уравнений (8) имеем

nq(l + bb') — Hb + b') = 0 p bb' h b b'

и поэтому

Мк,

Mh,

где M

Ь+Ь'

1 + ЬЬ'

Далее найдем

к+

к-

М - 1 1-Ь'

¿1=0

М + 1 1 + Ь' ’

к+

к-

ш2 = 0

к-

о1=о

м-і і + Ь

м +1 'і-Ь

и тогда получим ' к+ \ Ь+1

Ь- 1 ’

к

Утверждение доказано.

ш2 = 0

Ь' - 1 Ь'+ 1

p

к

Библиографический список

1. Бляшке В. (Blasehke W.) Euklidische Kinematik und nichteuklidische Geometry, Zeitschrift, Math. Phys. - 1911. - T. 60.

2. Бляшке В., Мюллер Г.Р. (Blasehke W., Müller H.R.) Ebene Kinematik. - München, 1956.

3. Львова Л.В. Линейчатая геометрия трехмерного квазиэллиптического пространства. Проективные метрики // Уч. зап. Коломенского пед. ин-та. - 1964. - Т. 8.

4. Львова Л.В. Связь конгруэнций эллипти-

ческих прямых пространства с отображениями евклидовых плоскостей // Геометрия многомерных пространств. - Барнаул, 1991.

5. Розенфельд Б.А., Львова Л.В., Семенова Т.А. Конгруэнции плоскостей эллиптического и квазиэллиптического пространств / / Известия высших учебных заведений. Математика. -1967. - №8(63).

6. Цыренова В.Б. К теории конгруэнций в £|. - Томск, 1977.