О конгруэнциях окружностей {1. 2} с кратными фокальными точками Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА

Том 226

1976

О КОНГРУЭНЦИЯХ ОКРУЖНОСТЕЙ {1.2} С КРАТНЫМИ ФОКАЛЬНЫМИ ТОЧКАМИ

М. Р. ВАЙНТРУБ (Представлена кафедрой высшей математики)

Общие конгруэнции окружностей в трехмерном евклидовом пространстве принадлежат двухпараметрическому семейству плоскостей. Такие конгруэнции окружностей, обладающие кратными фокальными точками, изучались в [1] и [2].

Представляет интерес рассмотрение конгруэцции, у которой плоскости окружностей образуют однопара>1етрическое семейство (конгруэнции {1.2}). В [3] рассмотрены фокальные свойства такой конгруэнции.

В данной работе изучаются конгруэнции {1.2} с кратными фокальными точками.

I. Основные геометрические образы, ассоциированные с конгруэнцией {1.2}

В трехмерном евклидовом пространстве Еъ рассмотрим конгруэнцию окружностей, плоскости которых образуют однопараметрическое семейство (конгруэнцию {1.2}). Выбирая в качестве независимых формы Пфаффа о1 и 0° [4], систему дифференциальных уравнений этой конгруэнции относительно канонизированного репера [5] запишем з виде: t

(1)

Здесь: /\о>0, в силу ориентации вектора e¡ репера.

Замыкание системы (1) имеет вид:

[агпфЦ + [</г10е°] = (г0гп - г21г0) к в°], [<*/>!] = (г0г21 + г0гп - ríort) ив0],'

Í^A31coj] =(г0 + Г0А1) [Ш} е°], (2)

[¿Á01a>J] - (Г10.+ Г0Л01Л81) К в°],

Анализ системы (2) с помощью критерия Бахвалова [6] показывает, что конгруэнции {1. 2} существуют и определяются с произволом 2 функций 2 аргументов.

Координатное подмногообразие о з =0 является однопара^етри-ческим семейством окружностей, инцидентных одной плоскости. Харак-

82

теристичеекие точки окружности в каноническом репере определяются в виде: I

/ 1п ' Ю.

л2 == а + ±.!х - ~ 1 (3)

^ . ■ ■ I 10 ' ■ ■ ; 1 10 '

Из (3); следует геометрический смысл инварианта Г10 как величины, обратной абсциссе характеристических точек окружности.

Обозначая через = (Ло®°)Ц,=о элемент дуги линии центров окружностей подмногообразия о>| — 0, получим:

■ , 1 1о ■ ■■

где к — кривизна этой кривой.

Подмногообразие ©° == 0 является однопараметрическим семейством окружностей постоянного радиуса, так как йИ ~ —

$

Рассмотрим некоторые геометрические образы, инвариантно присоединенные к конгруэнции (1. 2}.

1. Конгруэнция осей (Ав{) репера. Один фокус этой конгруэнции совпадает с центром окружности и ему соответствует фокальное направление

1 ! "I = 0. (5)

Второй фокус совпадает с точкой

? = (6)

Этому фокусу соответствует фокальное направление

(Г21 + Г ,А01) ш* + Г0Л016° = 0. (7)

Обозначая через рч абсциссу центра луча конгруэнции (Ае\), в силу формулы (6), получаем геометрическую характеристику инварианта

Доь ■ ■ ■ ■ ■ ■

Л01 = 2рч (8)

2. Конгруэнция осей (Ле2) репера. Один фокус этой конгруэнции совпадает с точкой

А + ^-ё2 ' (9)

• /V .

и ему соответствует фокальное направление (5). Второй фокус определяется формулой

р = (10)

Фокусу (10) соответствует фокальное направление ^

(Л,А31 - Л01Л) «оI + (ЛоАзх - Л01Г0) в° = 0. (11)

3. Конгруэнция осей (Ае$). Эта конгруэнция является цилиндрической с собственным фокусом в точке

Р = (12)

Лз1

6*. ' '83

которому соответствует фокальное направление

Обозначая через <р угол, между осью е\ и касательным вектором к сферическому изображению конгруэнции (Ле3), получим:

Л31 = (14)

4. Характеристика однопараметрического семейства плоскостей хг = 0, содержащих окружности конгруэнции, определяется уравнениями:

х1 + А$\Х2 — Л01 =0, х3 = 0. (15)

5. Огибающая (М13) плоскостей х2 = 0 совпадает с фокальной поверхностью, описываемой собственным фокусом (12) конгруэнции (Ае 3).

