Неголономных конгруэнциях Гамбье Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА

Том 249 1973

О НЕГОЛОНОМНЫХ КОНГРУЭНЦИЯХ ГАМБЬЕ

М. Р. ВАИНТРУБ (Представлена кафедрой высшей математики)

В работе изучаются неголономные конгруэнции окружностей комплекса, у которых циклические точки являются двукратными фокусами. Устанавливается связь таких конгруэнции с неголономными линейчатыми конгруэнциями, ассоциированными с комплексом осей.

1. В трехмерном евклидовом пространстве £3 рассматриваются комплексы окружностей, плоскости которых образуют трехпараметриче-ское семейство (комплексы {3.3}). С каждой окружностью комплекса {3.3} ассоциируется локальный ортонормированный репер (А, е2» <?зЬ начало А которого совмещено с центром текущей окружности комплекса, а векторы е.\ и е2 располагаются в плоскости этой окружности. Инфинитези-мальное перемещение репера определяется уравнениями

йА =шаеа, с1еа = (ог^р, а, р, ^ = 1, 2, 3, (1)

где формы Пфаффа «Л ш« удовлетворяют условиям кососимметричности и структурным уравнениям Картана ([1], стр. 137—138). Относительно таким образом выбранного репера уравнения текущей окружности комплекса {3.3} записываются в виде

(*1)2 + (*2)2-Я2 = 0, (2)

Шесть форм Пфаффа оу = о>., ш*, о>3, ©0 = — (*,./ = 1, 2) яв-

.ляются первичными формами окружности в Е3. Выберем в качество базисных формы шз, ш3, которые определяют положение плоскости окружности в пространстве. Тогда замкнутая система дифференциальных уравнений комплекса {3.3} запишется в виде:

а). = Г и <4 +

[ДГоХ] + [ДГ03о>3] =0, (3)

[АГ>'3] + [Д1>3] - 0,

где

ДГ0/ = йТщ — Гол: Щ — Г03 % АГ03 = ¿/Г03,

дгн = аги - (гы ь Гк1) «>? - г/8 со,, (4)

А Г и = йГи + (Г« — Гкк) щ ~~ Г/3 ДГ/3 = (IV— Гк3 <о? ~ ш?, I — 1,2; по к не суммировать!)

Осуществляя построение цепи интегральных элементов по формам базиса ш', ю3, убеждаемся, что комплексы {3.3} существуют и определяются с произволом 3 функций 3 аргументов.

2. Определение 1. Основным диаметром окружности комплекса {3.3} называется такой диаметр, которому соответствует однопарамет-рическое семейство окружностей с касательной к линии центров, ортогональной этому диаметру.

Уравнения вида

Г12 (л1)2 + (Г22 - Ги)х1х* - Г21 (л2)2 = 0, х3 = 0 (5)

определяют два действительных, два мнимых или один основной диаметр.

Определение 2. Точки пересечения окружности с ее основными диаметрами называются основными точками окружности комплекса. Используя основные диаметры и основные точки окружности, можно произвести окончательную кононизацию репера комплекса {3.3}, направив вектор в! репера либо в основную точку, либо по биссектрисе угла между основными направлениями.

Одно не вполне интегрируемое уравнение Пфаффа

со3 = О

можно рассматривать как уравнение неголономной поверхности, ортогональной оси окружности и описываемой ее центром. Разыскивая линии кривизны второго рода на неголономной поверхности центров (Л)шз=о , убеждаемся, что им соответствуют подмногообразия, ассоциированные с основными диаметрами окружности комплекса. Это позволяет дополнить геометрическую картину канонизации репера. В дальнейшем будем предполагать, что с каждой окружностью комплекса {3.3} ассоциирован некоторый канонический репер.

3. Произвольная неголономная конгруэнция окружностей комплекса {3.3} определяется одним не вполне интегрируемым уравнением Пфаффа [2].

ш = + &ш§ — I:ш3 = 0, (6)

где

а, Ъ, с — инварианты неголономной конгруэнции (6), являющиеся функциями первичных параметров.

Разыскивая фокусы неголономной конгруэнции (Ле3) <.>=о соответствующей конгруэнции (6), убеждаемся, что конгруэнциям с —О соответствуют неголономные цилиндрические конгруэнции в комплексе осей. Исключая из рассмотрения такие конгруэнции, будем считать с = 1.