6. Радиус-вектор текущей точки огибающей (М23) плоскостей хх = 0 определяется в виде:

= + (ги-^Аё3. (16)

' 0 Л * 0 '

Конгруэнции {1.2.} с кратными фокальными точками.

Напомним [3], что два фокуса и конгруэнции {1. 2} являются характеристическими точками (3) окружностей, инцидентных одной плоскости. Этим двум фокусам соответствует одно фокальное направление (5). Два оставшихся фокуса

^ = л+ 1 2 [(А01 - Л31Л) ёх + (Л01А31 + Л) е2\ (17)

А + Л31

И

= А + КА01 + А81А)^1 + (Л01Л31 —А)ё21 (18)

1 + А31

где + , (19)

являются точками пересечения характеристики (15) с окружностью конгруэнции. Фокусу (17) соответствует фокальное направление

[Гп (А01 + Л) + Г21 (А01А81 + А)] + Г10 (Ао1 + А) = 0, (20)

а фокусу (18) — направление

[Гп (А01 - А) + Г21 (А01Л31 - А)] ш} + Ло (А01 - А) 0° = 0. (21)

Рассмотрим некоторые классы конгруэнции окружностей {1.2} с кратными фокальными точками.

1. Класс Гю= — существует, определяется с произволом 1 функ-ции 2 аргументов и характеризуется совпадением фокусов Л и Т3^.

2. Класс Гю = —, Г0 = 0 существует, определяется с произволом

5 функций 1 аргумента и характеризуется тем, что фокусы Рг и совпадают, а поверхность, описываемая этим сдвоенным фокусом^ вырождается в кривую. Так как Г° = 0, то: а) конгруэнция осей (Ае2) является цилиндрической (следует из (9); б) огибающая семейства плоскостей хх — 0 является развертывающейся поверхностью (следует из

84

(16); в) плоскости х2 = О образуют однопараметрическое семейство, характеристикой которого является прямая

= О, X2 = 0. (22)

Последнее утверждение следует из того, что формы о> »jí.».®2» определяющие положение плоскости х2 — 0 в пространстве, становятся функциями одного параметра.

3. Класс R2(l +Лз31 ) —Л oí = 0 существует, определяется с произволом 1 функции 2 аргументов и характеризуется совпадением фокусов ^з и F4. В силу (8) и (14) следует, что радиус окружности такой конгруэнции равен удвоенной длине проекции отрезка АЦ оси е\ на касательную к сферическому изображению конгруэнции (Ле3).

4. Класс Л01 = R, Л31 = 0 характеризуется тем, что характеристика (15) касается окружности конгруэнции в точке

AÜ=A^-Rfl. (23)

Из системы (2) следует два конечных соотношения: Г,0 = 0 и Ло—

= —.Следовательно, точка (23) является счетверенным фокусом кон-R

груэнции {1.2}. Конгруэнция осей (Ле3) — бицилиндрическая. Этот класс существует и определяется с произволом 3 функции 1 аргумента.

5. Класс Г\0= — >Aoi — R характеризуется тем, что фокусы Fu

R

F2t F4 совпадают. Из четвертого уравнения системы (2) следует: Л)Лз1 = 0. Если Г0 — 0, то точка (23) является счетверенным фокусом. Если Лз1 = 0, то рассматриваемый класс существует и определяется с произволом 4 функций 1 аргумента. Касательная к фокальной кривой, описываемой строенным фокусом этой конгруэнции, располагается в плоскости окружности конгруэнции.

Отметим, что если фокусы Fu F% и F3 совпадают, то точка (23) всегда является счетверенным фокусом конгруэнции {1.2}.

ЛИТЕРАТУРА

1. Gambier В. Congruence de cercles: points focaux et curfaces focales. C. R. Acad., Sei., Paris, 196, 908—390, 1982.

Q. Vincensini, P. Points focaux des cercles d'une congruence. С. R. Acad. Sei., Paris, 195, -1399—.1361, 1932.

3. M. P. В a й h T p y б. О кошруэнциях окружностей в евклидовом пространстве. Тр. Томского ун-та, сер. механико-математическая, т. 191, 1432—149, 1967.

4. М. Р. В айн труб. О каналовых поверхностях комплексов окружностей в трехмерном евклидовом пространстве (настоящий сборник).

5. М. Р. В а й н т р у б. Дифференциальная геометрия ш-тараметричеоких многообразий окружностей в евклидовом пространстве. Материалы III межвузовской конференции по проблемам геометрии, Казань» .27, 1967.

6. С. В. Бахвалов. Замечания к методу подвижного трехгранника. Мат. сб.. 7 (49) :2 321—326, 1940.