Фокусы и фокальные семейства конгруэнции о = 0 определяются системой уравнений:

(х1)* + (хУ-Я2 = 0, х:] = О, (*ТД - Г01) 0)1 + (хТГ2 - Г02) 0)5 + (*г1Я - Г03) со3 = о,

+х2о>* — ш3^0, (7)

аа>1 — — 0.

В дальнейшем будем считать, что

А = ¿?Г13 + Г12, В = аГ23 + Г21, С = ЬГ23 — аГ,з + Г22 — Г1Ь

& = Ь (Ги — Г03) — аГ12 — Г02, (8).

Е - ЬТп — а(Г22 — Гоп) + Г01, ^ — аГ02 — £Г01.

Ь2

Исключая из уравнений (7) отношение Ц :т§:ш3 базисных форм, получаем систему уравнений

(*')2 + (*2)2-#2 = 0, х3 = О, А (х1)2 - В (х2)2 + Сх'х2 + Я*1 + Ех2 + Е = 0, (9)

которая определяет координаты фокусов конгруэнции. Эта система эквивалентна уравнениям

(л:1)2 + (х2)2 — Я2 = 0, х3 = О,

[С2 + (Л + В)2] (х*)* + [2СО ~2Е(А + В)\(х2Г +

+ [£2 - С2/?2 + £2 - 2 (Л + 5) (/=■ + ЛЯ2)] (х2)2 + (10)

+ [2Е (У7 + Л Я2) - 2 СЯЯ2] х2 + + Л/?2)2 - /?202 = 0.

4. Определение 3. Конгруэнциями Гамбье [3, 4] неголономными или голономными называются такие конгруэнции окружностей, у которых циклические точки являются двукратными фокусами. Из (8) и (10) следует, что такие конгруэнции характеризуются условиями

А+В = 0, С = О (11)

и существуют в произвольном комплексе.

Теорема 1. Неголономная конгруэнция комплекса {3.3} тогда и только тогда является конгруэнцией Гамбье, когда граничные точки соответствующей неголономной конгруэнции осей совпадают.

Доказательство. Рассуждая обычным образом ([5], стр. 52), для нахождения абсцисс граничных точек неголономной конгруэнции (Лез) ш=о получаем квадратное уравнение, дискриминант которого определяется по формуле

О = С2 + (Л + В)2. (12)

Справедливость утверждения теоремы следует из сравнения условий (11) с условиями обращения в нуль дискриминанта (12).

Т е о р е м а 2. Неголономной конгруэнции Гамбье, принадлежащей комплексу {3.3}, соответствует бицентральная [6] 'неголономная конгруэнция в комплексе осей.

Доказательство. Бицентральная неголономная конгруэнция в комплексе осей определяется условием

2Г13Г23 (Г12 + Г21) + (Ги - Г22) [(Г13)2 - (Г23Л +

+ (аГ13 + ЬГ23) [(Г13)2 + (Г23)2] = 0. (13)

Используя (8), из (11) получаем:

Г,з (Г22 ГЦ) Г23 (Г12 + Г21)

а =

(Г13)2+(ГИ)2

ь = _ г13 (Г12 + Г81) + г23 (Г22 — Гц) (Г13)2 + (Г2з)2

Подставляя значения а и Ь из (14) в условие (13), убеждаемся в справедливости утвреждения теоремы.

ЛИТЕРАТУРА

1. С. П. Фиников. Метод внешних форм Картана. М.—Л., 1948.

2. Р. Н. Щербаков. О методе подвижного репера и репеража подмногообразий. Труды Томского университета. Т. 191, сер. механико-математическая, 1967, стр. 179—184.

3. Gambier, M. В., С. R., t. 195, 1932, р. 928.

4. V i п с е n s i n i, P., Points focaux des cercles d'une congruence, С. R., t. 195, 1932, pp. 1359—1361.

5. H. И. К о в a h ц о в. Теория комплексов. Киев, 1963.

6. P. H. Щ e p б a к о в. Эквиафинно-инвариантные неголономные конгруэнции линейчатого комплекса. Математический сборник. Т. 60 (102), № 2, 1963, стр. 131—158.